Integrali multipli — Parte 1 (teoria)

Integrali doppi, Teoria Funzioni di più variabili

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Integrali multipli – Teoria

L’integrale definito di una funzione di una variabile esprime l’area sottesa al grafico della stessa. Il grafico di una funzione di 2 variabili $x,y$ consiste in una superficie nello spazio tridimensionale e dunque è naturale chiedersi se un’operazione simile consenta di esprimere il volume racchiuso tra il grafico della funzione e il piano $xy.$ I cosiddetti integrali multipli forniscono precisamente uno strumento atto a questo scopo.

Questa dispensa è la prima parte di un lavoro dedicato allo studio degli integrali doppi, dei quali intende presentare la teoria essenziale, con particolare riferimento ai seguenti argomenti:

Integrali doppi su rettangoli e loro proprietà;
Integrali su domini semplici, regolari e misurabili secondo Peano-Jordan;
Integrazione delle funzioni continue e teorema della media integrale.

Il testo è quindi una guida essenziale e chiara per chi desidera avvicinarsi o approfondire la teoria degli integrali doppi.

Nella seconda parte, invece, affronteremo problemi pratici su come calcolarli. Non ti resta dunque che cominciare la lettura!

Autori e revisori

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Autore: Antonia Diana. Antonia Diana

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Bjørn Malesani, Silvia Lombardi, Roberto Castorrini, Jacopo Garofali, Matteo Talluri, Valerio Brunetti, Sara Sottile, Davide La Manna, Daniele Fakhoury.

Notazioni

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$\mathbb{R}$

$\mathring X$ , $\partial X$

$\mathcal A(\mathcal R)$

$\langle \mathcal P_1,\mathcal P_2\rangle$

$S(f, \mathcal P)$ , $s(f, \mathcal P)$

$S(f)$ , $s(f)$

$\int_{\Omega} f$

$\vert \mathcal R \vert$ , $\vert A \vert$

$\chi_\Omega$

$graf(f)$

$\text{Im} f$

$B_r (x_0,y_0)$ :

rettangolo di $\mathbb R^2$

interno e frontiera di un insieme $X$ : [5];

insieme delle partizioni plurirettangolari del rettangolo $\mathcal R \subset \mathbb R^2$ ;

partizione plurirettangolare generata dalle partizioni $\mathcal P_1, \mathcal P_2$

somma superiore e inferiore di $f$ relative alla partizione $\mathcal P$ ;

integrale superiore e inferiore di $f$ ;

integrale di $f$ sull’insieme $\Omega$ ;

volume $n$ -dimensionale del rettangolo $\mathcal R$ , misura di Peano-Jordan dell’insieme $A$ ;

funzione caratteristica dell’insieme $\Omega$ ;

grafico della funzione $f$ ;

immagine della funzione $f$ ;

palla di centro $(x_0,y_0)$ e raggio $r$ .

$\,$

$\quad$

Introduzione

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La definizione di integrale di funzioni $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ per $n \geq 2$ è una naturale estensione di quella già nota in $\mathbb R$ , con l’importante differenza che, mentre in quest’ultimo caso si integra su intervalli (limitati o illimitati), nel caso $n$ -dimensionale gli insiemi di integrazione sono più complessi come, ad esempio, triangoli, cerchi ed ellissi in $\mathbb R^2$ , sfere e parallelepipedi in $\mathbb R^3$ .

Come ci si aspetta, quelli “più semplici” da trattare sono gli insiemi del tipo

$\mathcal R= [a_1, b_1] \times \cdots \times [a_n,b_n] \qquad \text{con $a_i$,$b_i \in \mathbb R$ e $a_i<b_i$ per ogni $i =1 \, \dots , n$,}$

comunemente chiamati $n$ -intervalli, in quanto sono l’analogo multidimensionale degli intervalli in $\mathbb{R}$ , o più semplicemente rettangoli (come nel caso bidimensionale).

Sottolineiamo che in questa dispensa ci limitiamo al caso in cui $n=2$ , cioè allo studio degli integrali doppi, ma il lettore può facilmente immaginare le ovvie estensioni dei risultati presentati a dimensioni $n \geq 3$ .

Intuitivamente, vorremmo che l’integrale di una funzione $f : \Omega \subset \mathbb R^2 \to \mathbb R^+$ coincida con il volume tridimensionale della regione compresa tra il piano $xy$ e il grafico della funzione stessa (si veda la figura 1).

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Figura 1: grafico di una funzione definita in un sottoinsieme $\Omega \subset \mathbb R^2$ a valori positivi.

Integrali doppi su rettangoli

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In questo paragrafo introduciamo le funzioni integrabili in un rettangolo di $\mathbb R^2$ , pertanto ricordiamo le seguenti definizioni.

Definizione 1 (rettangolo). Un insieme $\mathcal R \subset \mathbb R^2$ , tale che

$\mathcal R= [a,b]\times [c,d] \qquad \text{con $a$,$b$, $c$, $d \in \mathbb R$, $a<b$, $c<d$}$

è detto rettangolo di $\mathbb R^2$ . La sua area è definita come $\vert \mathcal R \vert = (b-a) (d-c)$ . Si pone per convenzione $\vert \emptyset \vert =0$ .

Nel seguito faremo largo uso della seguente definizione di partizione. Essa formalizza l’idea intuitiva di scomporre una figura piana nell’unione di sottofigure che condividono i bordi, ma senza sovrapposizioni nelle parti interne.

Definizione 2 (partizione). Dato $X \subseteq \mathbb R^2$ , una famiglia finita di insiemi $\{X_i\}_{i=1}^k$ tali che

$X_i \subset X$ $\forall i = 1, \dots, k$ ;
$\bigcup _{i=1} ^k X_i =X$ ;
$\mathring X_i \cap \mathring X_j = \emptyset$ $\forall i \ne j$ , dove $\mathring X_i:= X_i \setminus \partial X_i$ ;

è detta partizione di $X$ .

Osservazione 3. La definizione di partizione appena data differisce dall’usuale definizione di partizione insiemistica, in cui si richiede che gli elementi della partizione siano disgiunti.

Ricordiamo, per completezza, la definizione di partizione plurirettangolare in $\mathbb R^2$ :

Definizione 4 (partizione plurirettangolare). Sia $\mathcal R= [a,b]\times [c,d] \subset \mathbb R^2$ un rettangolo, chiamiamo partizione plurirettangolare di $\mathcal R$ una qualsiasi famiglia di rettangoli $\{\mathcal R_i\}_{i=1}^k$ soddisfacenti le proprietà della definizione 2. Inoltre, indichiamo con $\mathcal{A}(\mathcal{R})$ l’insieme delle partizioni plurirettangolari di $\mathcal{R}$ .

Risulta possibile confrontare due partizioni plurirettangolari come chiarito dalla seguente definizione.

Definizione 5. Date due partizioni $\mathcal P,\mathcal Q \in \mathcal A(\mathcal R)$ , $\mathcal P$ si dice più fine di $\mathcal Q$ e si indica $\mathcal P \leq \mathcal Q$ se

$\forall P \in \mathcal P \quad \exists Q \in \mathcal Q \quad \text{tale che $P \subset Q$}.$

Osservazione 6. L’uso del simbolo $\leq$ per indicare che una partizione è più fine di un’altra è giustificato dal fatto che l’essere più fine stabilisce un ordinamento parziale in $\mathcal A(\mathcal R)$ .

Spesso è utile considerare una partizione prodotto di un rettangolo $\mathcal R = [a,b] \times [c,d] \subset \mathbb R^2$ , cioè una partizione ottenuta prendendo i prodotti cartesiani degli elementi di partizioni di $[a,b]$ e $[c,d]$ , rispettivamente.

Definizione 7 (partizione prodotto). Sia $\mathcal R =[a, b] \times [c, d]$ un rettangolo e siano $\mathcal P_{[a,b]}$ , $\mathcal P_{[c,d]}$ partizioni rispettivamente di $[a,b]$ e $[c,d]$ costituite da intervalli. Chiamiamo partizione prodotto $\mathcal P= \mathcal P_{[a,b]} \times \mathcal P_{[c,d]}$ la partizione plurirettangolare di $\mathcal R$ formata da elementi del tipo $T_{i} \times Q_{j}$ dove $T_{i} \in \mathcal P_{[a,b]}$ e $Q_{j} \in \mathcal P_{[c,d]}$ .

Poiché le partizioni che consideriamo sono costituite da intervalli, esistono $h,k \in \mathbb N$ tali che

$\begin{align*}\mathcal P_{[a,b]}&= \{[x_{i}, x_{i+1}] \} _{i=1}^k \qquad \text{con $a=x_1< x_{2}< \dots < x_{k+1}=b$}, \\\mathcal P_{[c,d]}&= \{[y_{j}, y_{j+1}] \} _{j=1}^h \qquad \text{con $c=y_1< y_{2} < \dots < y_{h+1}=d $}. \end{align*}$

Per la definizione 7, un rettangolo $\mathcal R$ è suddiviso dalla partizione $\mathcal P_{[a,b]} \times \mathcal P_{[c,d]}$ in $kh$ rettangoli del tipo $[x_{i}, x_{i+1}] \times [y_{j},y_{j+1}]$ con $i=1, \dots, k, \,\,\, j=1, \dots , h$ .

Le partizioni prodotto sono quindi particolari tipi di partizioni plurirettangolari. Esse sono arbitrariamente fini, nel senso precisato dal prossimo lemma.

Lemma 8. Sia $R=[a,b] \times [c,d] \subset \mathbb R^2$ un rettangolo e sia $\mathcal P \in \mathcal{A}(R)$ una sua partizione plurirettangolare. Allora esiste una partizione prodotto $\mathcal{S}$ di $R$ più fine di $\mathcal P$ .

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Figura 2: illustrazione delle partizioni $\mathcal{P}$ (in alto) e $\mathcal{S}$ (in basso) del lemma 8: $\mathcal{S}$ è una partizione prodotto più fine di $\mathcal{P}$ .

Dimostrazione. Sia $\mathcal P=\{R_\ell\}_{\ell=1}^N = \{[\alpha_\ell,\beta_\ell] \times [\gamma_\ell,\delta_\ell] \}_{\ell=1}^N$ . Consideriamo gli insiemi

(1) $\begin{equation*} \begin{gathered} \{\alpha_1, \beta_1, \alpha_2, \beta_2, \dots, \alpha_N, \beta_N\} = \{x_1, \dots, x_{k+1}\}, \\ \{\gamma_1, \delta_1, \gamma_2, \delta_2, \dots, \gamma_N, \delta_N\} = \{y_1, \dots, y_{h+1}\}, \end{gathered} \end{equation*}$

(si veda la figura 2) costituiti dai numeri reali $\alpha_\ell,\beta_\ell$ e $\gamma_\ell, \delta_\ell$ riordinati e senza ripetizioni in modo che

(2) $\begin{equation*} a=x_1 < x_2 < \dots < x_{k+1} = b, \qquad c= y_1 < y_2 < \dots < y_{h+1} = d. \end{equation*}$

Sono quindi definite le partizioni

(3) $\begin{equation*} \mathcal{P}_{[a,b]}=\{[x_i,x_{i+1}]\}_{i=1}^k, \qquad \mathcal{P}_{[c,d]}=\{[y_j,y_{j+1}]\}_{j=1}^h \end{equation*}$

rispettivamente di $[a,b]$ e $[c,d]$ . Consideriamo la partizione prodotto

(4) $\begin{equation*} \mathcal{S} \coloneqq \mathcal{P}_{[a,b]} \times \mathcal{P}_{[c,d]} = \{T_\ell\}_{\ell=1}^{M} \end{equation*}$

di $R$ generata da $\mathcal{P}_{[a,b]}$ e $\mathcal{P}_{[c,d]}$ , rappresentata in basso in figura 2. Affermiamo che $\mathcal{S}$ è più fine di $\mathcal{P}$ . Infatti, dato $[x_i,x_{i+1}] \times [y_j,y_{j+1}] \in \mathcal{S}$ , poiché esso è contenuto in $R$ , la sua parte interna ha intersezione non vuota con un rettangolo $R_\ell = [\alpha_\ell,\beta_\ell] \times [\gamma_\ell,\delta_\ell] \in \mathcal{P}$ . Allora, per come sono definiti i numeri reali $x_i,y_j$ , si ha

(5) $\begin{equation*} \alpha_\ell \leq x_i, \qquad \beta_\ell \geq x_{i+1}, \qquad \gamma_\ell \leq y_j, \qquad \delta_\ell \geq y_{j+1}, \end{equation*}$

e ciò prova che $R_\ell \supseteq [x_i,x_{i+1}] \times [y_j,y_{j+1}]$ , pertanto $\mathcal{S}$ è più fine di $\mathcal{P}$ .

