Massimi e minimi liberi numero 5

Massimi e minimi liberi e vincolati

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Esercizio 5   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia

    \[f(x,y) = -6x^2-2y^2+6\]

determinare gli eventuali punti di massimo, minimo o di sella.

 

Svolgimento. Calcoliamo le derivate miste

    \[f_x(x,y) = -12x\]

e

    \[f_y(x,y) = -4y .\]

Imponiamo \nabla f(x,y)=(0,0), cioè

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} f_x(x,y)=0\\ f_y(x,y)=0 \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} -12x=0\\ -4y=0. \end{cases} \end{equation*}

per cui la soluzione del sistema (1) è

    \[\begin{cases} x = 0\\ y= 0 . \end{cases}\]

I candidati ai punti di massimo, minimo o di sella sono i punti che verificano \nabla f(x,y)=(0,0) e a tal proposito calcoliamo il determinante della matrice Hessiana

    \[\text{det}H(0,0)= \begin{vmatrix} -12 & 0 \\ 0 & -4 \end{vmatrix} = 48\]

concludendo che (0,0) è punto di massimo relativo, essendo il determinante della matrice Hessiana positivo e f_{xx}(x,y)=-12<0. In particolare f(0,0)=6.

 

Fonte: ignota.