Continuità della funzione inversa

Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane

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La possibilità di invertire le funzioni è di fondamentale importanza nella matematica. Risulta dunque naturale chiedersi quali proprietà di una funzione si “trasferiscano” alla sua inversa. In questo articolo ci dedichiamo alla continuità: mostriamo che, se una funzione invertibile è continua, allora la sua inversa è una funzione continua.

Questo semplice risultato consente di stabilire facilmente la continuità di tutte le funzioni elementari ottenute mediante inversione di funzioni continue: radici, logaritmi, funzioni trigonometriche inverse sono gli esempi più importanti.

Il testo analizza questi aspetti, illustrando chiaramente e in maniera essenziale il teorema e le sue applicazioni. Vedremo come l’invertibilità di una funzione continua implichi la sua monotonia, immergendoci nel mondo affascinante delle proprietà delle funzioni.

Se desideri scoprire nel dettaglio questi argomenti, non ti resta che leggere questo articolo!

Oltre agli

segnaliamo il materiale di teoria su argomenti affini, estratto dall’esaustiva lista reperibile alla fine dell’articolo:

Autori e revisori

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Autori: Daniele Fakhoury, Luigi De Masi, Silvia Lombardi, Giuseppe Palaia.

Revisori: Valerio Brunetti, Sara Sottile, Sergio Fiorucci, Matteo Talluri, Chiara Bellotti.

Introduzione

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L’invertibilità delle funzioni è un argomento chiave nella teoria e soprattutto nelle applicazioni della Matematica. Infatti, data un’equazione nella variabile $x$ della forma $f(x)=c$ , determinare l’esistenza di soluzioni dell’equazione è in un certo senso equivalente a determinare la suriettività della funzione $f$ . Provare l’eventuale unicità delle soluzioni consiste in qualche modo a provare l’iniettività di $f$ .

In poche parole, lo studio completo dell’equazione $f(x)=c$ , al variare del parametro $c$ , è equivalente allo studio dell’invertibilità della funzione $f$ : l’eventuale unica soluzione $x$ è data da $x=f^{-1}(c)$ .

Ci si può quindi chiedere, ulteriormente, se la soluzione $x$ varia con continuità al variare del dato iniziale $c$ . Come si può intuire, ciò è legato alla continuità della funzione inversa $f^{-1}$ .

Queste considerazioni sono già di per sé sufficienti a giustificare gli sforzi nel determinare criteri nell’invertibilità di funzioni e nello studio dell’eventuale continuità della funzione inversa $f^{-1}$ .

Poiché solitamente l’iniettività di una funzione continua su un intervallo discende dalla sua stretta monotonia (vedremo nel lemma 2 che in questo caso le due condizioni sono equivalenti), mentre la sua suriettività può essere facilmente studiata grazie al teorema dei valori intermedi, risulta relativamente semplice stabilire l’invertibilità di tali funzioni.

Una volta provata l’esistenza di $f^{-1}$ , è naturale quindi chiedersi se essa possieda delle proprietà di continuità. Il risultato principale di questo articolo risponde a tale questione stabilendo la continuità della funzione inversa di una funzione continua tra intervalli.

Teorema 1 (continuità della funzione inversa). Siano $I,J \subseteq \mathbb{R}$

intervalli e sia $f\colon I \to J$

una funzione continua e invertibile; allora $f^{-1}$

è continua.

Osserviamo che questo risultato è caratteristico della struttura per così dire “unidimensionale” dei numeri reali. Infatti, esso si basa sul prossimo lemma, che stabilisce un legame tra monotonia e iniettività di una funzione continua su un intervallo.

