Massimi e minimi liberi numero 11

Massimi e minimi liberi e vincolati

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Esercizio 11  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia

    \[f(x,y)= x^3-y^3+xy\]

determinare gli eventuali punti di massimo, minimo o di sella.

 

Svolgimento. Calcoliamo le derivate

    \[f_x (x,y)= 3x^2+y \qquad \mbox{e} \qquad f_y (x,y)= -3y^2 + x.\]

Imponiamo \nabla f(x,y)=(0,0), cioè

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} f_x(x,y)=0\\ f_y(x,y)=0 \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 3x^2 + y = 0\\ -3y^2 + x = 0 \end{cases} \end{equation*}

e sommando membro a membro delle due equazioni del sistema, otteniamo

    \[\begin{aligned} & 3x^2 + y -3y^2 +x = 0 \quad \Leftrightarrow \quad 3(x^2-y^2)+x+y=0 \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad 3(x-y)(x+y)+(x+y)=0 \quad \Leftrightarrow \quad (x+y)(3x-3y+1)=0, \end{aligned}\]

da cui y=-x \, \vee \, y=x+\dfrac{1}{3}, pertanto

    \[\begin{cases} y=-x\\ 3x^2 -x = 0\\ \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} y=-x\\ x(3x-1)=0 \end{cases} \Rightarrow \quad \left(0,0\right) \quad \vee \quad \left(\dfrac{1}{3}, - \dfrac{1}{3}\right)\]

e

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} y=x+\dfrac{1}{3}\\\\ 3x^2 + x + \dfrac{1}{3} = 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} y=x+\dfrac{1}{3}\\\\ 9x^2 + 3x+ 1 = 0. \end{cases} \end{equation*}

Si osservi che l’equazione 9x^2 + 3x+ 1 = 0 ha delta negativo, quindi risulta impossibile e di conseguenza anche (2).
\\
I candidati ai punti di massimo, minimo o di sella sono i punti che verificano \nabla f(x,y)=(0,0) e a tal proposito calcoliamo il determinante della matrice Hessiana

    \[det \; H(x,y) = \begin{vmatrix} 6x & 1\\ 1 & -6y \end{vmatrix} = - 36xy - 1\]

e valutiamo il determinante di H(x,y) nei punti ottenuti, concludendo che

    \[\boxcolorato{analisi}{\begin{aligned} & \text{det}H\left(\dfrac{1}{3}, - \dfrac{1}{3}\right) = 3>0 \,\wedge\, f_{xx}\left(\dfrac{1}{3}, - \dfrac{1}{3}\right)= 2> 0 \, \Rightarrow\, \left(\dfrac{1}{3}, - \dfrac{1}{3}\right) \mbox{ è punto di minimo relativo};\\ & \text{det}H\left(0,0\right)=-1<0 \,\Rightarrow\, \left(0,0\right) \mbox{ è punto di sella}. \end{aligned}}\]

 

Fonte: Prof.re Magrone – Università degli Studi di Roma Roma Tre