Massimi e minimi liberi numero 2

Massimi e minimi liberi e vincolati

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Esercizio 2   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia

    \[f(x,y)=4x^3+12xy+6y^2\]

determinare gli eventuali punti di massimo, minimo o di sella.

 

Svolgimento. Calcoliamo le derivate miste

    \[f_x(x,y)= 12x^2+12y\]

e

    \[f_y(x,y)=12x+12y.\]

Imponiamo \nabla f(x,y)=(0,0), cioè

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} f_x(x,y)=0\\ f_y(x,y)=0 \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 12x^2+12y=0\\ 12x+12y=0. \end{cases} \end{equation*}

Sottraendo membro a membro le due equazioni del sistema otteniamo

    \[12x^2-12x=0 \quad \Leftrightarrow \quad 12x (x-1)= 0 \quad \Leftrightarrow \quad x=1 \, \vee \, x= 0\]

per cui le soluzioni del sistema (1) sono

    \[\begin{cases} x = 1\\ y= -1 \end{cases}\quad \vee \quad \begin{cases} x=0 \\ y=0. \end{cases}\]

I candidati ai punti di massimo, minimo o di sella sono i punti che verificano \nabla f(x,y)=(0,0) e a tal proposito calcoliamo il determinante della matrice Hessiana
Valutando tale determinante nei punti ottenuti si ottiene:

    \[\boxcolorato{analisi}{\begin{aligned} & \mbox{$H (0,0)<0 \Rightarrow (0,0)$ è un punto di sella dove $f(0,0)=0$;}\\ & \mbox{$H(1,-1)>0 \wedge f_{xx}>0 \Rightarrow (1,-1)$ è un punto di minimo dove $f(1,-1)=-2$.}\\ \end{aligned}}\]

 

Fonte: L. Vesely – Università degli studi di Milano