L’area dei rettangoli è additiva, come mostrato dal prossimo lemma.

Lemma 9 (additività dell’area dei rettangoli). Sia $R=[a,b] \times [b,c] \subset \mathbb R^2$ un rettangolo e sia $\mathcal P=\{R_i\}_{i=1}^N$ una partizione plurirettangolare di $R$ . Allora

(6) $\begin{equation*} |R|= \sum_{i=1}^N |R_i|. \end{equation*}$

Dimostrazione. Dimostriamo la proposizione prima per una partizione prodotto, poi per una qualsiasi partizione plurirettangolare.

Se $\mathcal P$ è una partizione prodotto, siano $\mathcal Q=\{[a_j,b_j]\}_{j=1}^M$ e $\mathcal T=\{[c_\ell ,d_\ell]\}_{\ell=1}^L$ le partizioni di $[a,b]$ e $[c,d]$ tali che

(7) $\begin{equation*} \begin{gathered} a=a_1 < b_1=a_2 < b_2=a_3 < \dots < b_{M-1}=a_M < b_M =b \\ c=c_1 < d_1=c_2 < d_2=c_3 < \dots < d_{L-1}=c_L < d_L =d. \end{gathered} \end{equation*}$

Allora si ha

(8) $\begin{equation*} \begin{split} |R| = & (b-a) (d-c) \\ = & \left(\sum_{j=1}^M (b_j-a_j) \right) \left(\sum_{\ell=1}^L (d_\ell -c_\ell) \right) \\ = & \sum_{\substack{j \in \{1,\dots,M\}\\ \ell \in \{1,\dots,L\}}} (b_j-a_j)(d_\ell -c_\ell) \\ = & \sum_{\substack{j \in \{1,\dots,M\}\\ \ell \in \{1,\dots,L\}}} \Big| [a_j\,b_j] \times [c_\ell ,d_\ell] \Big|. \end{split} \end{equation*}$
Se $\mathcal{P}$ è una generica partizione di $\mathcal R$ , il Lemma 8 assicura l’esistenza di una partizione $\mathcal{S}=\{T_j\}_{j=1}^M$ di $R$ più fine di $\mathcal{P}$ . Applicando il punto precedente alla partizione prodotto $\mathcal{S}$ di $R$ , si ha

(9) $\begin{equation*} |\mathcal R| = \sum_{j =1}^M |T_j| = \sum_{\ell=1}^N |R_\ell|, \end{equation*}$

dove l’ultima uguaglianza segue dal fatto che, poiché $\mathcal{S}$ è più fine di $\mathcal{P}$ , i rettangoli della partizione $\mathcal{Q}$ possono essere suddivisi in modo da formare delle partizioni prodotto di ognuno dei rettangoli $R_\ell$ della partizione $\mathcal{P}$ . La relazione (9) coincide con la tesi che si voleva provare.

D’ora in poi, con $\mathcal R$ indichiamo un rettangolo di $\mathbb R^2$ .

Definizione 10 (somme superiori e somme inferiori). Sia $f : \mathcal R \to \mathbb R$ una funzione limitata e sia $\mathcal P= \{ \mathcal R_i \}_{i=1}^k \in \mathcal A (\mathcal R)$ . Posto per ogni $i=1, \dots, k$ , $M_{i} = \sup_{ \mathcal R_{i}} f$ e $m_{i} = \inf_{ \mathcal R_{i}} f$ , chiamiamo somma superiore e somma inferiore di $f$ rispetto alla partizione $\mathcal P$ rispettivamente le quantità

$S(\mathcal P, f) = \sum _{i=1}^k M_{i} \vert \mathcal R_{i} \vert \qquad e \qquad s(\mathcal P, f) = \sum _{i=1}^k m_{i} \vert \mathcal R_{i} \vert .$

Osserviamo che le somme superiori e inferiori appena definite hanno il significato geometrico di somma di volumi orientati di parallelepipedi dei rettangoli aventi basi sui rettangoli della partizione $\mathcal P$ , rispettivamente circoscritti e inscritti al sottografico della funzione considerata, ovvero la regione compresa tra il piano $xy$ e il grafico della funzione stessa (figura 1).

Osservazione 11. L’ipotesi di limitatezza di $f$ garantisce che queste quantità siano finite.

Il prossimo risultato mette in luce il legame tra i valori le somme superiori e inferiori di una funzione limitata relative a delle partizioni e tra la finezza di queste partizioni. Poiché le somme inferiore e superiore di una funzione $f \colon \mathcal{R} \to \mathbb{R}$ limitata rispetto a una partizione plurirettangolare $\mathcal{P}$ di $\mathcal{R}$ sono da considerarsi come delle approssimazioni rispettivamente per difetto e per eccesso del volume sotteso al grafico di $f$ , risulta naturale aspettarsi che, all’aumentare della finezza della partizione, tale approssimazione migliori: in altre parole, ci aspettiamo che i valori $s(\mathcal{P},f)$ e $S(\mathcal{P},f)$ delle somme inferiore e superiore di $f$ rispetto a $\mathcal{P}$ siano più vicini se consideriamo partizioni più fini. Questa intuizione è confermata dalla prossima proposizione.

In essa è contenuta anche la definizione di partizione generata da due partizioni $\mathcal{P}, \mathcal{Q}$ ; essa, indicata col simbolo $\langle \mathcal{P}, \mathcal{Q}, \rangle$ è la partizione meno fine tra quelle che sono più fini sia di $\mathcal{P}$ che di $\mathcal{Q}$ . Il concetto è rappresentato in figura ??.

Proposizione 12. Sia $\mathcal R \subset \mathbb R^2$ un rettangolo, siano $\mathcal P=\{D_1,\dots,D_k\}$ e $\mathcal Q=\{E_1,\dots,E_h\}$ due partizioni plurirettangolari di $\mathcal R$ e sia $f \colon R \to \mathbb R$ una funzione limitata. Valgono le seguenti proprietà:

La somma inferiore di $f$ relativa alla partizione $\mathcal P$ è maggiorata dalla rispettiva somma superiore di $f$ :

(10) $\begin{equation*} s(\mathcal P,f) \leq S(\mathcal P,f). \end{equation*}$
Se $\mathcal P \leq \mathcal Q$ , allora

(11) $\begin{equation*} s(\mathcal Q,f) \leq s(\mathcal P,f) \leq S(\mathcal P,f) \leq S(\mathcal Q,f). \end{equation*}$
L’insieme

(12) $\begin{equation*} \langle \mathcal P, \mathcal Q \rangle \coloneqq \{ T_{ij}=D_i \cap E_j \colon i=1,\dots,k,\,\, j=1,\dots, h\} \end{equation*}$

è una partizione plurirettangolare di $\mathcal R$ più fine di $\mathcal P$ e di $\mathcal Q$ . In particolare si ha

(13) $\begin{equation*} s(\mathcal P,f) \leq s(\langle \mathcal P, \mathcal Q \rangle,f) \leq S(\langle \mathcal P, \mathcal Q \rangle,f) \leq S(\mathcal P,f). \end{equation*}$

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Figura 3: le partizioni $\mathcal{P}, \mathcal{Q}$ e $\langle\mathcal{P},\mathcal{Q}\rangle$ della proposizione 12.

Dimostrazione.

Poiché per ogni insieme $A \subseteq \mathbb R^2$ si ha $\inf_A f \leq \sup_A f$ , otteniamo
(14) $\begin{equation*} s(\mathcal P,f) = \sum_{i=1}^k |D_i| \inf_{D_i}f \leq \sum_{i=1}^k |D_i| \sup_{D_i}f = S(\mathcal P,f). \end{equation*}$
Poiché $\mathcal P \leq \mathcal Q$ , per ogni $j \in \{1,\dots,h\}$ l’insieme $\{D_i \colon D_i \subseteq E_j\}$ è una partizione plurirettangolare di $E_j$ . Infatti, gli insiemi $D_i$ hanno interni disgiunti e, se $\mathring{D_i} \cap E_j \neq \emptyset$ , allora $D_i \subseteq E_j$ , in quanto altrimenti esso sarebbe contenuto in un altro $E_\ell$ , ma ciò contraddirebbe il fatto che gli insiemi $E_\ell$ hanno interni disgiunti. Allora

(15) $\begin{align*} s(\mathcal Q,f) = \sum_{j =1}^h |E_j| \inf_{E_j} = \sum_{j = 1}^h \left( \inf_{E_j} f \sum_{i \colon D_i \subseteq E_j} |D_i| \right) \leq \sum_{j = 1}^h \left( \sum_{i \colon D_i \subseteq E_j} |D_i| \inf_{D_i} f \right) %= %\sum_{i=1}^k |D_i| \inf_{D_i} f = s(\mathcal P,f), \end{align*}$

dove la seconda uguaglianza deriva dal fatto che $\{D_i \colon D_i \subseteq E_j\}$ è una partizione di $E_j$ per ogni $j$ e dal lemma 9, mentre la disuguaglianza deriva dal fatto che $D_i \subseteq E_j$ implica $\inf_{E_j} f \leq \inf_{D_i} f$ . La disuguaglianza $S(\mathcal P,f) \leq S(\mathcal Q,f)$ si dimostra in maniera analoga.
Si ha
(16) $\begin{equation*} \mathcal R = \bigcup_{i=1}^k D_i = \bigcup_{i=1}^k \left( D_i \cap \bigcup_{j=1}^h E_j \right) = \bigcup_{i=1}^k \bigcup_{j=1}^h (D_i \cap E_j). \end{equation*}$

Inoltre, poiché

(17) $\begin{equation*} \mathring T_{ij} = \mathring D_i \cap \mathring E_j \qquad \forall i \in \{1,\dots,k\},\,\,\forall j \in \{1,\dots,h\}, \end{equation*}$

e gli interni di $D_1,\dots,D_k$ così come gli interni di $E_1,\dots,E_h$ sono a due a due disgiunti, si ha

(18) $\begin{equation*} \mathring T_{ij} \cap \mathring T_{\ell m} = \emptyset \end{equation*}$

se $i \neq \ell$ oppure $j \neq m$ . Quindi $\langle \mathcal P, \mathcal Q \rangle$ è una partizione di $\mathcal R$ . Essa è inoltre più fine di $\mathcal P$ e $\mathcal Q$ , in quanto

(19) $\begin{equation*} T_{ij} \subseteq D_i, \quad T_{ij} \subseteq E_j, \qquad \forall i \in \{1,\dots,k\},\,\,\forall j \in \{1,\dots,h\}. \end{equation*}$

Introduciamo le seguenti definizioni:

Definizione 13 (integrali inferiore e superiore). Se $f : \mathcal R \to \mathbb R$ è limitata, chiamiamo integrale inferiore di $f$

$s(f) = \sup \{ s(\mathcal P , f) \, : \, \mathcal P \in \mathcal A( \mathcal R)\}$

e integrale superiore di $f$

$S(f)=\inf \{ S(\mathcal P , f) \, : \, \mathcal P \in \mathcal A(\mathcal R)\} .$

Osservazione 14. Dalla definizione precedente e dalla (10) segue che, in generale, per ogni funzione $f \colon \mathcal R \to \mathbb R$ limitata vale

$s(f) \leq S(f)\,.$

Facciamo ora un’osservazione che sarà utile nella seconda parte della dispensa.