Lemma 2. Sia $I \subseteq \mathbb{R}$

un intervallo e sia $f \colon I \to \mathbb{R}$

una funzione continua. Allora $f$

è iniettiva se e solo se è strettamente monotona, schematicamente:¹

(1) $\begin{equation*} f \text{ iniettiva} \iff f \text{ strettamente monotona.} \end{equation*}$

Osserviamo che un’implicazione è banale e non richiede la continuità di $f$ : ogni funzione strettamente monotona è ovviamente iniettiva, mentre in generale il viceversa è falso. Per una funzione continua definita su un intervallo, però, tale implicazione si può invertire e vale quindi l’equivalenza stabilita dal lemma 2.

Possiamo quindi considerare questo lemma come un criterio preliminare di invertibilità per funzioni continue definite su un intervallo. Infatti, la stretta monotonia è in generale più semplice da verificare rispetto all’iniettività; costituisce quindi un vantaggio potersi limitare a testare la prima rispetto alla seconda.

Il lavoro è così organizzato: nella sezione 1 presentiamo le definizioni e i risultati necessari alla trattazione che segue. Nella sezione 2 dimostriamo il lemma 2 e teorema 1, mentre nella sezione 3 utilizziamo gli strumenti teorici costruiti per dimostrare l’esistenza e la continuità delle inverse di alcune funzioni elementari: le radici $n$ -esime, i logaritmi e le funzioni trigonometriche inverse.

$\[\]$

Si veda [Teoria delle funzioni, sezione 2.9] per una trattazione completa sulla monotonia delle funzioni. ↩

Risultati preliminari

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Uno dei risultati che utilizziamo è il teorema dei valori intermedi [2, Funzioni continue, teorema 5.9]; esso afferma che una funzione $f$

continua su un intervallo $[a,b]$

assume tutti i valori compresi tra $f(a)$

e $f(b)$

Teorema 3 (dei valori intermedi). Sia $f\colon [a,b] \to \mathbb{R}$

una funzione continua e sia $c$

un valore compreso tra $f(a)$

e $f(b)$

. Allora esiste $x_0 \in [a,b]$

tale che $f(x_0) = c$

Dimostrazione del teorema 1

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In questa sezione dimostriamo prima il lemma 2, che utilizzeremo poi nella dimostrazione del teorema 1.

Lemma 2.

Figura 1: rappresentazione del fatto che, se $f(a)<f(b)$ e $x_0 \in (a,b)$ , allora $f(x_0)< f(b)$ . Infatti, se valesse la disuguaglianza opposta, allora esisterebbero $x_1,x_2$ distinti e tali che $f(x_1)=f(x_2)$ , contraddicendo l’iniettività di $f$ .

Dimostrazione del lemma 2. Chiaramente, se $f$ è strettamente monotona, essa è iniettiva. Nella restante parte della dimostrazione, proviamo quindi l’implicazione inversa, assumendo cioè che $f$ sia iniettiva e provando che essa è strettamente monotona.

Sia $a,b \in I$ con $a < b$ e supponiamo che $f(a) < f(b)$ . Mostreremo che $f$ è crescente in $[a,b]$ , che mostrerà poi che $f$ è crescente in $I$ . Se invece $f(a)<f(b)$ , in maniera simile si mostra che $f$ è decrescente in $I$ .

Dato $x_0 \in (a,b)$ , mostriamo che

(2) $\begin{equation*} f(a) < f(x_0) < f(b). \end{equation*}$

Infatti, se fosse $f(x_0)> f(b)$ , si fissi $c \in (f(b),f(x_0)) \subset (f(a),f(x_0))$ e, per il teorema 3 applicato agli intervalli $(f(a),f(x_0))$ e $(f(b),f(x_0))$ , esisterebbero $x_1 \in (a,x_0)$ e $x_2 \in (x_0,b)$ tali che

(3) $\begin{equation*} f(x_1)=f(x_2)=c, \end{equation*}$

che contraddirebbe l’iniettività di $f$ , si veda la figura 1. Tale contraddizione mostra che $f(x_0)<f(b)$ . Analogamente si prova che $f(a) <f(x_0)$ .

