Massimi e minimi liberi numero 3

Massimi e minimi liberi e vincolati

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Esercizio 3  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).  Sia

    \[f(x,y)= 1 +2x^2-2y^2+8x\]

determinare gli eventuali punti di massimo, minimo o di sella.

 

Svolgimento. Calcoliamo le derivate miste

    \[f_x(x,y)= 4x+8\]

e

    \[f_y(x,y)=-4y.\]

Imponiamo \nabla f(x,y)=(0,0), cioè

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} f_x(x,y)=0\\ f_y(x,y)=0 \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 4x+8=0\\ -4y=0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=-2\\ y=0. \end{cases} \end{equation*}

per cui la soluzione del sistema (1) è

    \[\begin{cases} x = -2\\ y= 0. \end{cases}\]

I candidati ai punti di massimo, minimo o di sella sono i punti che verificano \nabla f(x,y)=(0,0) e a tal proposito calcoliamo il determinante della matrice Hessiana

    \[\text{det}H(x,y)= \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -4 \end{vmatrix} = -16<0\]

e possiamo immediatamente concludere che non esistono estremanti e (-2,0) è punto di sella, dove f(-2,0)=-7.

 

Fonte: ignota.