Proposizione 15. Siano $\mathcal R \subset \mathbb R^2$ un rettangolo, $f \colon \mathcal{R} \to \mathbb R$ una funzione limitata. Si ha

$\begin{align*}s(f) &= \sup \{s(\mathcal P,f) \, : \, \text{$ \mathcal P$ è una partizione prodotto}\}, \\S(f) &= \inf \{S(\mathcal P,f) \, : \, \text{$ \mathcal P$ è una partizione prodotto}\}.\end{align*}$

Dimostrazione. Ci limitiamo a dimostrare la relazione per l’integrale inferiore di $f$ , in quanto l’altra relazione si ottiene in maniera analoga.

Poiché l’insieme delle partizioni prodotto di $\mathcal{R}$ è contenuto nell’insieme delle partizioni di $\mathcal{R}$ , si ha

(20) $\begin{equation*} s(f) \geq \sup \{s(\mathcal{Q},f) \colon \mathcal{Q} \text{ è una partizione prodotto}\}. \end{equation*}$

D’altra parte, data una qualunque partizione $\mathcal P$ di $\mathcal{R}$ , per il lemma 8 esiste una partizione $\mathcal{Q}$ di $\mathcal{R}$ più fine di $\mathcal{P}$ . Allora, per il punto 2 della proposizione 12, si ha

(21) $\begin{equation*} s(\mathcal{P},f) \leq s(\mathcal{Q}, f). \end{equation*}$

Passando all’estremo superiore al membro di destra della precedente equazione, otteniamo

(22) $\begin{equation*} s(\mathcal{P},f) \leq \sup \{s(\mathcal{Q},f) \colon \mathcal{Q} \text{ è una partizione prodotto}\}. \end{equation*}$

Passando all’estremo superiore in $\mathcal{A}(\mathcal{R})$ al membro di sinistra nella precedente disuguaglianza, si ottiene

(23) $\begin{equation*} s(f) \leq \sup \{s(\mathcal{Q},f) \colon \mathcal{Q} \text{ è una partizione prodotto}\}. \end{equation*}$

Da (20) e (23) segue la tesi.

Definizione 16 (funzioni integrabili in un rettangolo). Se $f : \mathcal R \to \mathbb R$ è limitata, si dice integrabile secondo Riemann in $\mathcal R$ se l’integrale inferiore e superiore coincidono, cioè se

$s(f) = S(f).$

Tale numero reale si chiama integrale di $f$ su $\mathcal R$ e si indica in uno dei seguenti modi

$\iint_{\mathcal R} f=\iint_{\mathcal R} f(x,y) \, dx \, dy .$

Osservazione 17. La notazione utilizzata nella definizione 16 vale solo per gli integrali doppi. Ricordiamo che per gli integrali tripli si usa la notazione $\iiint f$ . In generale l’integrale di Riemann di $f$ su un rettangolo $\mathcal R$ in $\mathbb R^n$ con $n \geq 2$ si può indicare con il simbolo $\int_\mathcal R f dx$ , dove con $x$ si intende il generico elemento di $\mathbb R^n$ .

Osservazione 18. Ricordiamo che, in questa sezione, per funzione integrabile intendiamo una funzione integrabile secondo Riemann in un rettangolo $\mathcal R$ .

Una prima classe di funzioni integrabili è fornita dalla seguente proposizione.

Proposizione 19. Se $c \in \mathbb R$ e $f : \mathcal R \to\mathbb{R}$ è una funzione tale che $f(x)=c$ per ogni $x \in \mathcal{R}$ , allora $f$ è integrabile e inoltre vale

$\iint_{\mathcal{R}} f = \iint_{\mathcal{R}} c =c \vert \mathcal R\vert .$

Dimostrazione. Per ogni partizione $\mathcal P = \{\mathcal R_i \}_{i=1}^k \in \mathcal A (\mathcal R)$ abbiamo che il $\sup$ e l’ $\inf$ di $f$ sugli elementi della partizione coincidono con $c$ , da cui segue che

$S(\mathcal P , f)= s(\mathcal P, f)= \sum_{i=1}^k c \vert R_{i} \vert = c \vert \mathcal R \vert$

e quindi dalla definizione 16 si ottiene la tesi.

Esempio 20. Siano $\mathcal I^2:=[0,1]\times[0,1]$ e

$f (x,y) = \begin{cases} 1 \quad \text{ se $(x,y) \in \mathcal I^2 \cap \mathbb Q^2$} \\ 0 \quad \, \, \text{altrimenti}. \end{cases}$

Allora, per densità di $\mathbb{Q}^2$ in $\mathbb{R}^2$ e per la densità di $\mathbb R^2 \setminus \mathbb Q^2$ in $\mathbb R^2$ , si ha che per ogni partizione plurirettangolare $\mathcal P$ di $\mathcal I^2$

$s(\mathcal P, f)=0 \quad \text{e} \quad S(\mathcal P, f)=1 ,$

pertanto la funzione non è integrabile in quanto gli integrali inferiore e superiore non coincidono.

Proviamo, adesso, un criterio di integrabilità, analogo a quello valido nel caso unidimensionale.

Teorema 21 (criterio di integrabilità). Sia $f: \mathcal R \to \mathbb R$ limitata. Allora $f$ è integrabile se e solo se per ogni $\varepsilon >0$ esiste una partizione $\mathcal P_\varepsilon \in \mathcal A ( \mathcal R)$ tale che $S(\mathcal P_\varepsilon , f) - s(\mathcal P_\varepsilon , f) < \varepsilon$ .

Dimostrazione. Supponiamo che $f$ sia integrabile. Allora, posto $I=\iint_{\mathcal R} f$ , dalla definizione 16 e dalle proprietà del $\sup$ e dell’ $\inf$ segue che $\forall \varepsilon >0$

$\begin{align*} \exists & \, \mathcal{T}_{\varepsilon} = \{T_{\varepsilon, i}\}_{i=1}^t \in \mathcal A (\mathcal R)\quad : \quad s(\mathcal T_{\varepsilon}, f) > I- \dfrac{\varepsilon}{2} ; \\ \exists & \, \mathcal D_{\varepsilon} = \{D_{\varepsilon, j}\}_{j=1}^s \in \mathcal A (\mathcal R) \quad : \quad S(\mathcal D_{\varepsilon}, f) < I+ \dfrac{ \varepsilon }{2} . \end{align*}$

Allora, consideriamo la partizione

$\mathcal P_\varepsilon = \langle \mathcal T_\varepsilon , \mathcal D_\varepsilon \rangle:= \{T_{\varepsilon, i} \cap D_{\varepsilon, j} \, : \, {i=1, \dots ,t \quad j=1, \dots, s} \}.$

Per la proposizione 12 abbiamo che

$I - \dfrac{ \varepsilon }{2} < s(\mathcal T_{\varepsilon},f) \leq s(\mathcal P_{\varepsilon},f) \leq S(\mathcal P_{\varepsilon},f)\leq S(\mathcal D_{\varepsilon},f) < I + \dfrac{ \varepsilon }{2} .$

Dunque la prima implicazione è dimostrata, infatti

$S(\mathcal P_{\varepsilon},f)- s(\mathcal P_{\varepsilon},f) < I+\dfrac{ \varepsilon }{2} - \left (I - \dfrac{ \varepsilon }{2}\right ) = \varepsilon\,.$

Viceversa, fissato $\varepsilon>0$ , consideriamo una partizione $\mathcal P _\varepsilon\in \mathcal A (\mathcal R)$ tale che $S(\mathcal P _\varepsilon, f) < s(\mathcal P _\varepsilon,f) + \varepsilon$ .

Allora, abbiamo che

$S(f) \leq S(\mathcal P_\varepsilon,f ) < s(\mathcal P_\varepsilon,f )+\varepsilon \leq s(f) + \varepsilon$

e dall’arbitrarietà di $\varepsilon$ segue che

$S(f) \leq s(f) .$

Inoltre, per l’osservazione 14 sappiamo che vale anche la disuguaglianza opposta, per cui

$s(f)=S(f)$

e quindi la funzione è integrabile.

Anticipiamo inoltre il seguente teorema che otterremo come corollario del teorema 60.

Teorema 22. Se $f: {\mathcal R} \to \mathbb R$ è continua, allora $f$ è integrabile.

Proprietà degli integrali doppi.

In questa sezione presentiamo alcune proprietà fondamentali delle funzioni integrabili in un rettangolo.

Teorema 23. Siano $\mathcal R$ , $\mathcal R'$ , $\mathcal R'' \subset \mathbb R^2$ rettangoli, siano $f,g \colon \mathcal R \to \mathbb{R}$ integrabili in $\mathcal R$ e sia $c \in \mathbb{R}$ . Allora valgono le seguenti proprietà:

linearità dell’integrale: le funzioni $f+g$ , $cf$ , $fg$ sono integrabili in $\mathcal R$ e

(24) $\begin{equation*} \iint_{\mathcal R} (f+g) = \iint_\mathcal R f + \iint_\mathcal R g , \end{equation*}$

(25) $\begin{equation*} \iint_{\mathcal R} cf = \, c \iint_\mathcal R f ; \end{equation*}$

positività e monotonia dell’integrale rispetto alla funzione integranda: se $f (x,y)\leq g(x,y)$ per ogni $(x,y) \in \mathcal R$ , allora
$\iint_ \mathcal R f \leq \iint_ \mathcal R g \,.$

monotonia dell’integrale rispetto al dominio di integrazione: se $\mathcal R' \subseteq \mathcal R$ , allora $f$ è integrabile in $\mathcal R'$ . Inoltre, se $f \geq 0$ in $\mathcal R$ risulta

(26) $\begin{equation*} \iint_{\mathcal R'} f\leq \iint_\mathcal R f ; \end{equation*}$

additività dell’integrale rispetto al dominio di integrazione: se $\mathcal R= \mathcal R' \cup \mathcal R''$ e $f$ è integrabile in $\mathcal R$ , allora le sue restrizioni sono integrabili in $\mathcal R'$ e $\mathcal R''$ . Inoltre, se $\mathcal R'$ , $\mathcal R''$ hanno parti interne disgiunte vale anche il viceversa e

(27) $\begin{equation*} \iint_{\mathcal R } f = \iint_{\mathcal R '} f+ \iint_{\mathcal R''} f ; \end{equation*}$

Dimostrazione.

