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Massimi e minimi liberi numero 15

Massimi e minimi liberi e vincolati

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Esercizio 15 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia

    \[f(x,y)=6x^2-2x^3+3y^2+6xy\]

determinare gli eventuali punti di massimo, minimo o di sella.

 

Svolgimento. Calcoliamo le derivate

    \[f_x(x,y) = 12x - 6x^2 + 6y \qquad \mbox{e} \qquad f_y(x,y) = 6y + 6x.\]

Imponiamo \nabla f(x,y)=(0,0), cioè

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} f_x(x,y)=0\\ f_y(x,y)=0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 12x - 6x^2 + 6y = 0\\ 6y+6x=0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 12x - 6x^2 + 6y = 0\\ y=-x \end{cases} \end{equation*}

e sostituendo abbiamo

    \[\begin{cases} 6x - 6x^2 = 0\\ y=-x \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x(1-x)=0\\ y=-x \end{cases}\]

ottenendo così le soluzioni (0,0) e (1,-1).
I candidati ai punti di massimo, minimo o di sella sono i punti che verificano \nabla f(x,y)=(0,0) e a tal proposito calcoliamo il determinante della matrice Hessiana

    \[\text{det} H(x,y) = \begin{vmatrix} 12(1-x) & 6\\ 6 & 6 \end{vmatrix} = 72(1-x)-36 = -72x + 36 = 36 (1-2x)\]

e valutiamo il determinante di H(x,y) nei punti ottenuti, concludendo che

    \[\boxcolorato{analisi}{\begin{aligned} & \mbox{$\text{det} H(0,0) = 36>0 \; \wedge \; f_{xx}(0,0)=12>0 \; \Rightarrow \; (0,0) \, $ è punto di minimo relativo dove $f(0,0)=0$; }\\ & \mbox{$\text{det} H(1,-1) = -36<0 \; \Rightarrow \; (0,0) \, $ è punto di sella dove $f(1,-1)=1$.}\\ \end{aligned} }\]