Massimi e minimi liberi numero 4

Massimi e minimi liberi e vincolati

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Esercizio 4   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia

    \[f(x,y)= -4x^2-4y^2+3x+6\]

determinare gli eventuali punti di massimo, minimo o di sella.

 

Svolgimento. Calcoliamo le derivate miste

    \[f_x(x,y)= -8x+3\]

e

    \[f_y(x,y)=-8y.\]

Imponiamo \nabla f(x,y)=(0,0), cioè

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} f_x(x,y)=0\\ f_y(x,y)=0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} -8x+3=0\\ -8y=0. \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=\dfrac{3}{8}\\\\ y=0 \end{cases} \end{equation*}

per cui la soluzione del sistema (1) è \left(\dfrac{3}{8},0\right).
I candidati ai punti di massimo, minimo o di sella sono i punti che verificano \nabla f(x,y)=(0,0) e a tal proposito calcoliamo il determinante della matrice Hessiana

    \[\text{det}H(x,y)= \begin{vmatrix} -8 & 0 \\ 0 & -8 \end{vmatrix} = 64>0\]

e quindi concludiamo che \left(\dfrac{3}{8},0\right) è massimo relativo essendo il determinante della matrice Hessiana positivo e f_{xx}\left(\dfrac{3}{8},0\right)=-8<0. In particolare f\left(\dfrac{3}{8},0\right)=\dfrac{105}{16}.

 

Fonte: ignota.