Fissato $\varepsilon >0$ , consideriamo due partizioni $\mathcal P'_\varepsilon$ , $\mathcal P''_\varepsilon$ di $\mathcal R$ tali che

$S(\mathcal P'_\varepsilon,f)-s(\mathcal P'_\varepsilon,f) < \varepsilon / 2 , \qquad S(\mathcal P''_\varepsilon,g)-s(\mathcal P''_\varepsilon,g) < \varepsilon / 2 ,$

che esistono poichè le funzioni $f$ , $g$ sono integrabili in $\mathcal R$ e per il teorema 21. Consideriamo la partizione generata da $\mathcal P'_\varepsilon, \mathcal P''_\varepsilon$ , cioè $\mathcal P_\varepsilon = \langle \mathcal P'_\varepsilon, \mathcal P''_\varepsilon \rangle$ ; allora

(28) $\begin{equation*} S(\mathcal P_\varepsilon,f)+ S(\mathcal P_\varepsilon,g)-(s(\mathcal P_\varepsilon,f)+ s(\mathcal P_\varepsilon,g)) \leq S(\mathcal P'_\varepsilon,f)+ S(\mathcal P''_\varepsilon,g)-(s(\mathcal P'_\varepsilon,f)+ s(\mathcal P''_\varepsilon,g)) <\dfrac{\varepsilon}{2}+\dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon . \end{equation*}$

Inoltre, dalle note proprietà dell’estremo inferiore e superiore di una funzione, cioè

$\inf (f+g) \geq \inf(f) + \inf(g) , \quad \quad \sup(f+g) \leq \sup(f)+\sup (g) ,$

segue che

(29) $\begin{equation*} s(\mathcal P_\varepsilon,f)+ s(\mathcal P_\varepsilon,g) \leq s(\mathcal P_\varepsilon,f+g) \leq S(\mathcal P_\varepsilon,f+g)\leq S(\mathcal P_\varepsilon,f)+ S(\mathcal P_\varepsilon,g). \end{equation*}$

Allora, la funzione $f+g$ è integrabile in $\mathcal R$ poichè dalla (28) e (29) segue

$S(\mathcal P_\varepsilon,f+g) -s(\mathcal P_\varepsilon,f+g)< \varepsilon,$

quindi vale il teorema 21. Inoltre, per la relazione (29), abbiamo

$s(\mathcal P_\varepsilon,f)+s(\mathcal P_\varepsilon,g) \leq \iint_\mathcal R (f+ g) \leq S(\mathcal P_\varepsilon,f)+S(\mathcal P_\varepsilon,g),$

ma per la definizione di integrale 16

$s(\mathcal P_\varepsilon,f)+s(\mathcal P_\varepsilon,g) \leq \iint_\mathcal R f + \iint_\mathcal R g \leq S(\mathcal P_\varepsilon,f)+S(\mathcal P_\varepsilon,g),$

cioè $\iint_\mathcal R (f+ g)$ e $\iint_\mathcal R f + \iint_\mathcal R g$ sono valori reali appartenenti allo stesso intervallo di ampiezza $\varepsilon$ . Per l’arbitrarietà con cui abbiamo scelto $\varepsilon$ , vale la (24)

$\iint_\mathcal R (f+g)=\iint_\mathcal R f + \iint_\mathcal R g .$

Con gli stessi argomenti si prova che, se $f$ è integrabile allora anche $cf$ lo è, e vale la (25).

L’integrabilità del prodotto $fg$ di dimostra come segue.

Siano $F\coloneqq \sup_\mathcal R |f|$ e $G\coloneqq \sup_\mathcal R |g|$ . Per ogni insieme $A \subseteq \mathcal R$ , dalla disuguaglianza triangolare si ha

(30) $\begin{equation*} \begin{split} |fg(x_1,y_1)-fg(x_2,y_2)| \leq & |f(x_1,y_1)g(x_1,y_1) - f(x_1,y_1)g(x_2,y_2)| \\&+ |f(x_1,y_1)g(x_2,y_2) - f(x_2,y_2)g(x_2,y_2)| \\ = & |f(x_1,y_1)||g(x_1,y_1)-g(x_2,y_2)| + |g(x_2,y_2)||f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)| \\ \leq & F|g(x_1,y_1)-g(x_2,y_2)| + G|f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)| \end{split} \end{equation*}$

per ogni $(x_1,y_1), (x_2,y_2)\in \mathcal R$ . Da tale disuguaglianza si evince che, per ogni insieme $A \subseteq \mathcal R$ si ha

(31) $\begin{equation*} |fg(x_1,y_1)-fg(x_2,y_2)| \leq F(\sup_A g - \inf_A g) + G(\sup_A f - \inf_A f) \qquad \forall (x_1,y_1), (x_2,y_2) \in \mathcal R. \end{equation*}$

Facendo variare $(x_1,y_1), (x_2,y_2)$ in modo da ottenere $\sup_A fg$ e $\inf_A fg$ , si ottiene

(32) $\begin{equation*} \sup_A fg - \inf_A fg \leq F(\sup_A g - \inf_A g) + G(\sup_A f - \inf_A f) \qquad \forall A \subseteq \mathcal R. \end{equation*}$

Si fissi ora $\varepsilon>0$ ; poiché $f$ e $g$ sono integrabili, esiste una partizione $\mathcal P= \{\mathcal R_i\}_{i=1}^k$ di $\mathcal R$ tale che

(33) $\begin{equation*} S(\mathcal P,f)- s(\mathcal P,f) < \frac{\varepsilon}{2G}, \qquad S(\mathcal P,g)- s(\mathcal P,g) < \frac{\varepsilon}{2F}. \end{equation*}$

Si ha quindi

(34) $\begin{equation*} \begin{split} S(\mathcal P,fg) - s(\mathcal P,fg) = & \sum_{i=1}^k |\mathcal R_i| (\sup_{\mathcal R_i} fg - \inf_{\mathcal R_i} fg) \\ \leq & F \sum_{i=1}^k |\mathcal R_i|(\sup_A g - \inf_A g) + G \sum_{i=1}^k |\mathcal R_i|(\sup_A f - \inf_A f) \\ = & F \big( S(\mathcal P,g) - s(\mathcal P,g) \big) + G \big( S(\mathcal P,f) - s(\mathcal P,f) \big) \\ \leq & \varepsilon, \end{split} \end{equation*}$

dove nella prima disuguaglianza si è usato (32) applicato a $\mathcal R_i$ , mentre nella seconda disuguaglianza si è usato (33).
Fissata una partizione $\mathcal P = \{ R_i \}_{i=1} ^k$ di $\mathcal R$ , dall’ipotesi che $f \leq g$ segue

$m_i^f := \inf_{R_i} f \leq m_i^g:= \inf_{R_i} g$

per ogni $i=1, \dots,k$ , e dunque

$s(\mathcal P, f )= \sum_{i=1}^k m_{i}^f \vert R_{i}\vert \leq \sum_{i=1}^k m_{i}^g \vert R_{i} \vert= s(\mathcal P, g)$

da cui $s(f) \leq s(g)$ ma, essendo le funzioni integrabili, dalla definizione 16 si ottiene

$\iint_\mathcal R f \leq \iint_\mathcal R g .$
Per ipotesi $f$ è integrabile in $\mathcal R$ , quindi per il teorema 21 fissato $\varepsilon >0$ esiste una partizione $\mathcal P_\varepsilon \in \mathcal A (\mathcal R)$ tale che

(35) $\begin{equation*} S(\mathcal P_\varepsilon, f) - s(\mathcal P_\varepsilon, f) < \varepsilon. \end{equation*}$

A meno di considerare una ulteriore partizione più fine (per la quale (35) è ancora valida), possiamo inoltre supporre che ognuno dei rettangoli di $\mathcal{P}_\varepsilon$ sia contenuto in $\mathcal{R}'$ oppure abbia intersezione vuota con l’interno di $\mathcal{R}'$ .

Una partizione $\mathcal{P}'_\varepsilon$ di $\mathcal{R}'$ si ottiene considerando i rettangoli di $\mathcal{P}_\varepsilon$ contenuti in $\mathcal{R}'$ .

Dunque, notando che gli elementi di $\mathcal P'_\varepsilon$ sono solo alcuni degli elementi di $\widetilde{\mathcal P}_\varepsilon$ e ricordando che $\sup_E f \geq \inf_E f$ per ogni insieme $E$ , concludiamo che

(36) $\begin{equation*} \varepsilon > S(\widetilde{\mathcal P}_\varepsilon, f) - s(\widetilde{\mathcal P}_\varepsilon, f) = \sum_{\widetilde P_\varepsilon \in \widetilde{\mathcal P}_\varepsilon} \vert \widetilde P _\varepsilon \vert (\sup_{\widetilde P_\varepsilon} f - \inf _{\widetilde P_\varepsilon} f) \geq \sum_{P'_\varepsilon \in \mathcal P'_\varepsilon} \vert P' _\varepsilon \vert (\sup_{ P'_\varepsilon} f - \inf _{ P'_\varepsilon} f) =S(\mathcal P'_\varepsilon, f) - s(\mathcal P'_\varepsilon, f ). \end{equation*}$

Allora, per il teorema 21 $f$ è integrabile anche in $\mathcal R'$ .

Inoltre, se $f \geq 0$ , fissato $\varepsilon >0$ scegliamo una partizione $\mathcal P'$ di $\mathcal R'$ tale che

$s(\mathcal P',f)> - \varepsilon + \int \int_{\mathcal{R}'} f,$

e completiamola in una partizione $\mathcal P$ di $\mathcal R$ . Dalla positività di $f$ segue che

$s(\mathcal P,f)> s(\mathcal P',f)>\iint_{\mathcal R'} f -\varepsilon.$

Pertanto, passando al $\sup$ su tutte le partizioni di $\mathcal R$ , otteniamo la seguente relazione

$\iint_{\mathcal R} f > \iint_{\mathcal R'} f - \varepsilon,$

da cui, per l’arbitrarietà con cui abbiamo scelto $\varepsilon>0$ , segue che

$\iint_{\mathcal R} f\geq \iint_{\mathcal R'} f .$
Tenendo conto di quanto appena dimostrato, basta provare che $f$ è integrabile in $\mathcal R$ se lo sono le sue restrizioni in $\mathcal R'$ e $\mathcal R''$ .
Chiamiamo quindi $f_1$ , $f_2$ le restrizioni di $f$ ad $\mathcal R'$ , $\mathcal R''$ rispettivamente, e supponiamo siano integrabili. Fissato $\varepsilon >0$ , consideriamo $\mathcal P'_\varepsilon$ , $\mathcal P''_\varepsilon$ delle partizioni di $\mathcal R'$ , $\mathcal R''$ tali che

$S(\mathcal P'_\varepsilon, f_1)-s(\mathcal P'_\varepsilon,f_1) <\varepsilon/2$

$S(\mathcal P''_\varepsilon, f_2)-s(\mathcal P''_\varepsilon,f_2) < \varepsilon/2 .$

Poichè $\mathcal R'$ e $\mathcal R''$ non hanno punti interni in comune, l’unione $\mathcal P_\varepsilon:=\mathcal P'_\varepsilon \cup \mathcal P''_\varepsilon$ è una partizione di $\mathcal R$ tale che

$S(\mathcal P_\varepsilon, f)-s(\mathcal P_\varepsilon,f) = S(\mathcal P'_\varepsilon, f_1)+S(\mathcal P''_\varepsilon, f_2)-s(\mathcal P'_\varepsilon,f_1)-s(\mathcal P''_\varepsilon,f_2) < \varepsilon,$

cioè $f$ è integrabile in $\mathcal R$ per il teorema 21.

