Massimi e minimi liberi numero 13

Massimi e minimi liberi e vincolati

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Esercizio 13  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia

    \[f(x,y)=x^3+3xy^2-15x-12y\]

determinare gli eventuali punti di massimo, minimo o di sella.

 

Svolgimento. Calcoliamo le derivate

    \[f_x (x,y)= 3x^2+3y^2-15 \qquad \mbox{e} \qquad f_y(x,y) = 6xy-12.\]

Imponiamo \nabla f(x,y)=(0,0), cioè

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} f_x(x,y)=0\\ f_y(x,y)=0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 3(x^2+y^2-5) = 0\\ 6(xy-2) = 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x^2 + \dfrac{4}{x^2}-5=0\\\\ y = \dfrac{2}{x} \end{cases} \end{equation*}

dove nel penultimo passaggio abbiamo posto x\neq 0 e abbiamo diviso per x. Inoltre, si osservi che x=0 non è soluzione del sistema, poiché si otterrebbe -2=0.
La prima equazione, ponendo t=x^2 si riscrive come

    \[t^2-5t+4=0 \quad \Leftrightarrow \quad t= 1 \, \vee \, t=4\]

per cui

    \[x=\pm 1 \quad \Leftrightarrow \quad x=\pm 2\]

ottenendo le soluzioni (-2,-1), (-1,-2), (1,2) e ( 2, 1).
I candidati ai punti di massimo, minimo o di sella sono i punti che verificano \nabla f(x,y)=(0,0) e a tal proposito scriviamo il determinante della matrice Hessiana

    \[\text{det} H(x,y) = \begin{vmatrix} 6x & 6y\\ 6y & 6x \end{vmatrix} = 36(x^2-y^2)\]

e valutiamo il determinante di H(x,y) nei punti ottenuti, concludendo che

    \[\boxcolorato{analisi}{\begin{aligned} & \mbox{ $\text{det} H(-1,-2) = -108<0 \; \Rightarrow \; (-1,-2)$ è un punto di sella};\\ & \mbox{ $\text{det} H(1,2) = -108 <0 \; \Rightarrow \; (1,2)$ è un punto di sella};\\ & \mbox{ $\text{det} H(-2,-1) = 108>0 \; \wedge \; f_{xx}(-2,-1)=-12< 0\; \Rightarrow \; (-2,-1)$ è un punto di massimo};\\ & \mbox{ $\text{det} H( 2, 1) = 108 >0 \; \wedge \; f_{xx}( 2, 1)=12> 0 \Rightarrow \; ( 2, 1)$ è un punto di minimo}. \end{aligned} }\]