Massimi e minimi liberi numero 9

Massimi e minimi liberi e vincolati

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Esercizio 9   (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Sia

    \[f(x,y)= xy \; \ln(x^2+y^2)\]

determinare gli eventuali punti di massimo, minimo o di sella nell’insieme \Omega=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\, x\neq 0,\,y\neq 0\}.

 

Svolgimento. Calcoliamo le derivate miste

    \[f_x = y \; \left( \ln(x^2+y^2) + \dfrac{2x^2}{x^2+y^2} \right)\]

e

    \[f_y = x \; \left(\ln(x^2+y^2) + \dfrac{2y^2}{x^2+y^2}\right) .\]

Imponiamo \nabla f=(0,0), cioè

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} f_x=0\\ f_y=0 \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} y \; \left(\ln(x^2+y^2) + \dfrac{2x^2}{x^2+y^2}\right)=0\\ x \; \left(\ln(x^2+y^2) + \dfrac{2y^2}{x^2+y^2} \right) = 0 \end{cases} \end{equation*}

e poiché dobbiamo prendere i punti \Omega (non sono state prese in considerazione le soluzione x=0 e y=0 perché non appartengono ad \Omega), abbiamo

    \[\begin{cases} \ln(x^2+y^2) + \dfrac{2x^2}{x^2+y^2} = 0\\ \ln(x^2+y^2) + \dfrac{2y^2}{x^2+y^2} = 0. \end{cases}\]

Sottraendo membro a membro della prima e seconda equazione del sistema, otteniamo

    \[\dfrac{2x^2-2y^2}{x^2+y^2} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2=y^2 \quad \Leftrightarrow \quad x=\pm y.\]

Per cui (1) si riscrive come segue

    \[\begin{cases} x=\pm y\\ \ln(2x^2) + \dfrac{2x^2}{2x^2} = 0. \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=\pm y\\ \ln(2x^2) =-1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=\pm y\\ x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{2e}} \end{cases}\]

concludendo quindi che le soluzioni del sistema (1) sono

    \[A= \left( \dfrac{1}{\sqrt{2e}}, \dfrac{1}{\sqrt{2e}}\right), \quad B= \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2e}}, \dfrac{1}{\sqrt{2e}}\right), \quad C=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2e}}, - \dfrac{1}{\sqrt{2e}}\right), \quad D=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2e}}, -\dfrac{1}{\sqrt{2e}}\right).\]

I candidati ai punti di massimo, minimo o di sella sono i punti che verificano \nabla f(x,y)=(0,0) e a tal proposito calcoliamo la matrice Hessiana

    \[H(x,y)= \begin{pmatrix} \dfrac{2xy(x^2+3y^2)}{(x^2+y^2)^2} & \dfrac{2(x^4+y^4)}{(x^2+y^2)^2}+\ln(x^2+y^2)\\\\ \dfrac{2(x^4+y^4)}{(x^2+y^2)^2}+\ln(x^2+y^2) & \dfrac{2xy(3x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}. \end{pmatrix}\]

Il determinate della matrice Hessiana è

    \[\begin{aligned} &\det \begin{pmatrix} \dfrac{2xy(x^2+3y^2)}{(x^2+y^2)^2} & \dfrac{2(x^4+y^4)}{(x^2+y^2)^2}+\ln(x^2+y^2)\\\\ \dfrac{2(x^4+y^4)}{(x^2+y^2)^2}+\ln(x^2+y^2) & \dfrac{2xy(3x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}. \end{pmatrix}=\\ &=\dfrac{4x^2y^2(x^2+3y^2)(3x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^4}-\left(\dfrac{2(x^4+y^4)}{(x^2+y^2)^2}+\ln(x^2+y^2)\right)^2. \end{aligned}\]

Inoltre, si ricorda che

    \[f_{xx}(x,y)=\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x,y)=\dfrac{2xy(x^2+3y^2)}{(x^2+y^2)^2} .\]

Andiamo a valutare il determinante di tale matrice nei punti ottenuti e f_{xx}(x,y), concludendo che

    \[\boxcolorato{analisi}{\begin{aligned} & \text{det}H(A)=4>0 \wedge f_{xx}=2 > 0 \Rightarrow A \quad \mbox{è punto di minimo relativo};\\ & \text{det}H(B)=4>0 \wedge f_{xx}=-2 < 0 \Rightarrow B \quad \mbox{è punto di massimo relativo};\\ & \text{det}H(C)=4>0 \wedge f_{xx}=-2 < 0 \Rightarrow C \quad \mbox{è punto di massimo relativo};\\ &\text{det}H(D)=4>0 \wedge f_{xx}=2 > 0 \Rightarrow D \quad \mbox{è punto di minimo relativo}.\\ \end{aligned}}\]

 

Fonte: L. Vesely – Università degli studi di Milano.