Avendo dimostrato la doppia implicazione, ci resta da far vedere che vale l’uguaglianza (27). Poichè $f_1$ e $f_2$ sono funzioni definite rispettivamente in $\mathcal R'$ e $\mathcal R''$ , possiamo estenderle come segue: chiamiamo $\widetilde f_1$ la funzione ottenuta ponendo $f_1$ pari a zero fuori da $\mathcal R'$ e $\widetilde f_2$ la funzione ottenuta ponendo $f_2$ pari a zero fuori da $\mathcal R''$ e su $\partial \mathcal R ''$ . In altre parole, $\widetilde{f}_1, \widetilde{f}_2 \colon \mathcal{R} \to \mathbb{R}$ sono le funzioni definite da

(37) $\begin{equation*} \widetilde{f}_1(x,y) = \begin{cases} f_1(x,y) & \text{se } (x,y) \in \mathcal{R}'\\ 0 & \text{altrimenti}, \end{cases} \qquad \widetilde{f}_2(x,y) = \begin{cases} f_2(x,y) & \text{se } (x,y) \in \mathcal{R}'' \setminus (\partial \mathcal{R}'')\\ 0 & \text{altrimenti}. \end{cases} \end{equation*}$

Pertanto si ha

$S(\mathcal P_\varepsilon, \widetilde f_1)-s(\mathcal P_\varepsilon,\widetilde f_1) = S(\mathcal P'_\varepsilon, f_1)-s(\mathcal P'_\varepsilon,f_1) < \varepsilon/2,$

$S(\mathcal P_\varepsilon, \widetilde f_2)-s(\mathcal P_\varepsilon,\widetilde f_2) = S(\mathcal P''_\varepsilon, f_2)-s(\mathcal P''_\varepsilon,f_2) < \varepsilon/2.$

Da tali disuguaglianze si vede quindi che

$\iint_{\mathcal R } \widetilde f_1 = \iint_{\mathcal R'} f_1 \qquad \iint_{\mathcal R }\widetilde f_2 = \iint_{\mathcal R''} f_2.$

Allora, poiché $f= \widetilde{f_1} + \widetilde{f}_2$ , per la (24) otteniamo

$\iint_{\mathcal R } f = \iint_{\mathcal R} (\widetilde f_1+ \widetilde f_2) = \iint_{\mathcal R }\widetilde f_1+\iint_{\mathcal R }\widetilde f_2=\iint_{\mathcal R' } f_1+\iint_{\mathcal R'' } f_2=\iint_{\mathcal R' } f+\iint_{\mathcal R'' } f.$
Vogliamo provare che è integrabile, quindi, fissato consideriamo una partizione tale che

(38) $\begin{equation*} S(\mathcal P,f)-s(\mathcal P,f)< \varepsilon, \end{equation*}$

la quale esiste perchè $f$ è integrabile per ipotesi. Allora, chiamati

$m_{i}^f := \inf_{R_{i}} f , \quad M_{i}^f:= \sup_{R_{i}}f \quad \text{e} \quad m_{i}^{\vert f \vert} := \inf_{R_{i}} {\vert f \vert}, \quad M_{i}^{\vert f \vert}:= \sup_{R_{i}}{\vert f \vert} ,$

per ogni $i = 1 , \dots, k$ , notiamo che

$M_{i}^{\vert f \vert} = \max\{{M_{i}^f, -m_{i}^f} \}$

e

$m_{i}^{\vert f \vert} \leq \min \{ \vert M_{i}^f \vert, \vert m_{i}^f \vert \} .$

Da tali relazioni, con ragionamenti elementari, otteniamo:
- se $M_i^f, m_i^f$ hanno segno concorde, allora $M_{i}^{\vert f \vert}-m_{i}^{\vert f \vert} = \vert M_i^f -m_i^f \vert$ ;
- se $M_i^f, m_i^f$ hanno segno discorde, allora
  (39) $\begin{equation*} M_{i}^{\vert f \vert}-m_{i}^{\vert f \vert} \leq \max\{\vert M_{i}^f \vert , \vert m_{i}^f \vert \} \leq \vert M_{i}^f \vert +\vert m_{i}^f \vert = \vert M_{i}^f - m_i^f\vert. \end{equation*}$
In entrambi i casi, poiché $M_i^f -m_i^f \geq 0$ , segue che

(40) $\begin{equation*} M_{i}^{\vert f \vert}-m_{i}^{\vert f \vert} \leq M_{i}^f-m_{i}^f . \end{equation*}$

Allora, per la stime (38) e (40), abbiamo

$S(\mathcal P,\vert f \vert)-s(\mathcal P,\vert f \vert) = \sum_{i=1}^k \vert R_{i}\vert (M_{i}^{\vert f \vert}-m_{i}^{\vert f \vert}) \leq \sum_{i=1}^k \vert R_{i} \vert (M_{i}^{f}-m_{i}^{f}) = S(\mathcal P, f )-s(\mathcal P, f ) < \varepsilon ,$

cioè la funzione $\vert f \vert$ è integrabile per il teorema 21. Inoltre, essendo $-\vert f \vert \leq f \leq \vert f\vert$ , per la monotonia dell’integrale rispetto alla funzione integranda dimostrata al punto $2$ , segue che

$-\iint_ \mathcal R \vert f \vert \leq \iint_ \mathcal R f \leq \iint_ \mathcal R \vert f \vert \qquad \Longrightarrow \qquad \Bigg \vert \iint_ \mathcal R f \,\Bigg{\vert} \leq \iint_ \mathcal R \vert f \vert .$

Esercizio 24 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Utilizzando gli argomenti precedenti ed il fatto che

$\max \{ a, b\} = \dfrac{a+b+ \vert a-b \vert }{2} \quad \text{e} \quad \min \{ a, b\} = \dfrac{a+b - \vert a-b \vert }{2} \qquad \forall a,b \in \mathbb R ,$

provare che, se $f,g: \mathcal R \to \mathbb R$ sono funzioni integrabili, anche $\max \{f, g\}$ e $\min \{f, g \}$ sono funzioni integrabili.

Dal punto 2 del teorema 23, segue che, se $f (x,y)\geq 0$ per ogni $x \in \mathcal R$ , allora

$\iint_ \mathcal R f \geq 0.$

Questo risultato vale anche considerando le disuguaglianze strette. Lasciamo la dimostrazione come esercizio impegnativo per il lettore.

Esercizio 25 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Provare che se $f \colon \mathcal R \to \mathbb R$ è integrabile e $f(x,y)>0$ per ogni $(x,y) \in \mathcal R$ , allora

$\int_{\mathcal R} f >0 .$

Integrali doppi su domini semplici, regolari e misurabili

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Come abbiamo già detto, il caso in cui la funzione integranda è definita in un rettangolo è un caso particolare e non esaustivo per lo studio degli integrali doppi. Vediamo, dunque, come si definisce l’integrabilità di una funzione quando il suo dominio è un sottoinsieme $\Omega$ di $\mathbb{R}^2$ diverso da un rettangolo.

Un’idea naturale è quella di considerare un rettangolo $\mathcal R = [a, b] \times [c, d]$ che contiene $\Omega$ , “estendere” la funzione in tutto il rettangolo (definendola uguale a zero fuori da $\Omega$ ), ed integrare su $\mathcal R$ la funzione così ottenuta. Se tale integrale esiste, diremo che la funzione di partenza è integrabile in $\Omega$ .

Definizione 26 (funzioni integrabili). Siano $\Omega \subset \mathbb R^2$ e $f:\Omega \to \mathbb R$ limitata. La funzione $f$ si dice integrabile secondo Riemann (o semplicemente integrabile) in $\Omega$ se esiste un rettangolo $\mathcal R\supset \Omega$ tale che la funzione

$\widetilde f (x,y): = \begin{cases} f(x,y) & \text{se } (x,y) \in \Omega \\ 0 & \text{se } (x,y) \in \mathcal{R} \setminus \Omega \end{cases}$

è integrabile in $\mathcal R$ e in tal caso si pone

$\iint_\Omega f= \iint_\mathcal R \widetilde f .$

Prima di procedere, osserviamo alcuni fatti importanti sulla definizione appena data.

Osservazione 27. La definizione 26 è ben posta, cioè non dipende dal particolare rettangolo $\mathcal R$ scelto. Dati due rettangoli arbitrari $\mathcal R_1,\mathcal R_2$ che contengono $\Omega$ , dette $\widetilde f_1$ , $\widetilde f_2$ le estensioni di $f$ pari a $0$ nei rettangoli $\mathcal R_1$ , $\mathcal R_2$ rispettivamente, vogliamo dimostrare $\widetilde f_1$ è integrabile se e solo se lo è $\widetilde f_2$ . Consideriamo, quindi, un altro rettangolo $\mathcal R$ che contiene $\mathcal R_1, \mathcal R_2$ , come in figura 4.

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Figura 4: insieme $\Omega$ dell’osservazione ??.

Applichiamo il punto $4$ del teorema 23 all’estensione $\widetilde f$ di $f$ pari a $0$ su $\mathcal R$ per affermare che $\widetilde f$ risulta integrabile su $\mathcal R_1$ , $\mathcal R_2$ . Inoltre, poichè $\mathcal R \setminus \mathcal R_1$ è composto dall’unione di un numero finito di rettangoli su cui $\widetilde f$ è nulla, per la (27) si ha

$\iint_{\mathcal R} \widetilde f =\iint_{\mathcal R_1} \widetilde f =\iint_{\mathcal R_1} \widetilde f_1 ,$

dove l’ultima uguaglianza segue dal fatto che $\widetilde f = \widetilde f_1$ su $\mathcal R_1$ . Poichè lo stesso ragionamento si può fare per $\mathcal R_2$ , si ha dunque

$\iint_{\mathcal R_1} \widetilde f _1=\iint_{\mathcal R_2} \widetilde f _2.$

Osservazione 28. Se $\Omega$ è un rettangolo, la definizione 26 coincide con la definizione 16. Infatti il rettangolo cercato nella definizione 26 è $\Omega$ stesso e $\widetilde f = f$ .

Esempio 29. Consideriamo la funzione $f : x \in [0,1]\times[0,1] \cap\mathbb Q ^2 \mapsto 1 \in \mathbb R$ , cioè definita sui punti a coordinate razionali e costantemente pari a $1$ . Chiaramente $f$ è continua su $[0,1]\times[0,1] \cap \mathbb{Q}^2$ , ma la sua estensione $\tilde{f}$ a un rettangolo è la funzione di Dirichelet che, come abbiamo visto nell’esempio 20 , non è integrabile.

Come vedremo nella prossima sezione, l’integrabilit\` a di $f$ su un insieme del piano dipende da alcune proprietà dell’insieme stesso e della sua frontiera. Il primo obiettivo che ci poniamo è trovare una classe di insiemi che rendono integrabili tutte le funzioni continue.

Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan.

Ci proponiamo di determinare alcune condizioni su $\Omega$ e sulla sua frontiera $\partial \Omega$ che siano sufficienti a garantire l’integrabilità di ogni funzione continua su $\Omega$ . Per fare ciò definiamo una classe di insiemi, detti misurabili secondo Peano-Jordan, ma prima ricordiamo la seguente definizione.

Definizione 30 (funzione caratteristica). Se $\Omega \subset \mathbb R^2$ , la funzione $\chi_\Omega : \mathbb R^2 \to \{ 0,1\}$ definita da

$\chi_\Omega(x,y):= \begin{cases} 1 \quad \text{se $(x,y) \in \Omega$} \\ 0 \quad \text{se $(x,y) \notin \Omega$} \end{cases}$

si chiama funzione caratteristica (o funzione indicatrice) di $\Omega$ .

Dalle proprietà di integrabilità della funzione $\chi_\Omega$ discendono delle proprietà dell’insieme $\Omega$ ; in particolare, è possibile definire un concetto di misura di $\Omega$ che analizzeremo nel corso di questa sezione.