Scegliendo $y \in (a,b) \setminus \{x\}$ , da (2) e dal ragionamento precedente applicato agli intervalli $[a,x]$ e $[x,b]$ segue che

(4) $\begin{equation*} \begin{cases} f(a) < f(y) < f(x) & \text{se } y \in (a,x)\\ f(x) < f(y) <f(b) & \text{se } y \in (x,b). \end{cases} \end{equation*}$

In particolare, per l’arbitrarietà di $x,y \in (a,b)$ , $f$ è crescente in $[a,b]$ .

Se $[c,d] \subseteq I$ è tale che $[a,b] \subseteq [c,d]$ , per il ragionamento di sopra $f$ è monotona su $[c,d]$ , quindi deve essere crescente. Per l’arbitrarietà dell’intervallo $[c,d] \subseteq I$ , $f$ è crescente in $I$ .

Teorema 1.

Possiamo quindi provare la continuità delle funzioni inverse.

Dimostrazione del teorema 1. Suddividiamo la dimostrazione in vari passi.

$f,f^{-1}$ hanno la stessa monotonia stretta. Dato che $f$ è invertibile, per il lemma 2, essa è strettamente monotona. Supponiamo che $f$ sia strettamente crescente (se $f$ è decrescente la dimostrazione è analoga). La funzione $f^{-1}\colon J \to I$ deve essere anch’essa crescente perché inversa di una funzione crescente, infatti, se $y_1 < y_2$ , esistono $x_1,x_2 \in I$ tali che $f(x_1)=y_1$ e $f(x_2)=y_2$ . Se fosse $x_1 > x_2$ , si avrebbe

(5) $\begin{equation*} y_1 = f(x_1) > f(x_2) = y_2 \end{equation*}$

perché $f$ è strettamente crescente, contro l’ipotesi $y_1 < y_2$ . Pertanto deve aversi

(6) $\begin{equation*} f^{-1}(y_1) = x_1 < x_2 = f^{-1}(y_2), \end{equation*}$

cioè $f^{-1}$ è strettamente crescente.
Esistenza di limiti sinistri e destri. Osserviamo preliminarmente che, per la monotonia di $f^{-1}$ , i suoi limiti sinistro e destro esistono e sono finiti in ogni punto $y_0 \in J$ , infatti:

(7) $\begin{equation*} f^{-1}(y_0^-) \coloneqq \lim_{y \to y_0^-}f(y) = \sup_{y < y_0} f(y) \qquad f^{-1}(y_0^+) \coloneqq \lim_{y \to y_0^+}f(y) = \inf_{y > y_0} f(y), \end{equation*}$

dove le uguaglianze con $\sup$ e $\inf$ derivano dal fatto che $f^{-1}$ è strettamente crescente. In particolare, se $y_0 \in (c,d) \subseteq J$ , si ha

(8) $\begin{equation*} f^{-1}(c) \leq f^{-1}(y_0^-) \leq f(y_0) \leq f^{-1}(y_0^+) \leq f^{-1}(d). \end{equation*}$

$f^{-1}$ è continua. Supponiamo per assurdo che esista $y_0 \in J = f(I)$ tale che $f^{-1}$ non sia continua in $y_0$ e consideriamo i limiti sinistro e destro di $f^{-1}$ , che entrambi esistono per il punto precedente e soddisfano (8). Affinché $f^{-1}$ non sia continua, almeno uno tra $f^{-1}(y_0^-)$ e $f^{-1}(y_0^+)$ deve essere diverso da $f^{-1}(y_0)$ . Supponiamo senza perdita di generalità che

(9) $\begin{equation*} f^{-1}(y_0^-) < f^{-1}(y_0), \end{equation*}$

dato che il caso $f^{-1}(y_0) < f^{-1}(y_0^+)$ è analogo. Dunque l’intervallo $(f^{-1}(y_0^-),f^{-1}(y_0)) \subseteq I$ non è vuoto. Si ha inoltre

