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Massimi e minimi liberi numero 10

Massimi e minimi liberi e vincolati

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Esercizio 10  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Sia

    \[f(x,y)= (3x+3y+10)e^{x^2+y^2}\]

determinare gli eventuali punti di massimo, minimo o di sella.

 

Svolgimento. Calcoliamo le derivate miste

    \[f_x(x,y) = e^{x^2+y^2} \left( 3 + 2x(3x+3y+10) \right)\]

e

    \[f_y (x,y)= e^{x^2+y^2} \left( 3 + 2y(3x+3y+10) \right).\]

Imponiamo \nabla f(x,y)=(0,0), cioè

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} f_x (x,y)=0\\ f_y (x,y)=0 \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} e^{x^2+y^2} \left( 3 + 2x(3x+3y+10) \right) = 0\\ e^{x^2+y^2} \left( 3 + 2y(3x+3y+10) \right) = 0 \end{cases} \end{equation*}

e poichè e^{x^2+y^2}> 0 abbiamo

    \[\begin{cases} 3 + 2x(3x+3y+10) = 0\\ 3 + 2y(3x+3y+10) = 0. \end{cases}\]

Sottraendo membro a membro delle due equazioni del sistema otteniamo

    \[2(x-y)(3x+3y+10) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x= y\quad \vee\quad 3x+3y+10=0.\]

La soluzione 3x+3y+10=0 rende il sistema impossibile, mentre per x= y si ottiene

    \[\begin{cases} x=y\\ 3 + 2x(6x+10) = 0 \end{cases}\]

e la seconda equazione del sistema si riscrive come segue

    \[12x^2 + 20x + 3 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x= - \dfrac{1}{6} \quad \vee \quad x=-\dfrac{3}{2}\]

per cui le soluzioni di (1) sono

    \[A =\left( -\dfrac{1}{6}, -\dfrac{1}{6}\right), \qquad B= \left(-\dfrac{3}{2}, -\dfrac{3}{2}\right).\]

I candidati ai punti di massimo, minimo o di sella sono i punti che verificano \nabla f(x,y)=(0,0) e a tal proposito calcoliamo la matrice Hessiana

    \[H(x,y) = e^{x^2+y^2} \begin{pmatrix} 2x(3+2x(3x+3y+10)) +12x+6y &2x(3+2y(3x+3y+10))+6y+20 \\\\ 2x(3+2y(3x+3y+10))+6y & 2y(3+2y(3x+3y+10))+6x+12y+20. \end{pmatrix}\]

Calcoliamo il determinante della matrice Hessiana

    \[\begin{aligned} &\det \left(e^{x^2+y^2} \begin{pmatrix} 2x(3+2x(3x+3y+10)) +12x+6y+20 &2x(3+2y(3x+3y+10))+6y \\\\ 2x(3+2y(3x+3y+10))+6y & 2y(3+2y(3x+3y+10))+6x+12y+20 \end{pmatrix}\right)=\\ &=e^{x^2+y^2}\left(\left(2x(3+2x(3x+3y+10)) +12x+6y+20\right)\left(2y(3+2y(3x+3y+10))+6x+12y+20\right)\right)-\\ &+e^{x^2+y^2}\left(\left(2x(3+2y(3x+3y+10))+6y\right)\left(2x(3+2y(3x+3y+10))+6y \right)\right)=\\ &=4e^{x^2+y^2}\left(6x^3+6x^2y+20x^2+9x+3y\right)\left(6xy^2+3x+6y^3+20y^2+9y+10\right)-\\ &+e^{x^2+y^2}\left(2x(3+2y(3x+3y+10))+6y \right)^2 \end{aligned}\]

e andiamo a valutare il determinante di tale matrice nei punti ottenuti, concludendo che

    \[\text{det}H\left(-\dfrac{1}{6}, - \dfrac{1}{6}\right) = 288e^{1/9}>0\, \wedge\, f_{xx}=17e^{1/18} > 0\]

che implica che

    \[\mbox{ $ \left(-\dfrac{1}{6}, - \dfrac{1}{6}\right)$ è punto di minimo relativo dove $f\left(-\dfrac{1}{6}, - \dfrac{1}{6}\right) =9\sqrt[18]{e}$.}\]

Inoltre, abbiamo ottenuto

    \[\text{det}H\left(- \dfrac{3}{2}, - \dfrac{3}{2}\right)=-32e^9<0 \Rightarrow \left(- \dfrac{3}{2},- \dfrac{3}{2}\right) \mbox{ è punto di sella dove $f\left(- \dfrac{3}{2}, - \dfrac{3}{2}\right)$}.\]

 

Fonte: Prof.re E. Callegari – Università degli Studi di Roma Tor Vergata

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