Definizione 31 (insiemi misurabili). Un insieme $\Omega \subset \mathbb R^2$ limitato è misurabile ( secondo Peano-Jordan) se la sua funzione caratteristica \` e integrabile in ogni rettangolo $\mathcal R$ contenente $\Omega$ . In tal caso, il valore dell’integrale di $\chi_{\Omega}$ si dice misura (o area) di $\Omega$ e si indica con $\vert \Omega \vert$ , cioè:

$\vert \Omega \vert := \iint_{\mathcal R} \chi_\Omega=\iint_\Omega 1 .$

Un insieme $\Gamma \subset \mathbb R^2$ limitato e misurabile secondo Peano-Jordan si dice di misura nulla se $\vert \Gamma \vert =0$ .

In altre parole, $\Omega$ è misurabile se e solo se la funzione unitaria $f\equiv 1$ definita in $\Omega$ è integrabile in $\Omega$ .

Osservazione 32. Il simbolo $\vert \cdot \vert$ usato per la misura di Peano-Jordan di un insieme è uguale a quello usato per indicare il volume dei rettangoli $\vert \mathcal R \vert$ e ciò potrebbe sembrare un abuso di notazione; esso perchè solo apparente in quanto si vede facilmente che i rettangoli sono misurabili secondo Peano-Jordan e la loro misura di Peano-Jordan è pari al volume introdotto nella definizione 1.

Notiamo che, in questa dispensa, ci limitiamo allo studio degli integrali di funzioni limitate su insiemi limitati. Cioè non trattiamo i cosiddetti integrali impropri.

Prima di continuare con lo studio degli integrali doppi su particolari domini, detti semplici o normali, enunciamo alcuni risultati relativi alla misura di Peano-Jordan.

Teorema 33 [teorema $4.12$ , 1]. Siano $\Omega_1, \dots, \Omega_h \subset \mathbb R^2$ misurabili, allora gli insiemi $\bigcap_{i=1}^h \Omega_i$ e $\bigcup_{i=1}^h \Omega_i$ sono misurabili. Inoltre, se gli insiemi $\Omega_i$ sono a due a due disgiunti allora

$\Big \vert \bigcup_{i=1}^h \Omega_i \Big \vert = \sum_{i=1}^h \vert \Omega_i \vert .$

Infine, per ogni coppia di insiemi misurabili $\Omega_i, \Omega_j$ , la differenza $\Omega_j \setminus \Omega_i$ è misurabile.

Vale inoltre il seguente teorema.

Teorema 34 [teorema $4.10$ , 1]. Un insieme $\Gamma \subset \mathbb R^2$ limitato è di misura nulla se e solo se per ogni $\varepsilon >0$ esiste un numero finito di rettangoli $\mathcal R_1, \dots , \mathcal R_{k_\varepsilon}$ tali che

$\Gamma \subset \bigcup_{i=1}^{k_\varepsilon} \mathcal R_i \quad \text{e} \quad \sum_{i=1}^{k_\varepsilon} \vert \mathcal R_i \vert < \varepsilon .$

Inoltre:

Se $\Gamma$ è di misura nulla e $\Lambda \subset \Gamma$ , allora $\Lambda$ è misurabile e $|\Lambda|=0$ ;
Se $|\Gamma_i|=0$ per ogni $i=1,\dots, N$ , allora $\Gamma = \bigcup_{i=1}^N \Gamma_i$ è misurabile e di misura nulla.

Esempio 35. Un primo esempio di insiemi di misura nulla è dato dagli insiemi formati da un numero finito di punti. Infatti, per ogni $\varepsilon >0$ e per ogni punto dell’insieme possiamo considerare un rettangolo che contenga tale punto e abbia area minore di $\varepsilon$ . La famiglia di rettangoli siffatti soddisfa il teorema 34.

Come ulteriore esempio di insiemi di misura nulla, presentiamo il seguente risultato.

Teorema 36. Sia $f : [a,b] \to \mathbb R$ integrabile. Allora l’insieme

$\operatorname{graf}(f) := \{ (t,f(t)) \in \mathbb R^2\, : \, t \in [a,b] \}$

è di misura nulla.

Dimostrazione. Per il criterio di integrabilità delle funzioni in una variabile (analogo del teorema 21) sappiamo che $f$ è integrabile in $[a,b]$ se e solo se per ogni $\varepsilon >0$ esiste una partizione

$\mathcal P_\varepsilon= \{ [x_i, x_{i+1}]\}_{i=1}^{k_\varepsilon} \qquad \text{con $a=x_1< x_2 < \dots < x_{k_\varepsilon}=b$}$

di $[a,b]$ tale che

$S(\mathcal P_\varepsilon, f) - s(\mathcal P_\varepsilon, f) = \sum _{i=1}^{k_\varepsilon} \bigg[(\sup_{[x_{i}, x_{i+1}]} f - \inf_{[x_{i}, x_{i+1}]} f) (x_{i+1} - x_{i} ) \bigg]< \varepsilon .$

Poniamo

$\mathcal R_i := [x_{i}, x_{i+1}] \times [\inf_{[x_{i}, x_{i+1}]} f, \sup_{[x_{i}, x_{i+1}]} f] \quad \forall i=1 , \dots, {k_\varepsilon} ,$

allora abbiamo che

$\sum_{i=1}^{{k_\varepsilon}} \vert \mathcal R_i \vert = \sum _{i=1}^{k_\varepsilon} \bigg[(\sup_{[x_{i}, x_{i+1}]} f - \inf_{[x_{i}, x_{i+1}]} f) (x_{i+1} - x_{i} ) \bigg]< \varepsilon$

ed inoltre, per come sono stati scelti i rettangoli $\mathcal R_i$ ,

$\operatorname{graf}(f) \subset \bigcup _{i=1}^{k_\varepsilon} \mathcal R_i ,$

cioè $\operatorname{graf}(f)$ è di misura nulla per il teorema 34.

Proposizione 37. Sia $\Gamma \subset \mathbb R^2$ di misura nulla e sia $f : \Gamma \to \mathbb R$ limitata. Allora

$\iint_\Gamma f = 0 .$

Dimostrazione. Poichè $\Gamma$ è di misura nulla, abbiamo

$0 = |\Gamma | \inf_\Gamma f = \int_\Gamma \inf_\Gamma f \leq \int_\Gamma f \leq \int_\Gamma \sup_\Gamma f =|\Gamma | \sup_\Gamma f = 0$

dove nella seconda e nella terza uguaglianza abbiamo usato il punto $1$ del teorema 23 insieme alla definizione di misura di Peano-Jordan, mentre nelle due disuguaglianze abbiamo usato il punto $2$ del teorema 23.

La misurabilità di un insieme è strettamente legata alla misura della sua frontiera; vale infatti il seguente teorema, che ci limitiamo a enunciare.

Teorema 38 [teorema $4.9$ , 1]. Un insieme $\Omega \subset \mathbb R^2$ limitato è misurabile se e solo se la sua frontiera $\partial \Omega$ è di misura nulla.

Osservazione 39. Nell’esempio 20 abbiamo visto che la funzione di Dirichelet non è integrabile nel quadrato $\mathcal I$ . Poichè essa è proprio la funzione indicatrice dei punti di $\mathcal I$ a coordinate razionali, per la definizione 31 questo insieme non è misurabile secondo Peano-Jordan. Poiché la frontiera di $\mathcal I \cap \mathbb Q^2$ è pari a $[0,1]^2$ , che non è di misura nulla, il teorema 38 fornisce quindi un’altra dimostrazione della non-integrabilità della funzione di Dirichlet.

Il seguente risultato è la controparte del teorema 23 relativa agli integrali su insiemi misurabili.

Per gli integrali di funzioni su tali insiemi, infatti, valgono le stesse proprietà di linearità, monotonia e additività stabilite per gli integrali su rettangoli. Vale inoltre l’analogo della disuguaglianza triangolare, che maggiora il modulo dell’integrale di una funzione $f$ con l’integrale del modulo di $f$ .

Osserviamo che, nonostante gli enunciati dei due teoremi siano molto simili, le dimostrazioni differiscono in alcuni punti, a causa della diversità di geometria tra rettangoli e insiemi misurabili qualsiasi.

Teorema 40. Siano $\Omega \subset \mathbb R^2$ un insieme misurabile, $f,g \colon \Omega \to \mathbb{R}$ integrabili in $\Omega$ e sia $c \in \mathbb{R}$ . Allora valgono le seguenti proprietà:

linearità dell’integrale: le funzioni $f+g$ , $cf$ , $fg$ sono integrabili in $\Omega$ e
(41) $\begin{equation*} \iint _{\Omega} (f+g) = \iint_\Omega f + \iint_\Omega g, \end{equation*}$

(42) $\begin{equation*} \iint _{\Omega} cf = \, c \iint_\Omega f ; \end{equation*}$
positività e monotonia dell’integrale rispetto alla funzione integranda:
se $f (x,y)\leq g(x,y)$ per ogni $(x,y) \in \Omega$ , allora

$\iint_\Omega f \leq \iint_ \Omega g ;$
monotonia dell’integrale rispetto al dominio di integrazione: se $\Omega' \subset \Omega$ misurabile, allora $f$ è integrabile in $\Omega'$ . Inoltre, se $f \geq 0$ in $\Omega$ risulta
$\iint_{\Omega'} f\leq \iint_\Omega f ;$
additività dell’integrale rispetto al dominio di integrazione: siano $\Omega$ ‘ e $\Omega''$ due insiemi misurabili tali che $\Omega= \Omega' \cup \Omega''$ . Allora $f$ è integrabile su $\Omega$ se e solo se lo è su $\Omega'$ e su $\Omega''$ . Inoltre, se $\Omega'$ e $\Omega''$ hanno parti interne disgiunte, allora
(43) $\begin{equation*} \int_{\Omega} f = \int_{\Omega'} f + \int_{\Omega''} f; \end{equation*}$
disuguaglianza triangolare: $\vert f \vert$ è integrabile in $\Omega$ e vale

$\Bigg{\vert} \iint_ \Omega f \,\Bigg{\vert} \leq \iint_ \Omega \vert f \vert .$

Dimostrazione. Fissiamo un rettangolo $\mathcal R$ contenente $\Omega$ .