(10) $\begin{equation*} y < y_0 \Rightarrow f^{-1}(y) \leq f^{-1}(y_0^-), \qquad y > y_0 \Rightarrow f^{-1}(y) > f^{-1}(y_0), \end{equation*}$

dove la prima implicazione segue da (7) e la seconda dalla monotonia stretta di $f^{-1}$ . Da (10) segue che, se $x \in (f^{-1}(y_0^-),f^{-1}(y_0))$ , non esisterebbe alcun $y \in I$ tale che $f^{-1}(y)=x$ , contro l’ipotesi che $f^{-1} \colon J \to I$ è invertibile. Tale contraddizione deriva dall’aver supposto che $f^{-1}$ non fosse continua in $y_0$ , che quindi deve essere falsa. Dall’arbitrarietà di $y_0 \in J$ , $f^{-1}$ è continua ovunque.

Necessità delle ipotesi del teorema 1.

La conclusione del teorema 1 non è valida se il dominio di $f$

non è un intervallo, come mostrano i seguenti esempi.

Esempio 4 (inversa con discontinuità di salto). Sia $f \colon [0,1] \cup (2,+\infty) \to [0,+\infty)$ definita da

(11) $\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{se } x \in [0,1]\\ x-1 & \text{se } x \in (2,+\infty). \end{cases} \end{equation*}$

La funzione $f$ , rappresentata a sinistra in figura 2, risulta continua, oltre che strettamente crescente e quindi iniettiva.

Figura 2: le funzioni $f$ e $f^{-1}$ dell’esempio 4. Nonostante $f$ sia continua e invertibile, poiché il suo dominio non è un intervallo, la sua inversa $f^{-1}$ possiede una discontinuità di salto.

Inoltre dal teorema 5.7 segue che

(12) $\begin{equation*} f([0,1])=[0,1], \qquad f((2,+\infty))=(1,+\infty), \end{equation*}$

da cui $\operatorname{Im} f = [0,+\infty)$ , quindi $f$ è suriettiva ed è dunque invertibile. Ciononostante, la sua inversa $f^{-1} \colon [0,+\infty) \to [0,1] \cup (2,+\infty)$ definita da

(13) $\begin{equation*} f^{-1}(x) = \begin{cases} \sqrt{x} & \text{se } x \in [0,1]\\ x+1 & \text{se } x \in (1,+\infty) \end{cases} \end{equation*}$

e rappresentata a destra in figura 2, possiede una discontinuità di salto in $x=1$ .

Esempio 5 (inversa con discontinuità di seconda specie). Sia $f \colon (-\infty,-1] \cup (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ la funzione definita da

(14) $\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{se } x \in (-\infty,-1]\\[7pt] \dfrac{1}{x} & \text{se } x \in (0,+\infty), \end{cases} \end{equation*}$

rappresentata a sinistra in figura 3.

Figura 3: le funzioni $f$ e $f^{-1}$ (rispettivamente a sinistra e a destra) dell’esempio 5. Si vede che $f$ è continua e invertibile ma la sua inversa $f^{-1}$ possiede una discontinuità di seconda specie.

La funzione $f$ è strettamente crescente in $(-\infty,-1]$ e strettamente decrescente in $(0,+\infty)$ . Inoltre

(15) $\begin{equation*} f(-1)=0, \qquad \lim_{x \to +\infty}f(x) = 0, \end{equation*}$

da cui segue

(16) $\begin{equation*} f((-\infty,-1]) \subseteq (-\infty,0], \qquad f((0,+\infty)) \subseteq (0,+\infty). \end{equation*}$

Quindi $f$ è iniettiva. Dato che

(17) $\begin{equation*} \lim_{x \to - \infty}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x \to 0^+} f(x)=+\infty, \end{equation*}$

dal teorema 3 si ha

(18) $\begin{equation*} f((-\infty,-1]) = (-\infty,0], \qquad f((0,+\infty)) = (0,+\infty), \end{equation*}$

dunque $\operatorname{Im}f= \mathbb{R}$ e quindi $f$ è suriettiva, perciò è invertibile. La sua inversa, ossia la funzione $f^{-1}\colon \mathbb{R} \to (-\infty,-1] \cup (0,+\infty)$ rappresentata a destra in figura 3, possiede un punto di discontinuità di seconda specie in $x=0$ in quanto

