Massimi e minimi liberi numero 1

Massimi e minimi liberi e vincolati

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Esercizio 1   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia

    \[f(x,y)=x^3+y^3+3x^2y-3xy^2-3x-3y\]

determinare gli eventuali punti di massimo, minimo o di sella.

 

Svolgimento. Calcoliamo le derivate miste

    \[f_x=3x^2+6xy-3y^2-3\]

e

    \[f_y=3y^2+3x^2-6xy-3.\]

Imponiamo \nabla f(x,y)=(0,0), ovvero

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} f_x=0\\ f_y=0 \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 3x^2-3y^2+6xy-3=0\\ 3x^2+3y^2-6xy-3=0. \end{cases} \end{equation*}

Sommando membro a membro le due equazioni del sistema otteniamo

    \[6x^2-6=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=\pm1\]

per cui la prima equazione del sistema dà

    \[+\cancel{3}-3y^2 \pm 6y -\cancel{3}=0 \quad \Leftrightarrow\quad y^2\mp 2y=0 \quad \Leftrightarrow \quad y=0 \, \vee \, y=\pm 2\]

concludendo quindi che le soluzioni del sistema (1) sono

    \[\begin{cases} x=\pm 1\\ y=0 \end{cases}\quad \vee \quad \begin{cases} x=\pm 1 \\ y=\pm 2. \end{cases}\]

I candidati ai punti di massimo, minimo o di sella sono i punti che verificano \nabla f(x,y)=(0,0) e a tal proposito calcoliamo il determinante della matrice Hessiana

    \[\text{det}H(x,y)= \begin{vmatrix} 6x+6y& 6x-6y \\ 6x-6y & 6y -6x \end{vmatrix}= 72(xy-x^2)\]

e andiamo a valutare tale determinante nei punti ottenuti, concludendo che

    \[\boxcolorato{analisi}{\begin{aligned} &\mbox{$H (1,0)=-72<0 \Rightarrow (1,0)$ è un punto di sella dove $f(1,0)=-2$;}\\ & \mbox{$H(-1,0)=-72<0 \Rightarrow (-1,0) \quad$è un punto di sella dove $f(-1,0)=2$;}\\ &\mbox{$H(1,2)=72>0 \wedge f_{xx}(1,2)=18>0 \Rightarrow (1,2)$ è un punto di minimo dove $f(1,2)=-6$;}\\ & \mbox{$H(-1.-2)=72>0 \wedge f_{xx}(-1,-2)=-18<0 \Rightarrow (-1,-2)$ è un punto di massimo dove $f(-1,-2)=6$.}. \end{aligned}}\]

 

Fonte: ignota.