Poichè $f$ , $g$ sono integrabili in $\Omega$ , per la definizione 26 le estensioni $\widetilde f$ , $\widetilde g$ sono integrabili in $\mathcal R$ . Notiamo che, per come abbiamo definito le estensioni, le funzioni $\widetilde{f+g}$ e $\widetilde{fg}$ coincidono con $\widetilde f+\widetilde g$ e $\widetilde{f}\widetilde{g}$ in $\mathcal R$ e quindi sono anch’esse integrabili per il punto $1$ del teorema 23. Allora $f+g$ e $fg$ sono integrabili in $\Omega$ ; inoltre vale (41) in quanto
$\iint_\Omega f + \iint_\Omega g = \iint_\mathcal R \widetilde f + \iint_\mathcal R \widetilde g= \iint_\mathcal R (\widetilde f+\widetilde g)= \iint_\mathcal R (\widetilde {f+ g})= \iint_\Omega (f+g).$

In modo simile proviamo che vale (42). Infatti, le funzioni $c \widetilde f$ e $\widetilde{cf}$ coincidono in $\mathcal R$ e sono integrabili per il punto $1$ del teorema 23. Pertanto $cf$ è integrabile in $\Omega$ per la definizione 26 e vale:

$\iint_\Omega c f = \iint_\mathcal R \widetilde {cf}= \iint_\mathcal R c\widetilde f= c \iint_\mathcal R \widetilde f= c\iint_\Omega f.$
Poichè $f\leq g$ in $\Omega$ , abbiamo che $\widetilde f \leq \widetilde g$ in $\mathcal R$ e per il punto $2$ del teorema 23 vale:
$\iint_\mathcal R \widetilde f \leq \iint_\mathcal R \widetilde g.$

Allora, per la definizione 26 , otteniamo

$\iint_\Omega f = \iint_\mathcal R \widetilde f \leq \iint_\mathcal R \widetilde g = \iint_\Omega g .$
Notiamo che la restrizione di $f$ a $\Omega'$ si ottiene come prodotto di $f$ per la funzione caratteristica di $\Omega'$ , cioè $f_{\Omega'} = f \chi_{\Omega'}$ . Per ipotesi sappiamo che $f$ è integrabile e $\Omega'$ è misurabile quindi anche $\chi_{\Omega'}$ è integrabile per la definizione 31, allora per il punto $1$ del teorema 23 $f_{\Omega'}$ è integrabile poichè è prodotto di funzioni integrabili. Se $f \geq 0$ , allora $f(x,y) \geq f(x,y) \chi_{\Omega'}(x,y)$ per ogni $(x,y) \in \Omega$ , quindi per il punto $2$ concludiamo che

$\iint_{\Omega'} f = \iint_{\Omega'} f _{\Omega'}=\iint_\Omega f \chi_{\Omega'} \leq \iint_\Omega f ,$

dove nella prima uguaglianza abbiamo usato il fatto che $f$ , $f_{\Omega'}$ coincidono in $\Omega'$ .
Se $f$ è integrabile su $\Omega$ , allora lo è sia su $\Omega'$ che su $\Omega''$ per il punto precedente. Viceversa, supponiamo che $f$ sia integrabile su $\Omega'$ e su $\Omega''$ . Allora si ha

(44) $\begin{equation*} \tilde{f} = \widetilde{f} \chi_{\Omega'} + \widetilde{f}\chi_{\Omega '' \setminus \Omega'} \end{equation*}$

e tali funzioni coincidono con $\widetilde{f_{\Omega'}}$ e $\widetilde{f_{\Omega'' \setminus \Omega'}}$ . Poiché $\Omega'' \setminus \Omega'$ è misurabile per il teorema 33 queste funzioni sono integrabili su $\mathcal{R}$ per ipotesi, quindi anche $\widetilde{f}$ lo è per il punto $1$ . Di nuovo per il punto $1$ , vale

(45) $\begin{equation*} \int_{\Omega} f = \int_{\mathcal{R}} \tilde{f} = \int_{\mathcal{R}} \widetilde{f} \chi_{\Omega'} + \int_{\mathcal{R}} \widetilde{f}\chi_{\Omega '' \setminus \Omega'} = \int_{\Omega'} f + \int_{\Omega '' \setminus \Omega'} f. \end{equation*}$

Se $\Omega' \cap \Omega''= \emptyset$ , allora $\Omega'' \setminus \Omega'= \Omega''$ e (45) coincide con la tesi. Se invece $\Omega'$ e $\Omega''$ non sono disgiunti, ma hanno parti interne disgiunte, si ha $\Omega'' \cap \Omega' \subseteq \partial \Omega''$ . Per il punto $1$ del teorema 34 si ha quindi $|\Omega'' \cap \Omega'|=0$ e, per la proposizione 37, si ha

(46) $\begin{equation*} \int_{\Omega'' \cap \Omega'} f = 0. \end{equation*}$

Quindi

(47) $\begin{equation*} \int_{\Omega} f = \int_{\Omega'} f + \int_{\Omega '' \setminus \Omega'} f + \int_{\Omega'' \cap \Omega'} f = \int_{\Omega'} f + \int_{\Omega ''} f, \end{equation*}$

dove la seconda uguaglianza segue da (45). L’ultima uguaglianza segue dal fatto che $\Omega'$ e $\Omega'' \setminus \Omega'$ sono disgiunti e ci si riconduce al caso già provato in precedenza.
Notiamo che il modulo dell’estensione di $f$ a $\mathcal R$ coincide con l’estensione del modulo di $f$ a $\mathcal R$ , cioè $\vert \widetilde f \vert = \widetilde{ \vert f \vert}$ . Per il punto $5$ del teorema 23 $\vert \widetilde f \vert$ è integrabile in $\mathcal R$ (perchè $f$ è integrabile in $\Omega$ quindi $\widetilde f$ lo è in $\mathcal R$ ), quindi $\vert f \vert$ è integrabile in $\Omega$ . Inoltre, per il teorema 23 vale:
$\Big \vert \iint_\Omega f \Big \vert = \Big \vert \iint_\mathcal R \widetilde f \Big \vert \leq \iint_\mathcal R \vert \widetilde f \vert = \iint_\mathcal R \widetilde {\vert f \vert }= \iint_\Omega \vert f \vert .$

Integrali di funzioni continue

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In questa sezione studiamo le funzioni continue su insiemi che godono di alcune proprietà topologiche.

Introduciamo gli insiemi compatti, che intuitivamente sono quegli insiemi i cui punti non possono essere “troppo dispersi”.

Definizione 41 (insieme compatto in $\mathbb{R}^2$ ). Un insieme $K \subset \mathbb R^2$ si dice compatto se è chiuso e limitato.

Le funzioni continue su un insieme compatto godono, in realtà, di una propietà più forte. Esse, infatti, sono uniformemente continue.

Definizione 42 (funzione uniformemente continua). Dato $\Omega \subseteq \mathbb R^2$ e data una funzione $f : \Omega \to \mathbb R$ , essa si dice uniformemente continua se per ogni $\varepsilon >0$ esiste $\delta >0$ tale che per ogni $x_{1},x_{2} \in \Omega$ con $\Vert x_{1}-x_{2} \Vert <\delta$ si ha

$|f(x_1)-f(x_2) | \leq \varepsilon.$

Notiamo che, diversamente dalla continuità semplice, nella definizione 42 la distanza $\delta$ dipende solo da $\varepsilon$ e non dai punti $x_{1}, x_2$ .

Teorema 43 [Heine-Cantor, teorema 3.30, 2]. Sia $K \subset \mathbb R^2$ un insieme chiuso e limitato e $f : K \to \mathbb R$ continua. Allora $f$ è uniformemente continua in $K$ .

Utilizzando il teorema di Heine-Cantor proviamo una condizione sufficiente affinchè una funzione limitata in un rettangolo $\mathcal R$ sia integrabile.

Teorema 44. Sia $f : \mathcal R= [a,b] \times[c,d] \to \mathbb R$ limitata. Se l’insieme $D_f$ dei punti di discontinuità di $f$ è di misura nulla, allora $f$ è integrabile in $\mathcal R$ .

Dimostrazione. Si fissi $\varepsilon>0$ e sia $M \coloneqq \sup_{\mathcal{R}} |f|$ . Poiché $|D_f|=0$ , per il teorema 34 esiste un ricoprimento di rettangoli $\{R_i\}_{i=1}^h$ tali che

(48) $\begin{equation*} \sum_{i=1}^h |R_i| < \frac{\varepsilon}{4M}. \end{equation*}$

A meno di eliminare le parti in comune tra i rettangoli $R_i$ (cosa che farebbe diminuire il valore della somma in (48) e suddividerli ulteriormente, si può assumere che le loro parti interne siano disgiunte. La chiusura di $\mathcal{R} \setminus \big( \bigcup_{i=1}^h R_i \big)$ è chiusa e limitata, quindi è compatta per la definizione 41. Pertanto, per il teorema 43 la restrizione di $f$ a tale insieme è uniformemente continua. Esiste quindi $\delta>0$ tale che

(49) $\begin{equation*} |f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|< \frac{\varepsilon}{2|\mathcal{R}|} \qquad \forall (x_1,y_1),(x_2,y_2) \in \mathcal{R} \setminus \left( \bigcup_{i=1}^h R_i \right),\,\,\, |(x_1,y_1)-(x_2,y_2)|< \delta. \end{equation*}$

Si completi $\{R_i\}_{i=1}^h$ in una partizione $\mathcal{P}=\{R_i\}_{i=1}^k$ plurirettangolare di $\mathcal{R}$ tale che

(50) $\begin{equation*} \operatorname{diam}R_i \leq \delta \qquad \forall i \in \{h+1,\dots,k\}, \end{equation*}$

dove, per $E \subseteq \mathbb R^2$ , si indica $\diam E \coloneqq \sup\{ |x-y| \colon x,y \in E\}$ . Si ha quindi

(51) $\begin{equation*} \begin{split} S(\mathcal{P},f) - s(\mathcal{P},f) = & \sum_{i=1}^h |R_i|(\sup_{R_i}f - \inf_{R_i}f) + \sum_{i=h+1}^k |R_i|(\sup_{R_i}f - \inf_{R_i}f) \\ \leq & 2M\sum_{i=1}^h |R_i| + \frac{\varepsilon}{2|\mathcal{R}|}\sum_{i=h+1}^k |R_i| \\ \leq & \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon, \end{split} \end{equation*}$

dove la prima disuguaglianza deriva dal fatto che $M= \sup|f|$ per la prima sommatoria e da (49) e (50) per la seconda sommatoria, mentre la seconda disuguaglianza deriva da (48) per la prima sommatoria e dal fatto che $\mathcal{P}$ è una partizione plurirettangolare di $\mathcal{R}$ per la seconda sommatoria, in virtù del lemma 9. Per (51), per l’arbitrarietà di $\varepsilon$ e per il teorema 21, $f$ è integrabile su $\mathcal{R}$ .

Osservazione 45. La parte del “se” del teorema 38 si può dimostrare utilizzando il teorema 44 che dimostriamo nella prossima sezione. Infatti se $\partial \Omega$ è di misura nulla, l’insieme dei punti di discontinuità della funzione caratteristica di $\Omega$ ha misura nulla e per il teorema 44 tale funzione è integrabile. Quindi, per la definizione 31 $\Omega$ è misurabile.

Più in generale, vediamo un risultato analogo per funzioni definite in un insieme misurabile e che può essere dimostrato come corollario del teorema 44.

Teorema 46. Siano $\Omega \subset \mathbb R^2$ , $f :\Omega \to \mathbb R$ limitata. Se $\Omega$ è misurabile e $f$ è continua tranne che in un insieme $D_f$ di misura nulla, allora $f$ è integrabile in $\Omega$ .

Dimostrazione. Sia $\widetilde f$ l’estensione di $f$ pari a $0$ in un rettangolo $\mathcal R$ contenente $\Omega$ , cioè

$\begin{align*} \widetilde f (x,y ) = \begin{cases} f(x,y) \quad & \text{se $(x,y) \in \Omega$} \\ 0 & \text{se $(x,y) \in \mathcal R \setminus \Omega$} \end{cases} \end{align*}$

e chiamiamo $D_{\widetilde f}$ l’insieme dei punti in cui $\widetilde f$ non è continua, allora $D_{\widetilde f} \subseteq \partial \Omega \cup D_f$ . Infatti se $x \in \mathring \Omega$ , allora $x$ è un punto di discontinuità per $f$ se e solo se lo è per $\widetilde{f}$ poichè $f,\widetilde f$ coincidono su $\Omega$ . Se, invece, $x \in \mathring{(\mathcal R\setminus \Omega)}$ , allora $\widetilde{f}$ è continua perchè è costante in $\mathcal R \setminus \Omega$ . Quindi i punti di discontinuità di $\widetilde f$ lo sono anche per $f$ o sono punti di $\partial \Omega$ .

Allora dai teoremi 38 e 33 e dall’additività della misura segue che $\vert D_{\widetilde f} \vert =0$ . Per il teorema 44 $\widetilde f$ è integrabile in $\mathcal R$ e per la definizione 26 $f$ è integrabile in $\Omega$ .