(19) $\begin{equation*} \lim_{x \to 0^+} f(x)=+\infty. \end{equation*}$

Continuità delle inverse di funzioni elementari

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Come applicazione dei precedenti risultati, mostriamo ora l’invertibilità di alcune funzioni elementari, provando inoltre la continuità delle loro inverse. Ciò permetterà di definire l’esistenza e le proprietà delle funzioni radice $n$ -esima, del logaritmo e delle funzioni trigonometriche inverse. Sebbene molto probabilmente il lettore conosca già queste nozioni, sottolineiamo che esse rispondono alle domande seguenti, che affrontano l’inversione delle funzioni potenza a esponente intero ed esponenziale.

Domanda 6. Dati $n \in \mathbb{N}$ e $a \in \mathbb{R}$ , esiste $b \in \mathbb{R}$ tale che $b^n=a$ ? Dati $a,y \in \mathbb{R}$ , esiste $x \in \mathbb{R}$ tale che $a^x=y$ ? Tali $b,x$ sono univocamente determinati? Si può inoltre dire che essi variano con continuità in funzione dei numeri $a$ e $y$ ?

Per quanto il lettore sia abituato alle risposte note quali radici $n$ -esime e logaritmi, occorre osservare che la loro esistenza e le loro proprietà non sono scontate e seguono fondamentalmente dalla continuità delle funzioni potenza ed esponenziale.

L’idea degli argomenti che permettono di ottenere le risposte alle domande di sopra risiede nell’uso del teorema dei valori intermedi per mostrare la suriettività di funzioni continue definite su intervalli. Poiché spesso l’iniettività di tali funzioni viene ottenuta da considerazioni elementari riguardo la loro monotonia, ciò permette di dedurne l’invertibilità.

Funzioni radici n-esime

Cominciamo dall’inversa della funzione potenza a esponente naturale, detta radice $n$ -esima.

Proposizione 7 (invertibilità delle potenze $n$

-esime). Sia $n \in \mathbb{N}$

Se $n$ è pari, allora per ogni $a \in [0,+\infty)$ esiste un unico $b \in [0,+\infty)$ tale che $b^n=a$ .
Se $n$ è dispari, allora per ogni $a \in \mathbb{R}$ esiste un unico $b \in \mathbb{R}$ tale che $b^n=a$ .

In particolare, le funzioni potenza $n$ -esima definite da

(20) $\begin{align*} f_n \colon x \in [0,+\infty) \mapsto & \,\,x^n \in [0,+\infty) \qquad \text{se $n$ è pari}, \\ f_n \colon x \in \mathbb{R} \mapsto& \,\, x^n \in \mathbb{R} \qquad \qquad \text{se $n$ è dispari} \end{align*}$

sono invertibili e le loro inverse sono continue.

Dimostrazione. Le funzioni $f_n$ definite in (20) e rappresentate nella colonna di sinistra in figura 4 sono ovviamente strettamente monotone e quindi iniettive. Definendo

(21) $\begin{equation*} m_n\coloneqq \inf f_n, \quad M_n \coloneqq \sup f_n \qquad \forall n \in \mathbb{N}, \end{equation*}$

si ha

(22) $\begin{equation*} (m_n,M_n) = \begin{cases} (0,+\infty) & \text{se } n \text{ è pari}\\ \mathbb{R} & \text{se } n \text{ è dispari}. \end{cases} \end{equation*}$

Se $b \in (m_n,M_n)$ , dalla continuità delle funzioni $f_n$ provata nella proposizione [2, proposizione 2.12] e dal teorema 3 segue l’esistenza di $b$ tale che $b^n=a$ e quindi la suriettività delle funzioni $f_n$ , che risultano dunque invertibili con inverse $f_n^{-1}$ . Per il teorema 1, le funzioni $f_n^{-1}$ sono continue.

