Massimi e minimi liberi numero 14

Massimi e minimi liberi e vincolati

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Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Sia

$f(x,y)=xy-x^4-y^4$

determinare gli eventuali punti di massimo, minimo o di sella.

Svolgimento. Calcoliamo le derivate miste

$f_x(x,y) = y-4x^3 \qquad \mbox{e} \qquad f_y(x,y) = x-4y^3.$

Imponiamo $\nabla f(x,y)=(0,0)$ , cioè

(1) $\begin{equation*} \begin{cases} f_x(x,y)=0\\ f_y(x,y)=0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} y-4x^3 = 0\\ x-4y^3 = 0 \end{cases} \end{equation*}$

e sottraendo membro a membro delle due equazioni del sistema abbiamo

$\begin{aligned} &4y^3-4x^3-x+y=0 \quad \Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow \quad 4(y^3-x^3)+(y-x)=4(y-x)(y^2+x^2+xy)+(y-x)=0 \quad \Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow \quad (y-x)(4x^2+4y^2+4xy + 1)=0. \end{aligned}$

da cui $y=x$ in quanto $4x^2+4xy+ 4y^2+ 1=0$ non ha soluzioni reali[1], pertanto (1) diventa

$\begin{cases} x=y\\ x-4x^3 =0\\ \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=y\\ x(1-4x^2) =0\\ \end{cases}$

ottenendo le soluzioni $(0,0)$ , $\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$ e $\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right)$ .
I candidati ai punti di massimo, minimo o di sella sono i punti che verificano $\nabla f(x,y)=(0,0)$ e a tal proposito scriviamo il determinante della matrice Hessiana

$\text{det} H(x,y) = \begin{vmatrix} -12x^2 & 1\\ 1 & -12y^2 \end{vmatrix} = 144x^2y^2 - 1$

e valutiamo il determinante di $H(x,y)$ nei punti ottenuti, concludendo che

$\boxcolorato{analisi}{\begin{aligned} & \mbox{$ \text{det} H(0,0) = -1 \; \Rightarrow \; (0,0) \,$ è punto di sella dove $f(0,0)=0$}\\ & \mbox{$\text{det} H\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right) = 8\; \wedge \; f_{xx}\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)=-3< 0 \; \Rightarrow \; \left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right) \,$ è punto di massimo relativo dove $f(0,0)=8$;}\\ & \mbox{$ \text{det} H\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right) = 8\; \wedge \; f_{xx}\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right)=-3< 0 \; \Rightarrow \; \left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right) \,$ è punto di massimo relativo dove $f\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right)=8$;}\\ \end{aligned} }$

1. Se consideriamo l’equazione in $x$ allora abbiamo un’equazione di secondo grado e il discriminante è dato da $16y^2 - 16(4y^2+1)= -48y^2-16<0$ per ogni $y \in \mathbb{R}$ . Analogamente accade considerando l’equazione in $y$ . ↩

Fonte: ignota.