In particolare, come corollario del teorema 46, si ottiene che ogni funzione continua in un compatto misurabile è integrabile per il teorema 46 , poichè limitata (per il teorema di Weierstrass).

Vediamo un esempio di funzione unidimensionale integrabile i cui punti di discontinuità formano un insieme non misurabile secondo Peano-Jordan e ricordiamo che ciò si estende in modo simile anche a funzioni definite in un dominio di $\mathbb R^2$ .

Esempio 47. Consideriamo la funzione $f:[0,1]\to [0,1]$ definita da

(52) $\begin{equation*} f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{q} \quad \text{se $x=\dfrac{m}{q} \in \mathbb Q$ e $m,n$ sono coprimi} \\ 0 \quad \text{se $x \notin \mathbb Q$}. \end{cases} \end{equation*}$

Allora $f$ è integrabile con $\int_{[0,1]} f = 0$ , ma l’insieme dei suoi punti di discontinuità è $D_f= \mathbb Q \cap [0,1]$ , che non è misurabile secondo Peano-Jordan.

Esercizio 48 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Verificare che la funzione $f:[0,1]\to [0,1]$ definita in (52) è integrabile e che $\int_{[0,1]} f = 0$ .

Questo esempio mostra che il teorema 46 non non si può invertire. Per avere una condizione necessaria e sufficiente per l’integrabilità, dovremmo considerare la definizione di insieme di misura nulla secondo Lebesgue, che non è oggetto di studio di queste note.

Teorema della media integrale.

Introduciamo un’altra nozione topologica, quella di insieme connesso.

Definizione 49 (insieme connesso). Un insieme $X\subset \mathbb R^2$ si dice connesso se non esistono due aperti $X_1, X_2$ tali che

$X_1, X_2 \ne \emptyset , \qquad X_1 \cap X_2 = \emptyset \qquad \text{e} \qquad X_1 \cup X_2 \supset X .$

Per le funzioni continue su insiemi connessi vale il teorema dei valori intermedi (per la dimostrazione si consulti ad esempio [3, pag. $113$ ]). Come nel caso unidimensionale, esso assicura che l’immagine di un insieme connesso tramite una funzione continua è un intervallo.

Teorema 50 (dei valori intermedi). Sia $\Omega \subset \mathbb R^2$ misurabile e connesso, sia $f : \Omega \subset \mathbb R^2\to \mathbb R$ continua e siano $a ,b \in \im f$ con $a<b$ . Allora per ogni $c \in (a, b)$ esiste $(x_0,y_0) \in \Omega$ tale che $f(x_0,y_0) = c$ .

Il teorema dei valori intermedi oltre ad avere una propria notevole importanza, è uno strumento utile per la dimostrazione del seguente teorema.

Teorema 51 (della media integrale). Sia $\Omega \subset \mathbb R^2$ connesso, sia $f : \Omega \to \mathbb R$ limitata e continua. Allora esiste un punto $(x_0, y_0) \in \Omega$ tale che

(53) $\begin{equation*} \dfrac{1}{\vert \Omega \vert } \iint_{\Omega} f(x,y) \, dx dy = f(x_0, y_0) . \end{equation*}$

Dimostrazione. Essendo $f$ continua e $\Omega$ connesso, si ha $f (\Omega) = I$ e per il teorema dei valori intermedi $I$ è un intervallo di estremi $a, b$ con $a \leq b$ .

Poichè $a\leq f(x,y)\leq b$ per ogni $(x,y) \in \Omega$ , chiamata $m= \frac{1}{\vert \Omega \vert} \int_{\Omega} f$ la media integrale di $f$ su $\Omega$ , si ha $m \in [a, b]$ per il punto $2$ del teorema 40. Distinguiamo quindi due casi:

Se $m \in (a,b)$ , poichè $(a,b) \subset I = \im f$ , il teorema è provato;
Se $m=a$ (il caso $m = b$ è analogo) si vuole provare che $f$ è costante e $f \equiv a$ . Infatti, se esistesse $(x_0,y_0) \in \Omega$ tale che $f(x_0,y_0) > a$ , per la continuità di $f$ esisterebbero $r, \varepsilon >0$ tali che

$B_r (x_0,y_0) \subset \Omega \quad \text{e} \quad f(x,y)> a+\varepsilon \quad \forall (x,y) \in B_r(x_0,y_0) ,$

dove $B_r(x_0,y_0)$ denota la palla di centro $(x_0,y_0)$ e raggio $r$ .

Quindi, la funzione $g: = f-a$ soddisferebbe

$g(x,y) \geq 0 \quad \forall (x,y) \in \Omega , \quad g(x,y) > \varepsilon \quad \forall (x,y) \in B_r(x_0,y_0) .$

Ma, allora, si avrebbe

$\pi r^2 \varepsilon \leq \iint_{B_r(x_0,y_0)} g(x,y) \, dxdy \leq \iint_\Omega g(x,y)\, dxdy = \iint_\Omega f(x,y) \, dxdy- a \vert \Omega \vert = a \vert \Omega \vert - a \vert \Omega \vert = 0 ,$

che è un assurdo.

Osservazione 52. Se si aggiunge l’ipotesi che $\Omega$ è compatto, la dimostrazione del teorema della media è più semplice; infatti in tal caso si ha $m \in [a, b] = f(\Omega)$ , dove l’ultima uguaglianza segue dal teorema di Weierstrass.

Insiemi semplici e regolari.

Definizione 53 (dominio). Si dice dominio la chiusura di un sottoinsieme aperto e limitato di $\mathbb R^2$ .

Presentiamo inoltre una classe di domini, detti semplici o normali, ottenuti come parti del piano comprese tra due funzioni continue di una delle due variabili.

Definizione 54 (dominio semplice). Un dominio $\mathcal D \subset \mathbb R^2$ si dice semplice (o normale) rispetto all’asse $\mathbf{x}$ se esistono due funzioni $\alpha , \beta : [a,b] \to \mathbb R$ continue, tali che $\alpha \leq \beta$ in $[a,b]$ e

$\mathcal D = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 \, : \, a \leq x \leq b , \, \alpha(x) \leq y \leq \beta(x) \}.$

Analogamente, $\mathcal D$ si dice semplice (o normale) rispetto all’asse $\mathbf{y}$ se esistono due funzioni $\gamma , \delta: [c,d] \to \mathbb R$ continue, tali che $\gamma \leq \delta$ in $[c,d]$ e

$\mathcal D = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 \, : \, c \leq y \leq d , \, \gamma(y) \leq x \leq \delta(y) \}.$

Possiamo vedere degli esempi grafici di domini normali rispetto agli assi $x$ e $y$ rispettivamente nelle figure 5 e 6.

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 5: dominio semplice rispetto all’asse ${x}$ .

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 6: dominio semplice rispetto all’asse ${y}$ .

Osservazione 55. Notiamo che i rettangoli sono una classe particolare di domini semplici rispetto ad entrambi gli assi quindi tutti i risultati ottenuti per funzioni integrabili in domini semplici sono ancora validi per quelle integrabili nei rettangoli.

Esempio 56. Gli insiemi

$\begin{align*} \mathcal S &= \{ (x,y) \in \mathbb R^2 \, : \, 0 \leq x \leq 1 , \, x(x-1) \leq y \leq x(2-x^2) \} \\ \mathcal D &= \{ (x,y) \in \mathbb R^2 \, : \, 0 \leq y \leq 1 , \, 2y \leq x \leq 2 \} \end{align*}$

sono, rispettivamente, esempi di domini semplici rispetto all’asse ${x}$ e rispetto all’asse ${y}$ .

Esempio 57. L’insieme

$\mathcal D = \left \{ (x,y) \in \mathbb R^2 \, : \, 0 \leq x \leq 2 ,\, 0 \leq y \leq \frac{x}{2}\right\} = \left\{ (x,y)\in \mathbb R^2 \, : \, 0 \leq y \leq1\,,\, 0 \leq x \leq 2y \right \}$

è un dominio semplice sia rispetto all’asse ${x}$ che rispetto all’asse ${y}$ :

L’unione di una famiglia finita di domini semplici è detta dominio regolare.

Definizione 58 (dominio regolare). Un dominio $\mathcal D \subset \mathbb R^2$ si dice regolare se è l’unione finita di domini semplici a due a due privi di punti interni in comune.

I domini regolari sono in particolare misurabili, come mostrato dal prossimo risultato.

Proposizione 59. Se $\mathcal D \subset \mathbb R^2$ è un dominio regolare, allora $\mathcal D$ è misurabile.

Dimostrazione. Dal teorema 33 segue che è sufficiente mostrare la misurabilità dei domini semplici rispetto a uno degli assi. La dimostrazione di questa proprietà segue dal teorema 36 e dal teorema 38. Infatti, la frontiera di un dominio semplice è l’unione di insiemi di misura nulla (cioè due grafici di funzioni continue e due segmenti) e quindi anch’essa di misura nulla.

Quindi, nei domini semplici o regolari, valgono tutti i risultati della sezione precedente. In particolare, vale il seguente teorema di integrabilità che segue dal teorema 44.

Teorema 60. Sia $\mathcal D \subset \mathbb R^2$ un dominio semplice rispetto ad uno degli assi e sia $f: \mathcal D \to \mathbb R$ continua. Allora $f$ è integrabile.

Concludiamo la prima parte della dispensa sottolineando che abbiamo introdotto queste particolari classi di insiemi misurabili del piano in quanto su essi si applicheranno, nella seconda parte, le formule di riduzione per il calcolo esplicito degli integrali.

Riferimenti bibliografici

[1] M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, seconda edizione, McGraw-Hill, $2009$ ;

[2] M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica $2$ , Zanichelli, $2009$ ;

[3] N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi matematica due, prima edizione, Liguori, $1996$ ;

[4] E. Giusti, Analisi Matematica $2$ , terza edizione, Bollati Boringhieri, $2003$ ;

[5] M. Manetti, Topologia, seconda edizione, Springer Verlag, $2014$ ;

[6] Qui Si Risolve, Integrali multipli — Parte 2.

Ulteriori risorse didattiche sugli integrali doppi e tripli

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Document

Alessio Fulvi

2024-07-17

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Diego Aracri

2024-07-09

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Alessandro Morra

2024-06-20

Grazie, molto rigoroso e chiaro

martina toro

2024-06-13

Sito meraviglioso! Ho scoperto per caso questo sito perché cercavo le soluzioni degli esercizi di Fisica del libro "Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde" del Mazzoldi. Riescono a spiegare in modo chiaro ed esaustivo come si svolgono i problemi. Sono un'ottima risorsa per chi sta affrontando per la prima volta gli esercizi, ma anche per chi ha già una preparazione e vuole chiarire alcuni dubbi. Inoltre sono molto gentili e disponibili. Veramente un'ottima scoperta, consiglio a tutti.

Ugo Cozzi

2024-06-02

Uno dei più bei siti online di matematica e fisica. Dispense ben fatte. Impaginazione perfetta con Latex

antonio elia

2024-05-29

Sito ben fatto e con tanto materiale consultabile, sono cinquantenne autodidatta, ed ho trovato un valido aiuto

Francesco Doria

Un sito bellissimo sia per chi è all'università che alle superiori. Un lavoro fatto con passione e lungo, decisamente da tenere sempre in mente come riferimento, e non solo per gli esercizi. Un grande grazie.

Stefano Parisi

Un sito ben fatto, moltissimi argomenti trattati a diversi livelli di difficoltà, ottimo sia per la teoria che per gli esercizi.

50% di sconto su tutto fino al 31/12/2024

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Integrali multipli — Parte 1 (teoria)

Integrali multipli – Teoria

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