Figura 4: a sinistra, rispettivamente in alto e in basso, le funzioni $x \mapsto x^2$ e $x \mapsto x^3$ . A destra, rispettivamente in alto e in basso, le loro inverse $x \mapsto \sqrt{x}$ e $x \mapsto \sqrt[3]{x}$ . Il punto $b$ , soddisfacente $b^n=a$ è la radice $n$ -esima di $a$ .

La proposizione 7 motiva la seguente definizione, probabilmente già familiare al lettore.

Definizione 8 (radice $n$

-esima). Sia $n \in \mathbb{N}$

e sia $a \in \mathbb{R}$

se $n$

è dispari, altrimenti sia $a \in [0,+\infty)$

se $n$

è pari. L’unico numero $b \in \mathbb{R}$

fornito dalla proposizione 7 tale che $b^n=a$

viene detto radice $n$ -esima di $a$

e viene denotato con il simbolo $\sqrt[n]{a}$

La funzione continua $f_n^{-1}$ inversa della funzione $f_n$ definita in (20), che associa al numero reale $a$ la sua radice $n$ -esima, è detta funzione radice $n$ -esima.

I grafici di tali funzioni sono riportati a destra in figura 4.

Funzione logaritmo.

Utilizzando gli stessi strumenti, proseguiamo mostrando l’invertibilità della funzione esponenziale, che implica l’esistenza e la continuità della funzione logaritmo.

Proposizione 9 (invertibilità della funzione esponenziale). Sia $a \in (0,1) \cup (1,+\infty)$

. Allora per ogni $y_0 \in (0,+\infty)$

esiste un unico $x_0 \in \mathbb{R}$

tale che $a^{x_0}=y_0$

. In particolare, la funzione esponenziale $f_a \colon \mathbb{R} \to (0,+\infty)$

definita da

(23) $\begin{equation*} f_a(x)=a^x \qquad \forall x \in \mathbb{R} \end{equation*}$

è invertibile e la sua inversa $f_a^{-1}$ è continua.

Dimostrazione. Sia $a \in (0,1) \cup (1,+\infty)$ . La funzione $f_a$ definita in (23) e rappresentata a sinistra in figura 5 è strettamente crescente se $a>1$ e strettamente decrescente se $a \in (0,1)$ , in particolare è iniettiva. Poiché

(24) $\begin{equation*} 0= \inf_\mathbb{R} f_a, \quad +\infty = \sup_\mathbb{R} f_a, \end{equation*}$

se $y_0 \in (0,+\infty)$ , dalla continuità della funzione $f_a$ provata in [2, proposizione 2.12] e dal teorema 3, segue l’esistenza di $x_0 \in \mathbb{R}$ tale che $f_a(x)=a^{x_0}=y_0$ . Quindi $f_a$ risulta suriettiva e invertibile con inversa $f_a^{-1}$ , che è continua per il teorema 1.

Figura 5: a sinistra la funzione esponenziale di base $a>1$ e a destra la sua inversa, la funzione $\log_a$ detta logaritmo in base $a$ . Dato $y_0>0$ , l’unico punto $x_0$ tale che $a^{x_0}=y_0$ è detto logaritmo in base $a$ di $y_0$ e indicato con $\log_a y_0$ .

La proposizione 7 permette di dare la seguente definizione di logaritmo, anch’essa probabilmente già nota al lettore.

Definizione 10 (logaritmi) Sia $a \in (0,1) \cup (1,+\infty)$

e sia $y_0 \in (0,+\infty)$

. L’unico numero $x_0 \in \mathbb{R}$

fornito dalla proposizione 9 tale che $a^{x_0}=y_0$

viene detto logaritmo in base $a$ di $y_0$

e viene denotato con il simbolo $\log_a y_0$

La funzione continua $f_a^{-1} \colon (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ definita da

(25) $\begin{equation*} f_a^{-1}\colon y \in (0,+\infty) \mapsto \log_a(y) \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

inversa della funzione esponenziale $f_a$ definita in (23) è detta funzione logaritmica e viene indicata con lo stesso simbolo $\log_a$ .

Se $a=e$ , con $e$ il numero di Nepero, $\log_e y$ è detto logaritmo naturale, denotato con $\log y$ .

Il grafico della funzione $\log_a$ è riportato a destra in figura 5. Dalla discussione precedente segue inoltre il seguente risultato.

Proposizione 11. Siano $f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

funzioni continue con $f>0$

. Allora la funzione $f^g$

è continua.

Dimostrazione. Si ha

(26) $\begin{equation*} f(x)^{g(x)} = e^{\log (f(x)^{g(x)})} = e^{g(x) \log (f(x))} \qquad \forall x \in A, \end{equation*}$

dove nella prima uguaglianza si è usato il fatto che la funzione $\log$ è l’inversa dell’esponenziale di base $e$ , mentre nella seconda si è usata la nota proprietà dei logaritmi $\log(a^b)=b \log a$ . Da (26), dal fatto che prodotto e composizione di funzioni continue è continuo dalla proposizione 9, segue che $f^g$ è composizione e prodotto di funzioni continue, quindi è continua.

Osservazione 12. Usando (26) e le proprietà dei limiti dei prodotti e delle composizioni di funzioni, si può mostrare più in generale che, se $\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = L$ e $\displaystyle\lim_{x \to x_0}g(x)=M$ , allora

(27) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)} = L^M, \end{equation*}$

escludendo però i casi

(28) $\begin{equation*} L\in \{0,+\infty\},\,M=0, \quad \text{e} \quad L=1,\, M= \pm \infty, \end{equation*}$

che danno luogo a forme indeterminate. Invitiamo il lettore a svolgere per esercizio la dimostrazione.

Funzioni trigonometriche inverse.

In questa sezione discutiamo i risultati di esistenza e continuità delle funzioni trigonometriche inverse. Ricordiamo che le funzioni $\sin x$

, $\cos x$

e $\tan x$

sono funzioni periodiche nei loro domini e dunque non ammettono un’inversa in quanto non sono iniettive; possiamo però considerare le relative restrizioni del dominio in cui tali funzioni sono strettamente monotone, e dunque iniettive per il lemma 2. La loro suriettività può essere dedotta come nelle proposizioni 7 e 9; pertanto non dimostriamo la prossima proposizione, invitando il lettore a ricostruire gli argomenti in questi casi.

Proposizione 13. Le funzioni $f\colon [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to [-1,1]$

, $g\colon [0,\pi]\to [-1,1]$

e $h\colon (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to \mathbb{R}$

definite rispettivamente da

$\begin{aligned} f(x)=& \sin x \quad \forall x \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],\\ g(x)=&\cos x \quad \forall x \in \left[0,\pi\right],\\ h(x)=&\tan x \quad \forall x \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\\ \end{aligned}$

sono invertibili e le loro inverse $f^{-1},g^{-1}, h^{-1}$ sono continue.

Le inverse $f^{-1},g^{-1}, h^{-1}$ prodotte dal precedente risultato rivestono notevole importanza nelle applicazioni e sono le cosiddette funzioni trigonometriche inverse.

Definizione 14 (funzioni trigonometriche inverse). Le funzioni continue

(29) $\begin{gather*} \arcsin = f^{-1} \colon [-1,1] \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right], \\ \arccos = g^{-1} \colon [-1,1] \to \left[0, \pi\right] \\ \arctan = h^{-1} \colon \mathbb{R} \to \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right). \end{gather*}$

fornite dalla proposizione 13 sono dette rispettivamente arcoseno, arcocoseno e arcotangente.

Il prefisso $\operatorname{arc}$ nelle funzioni $\arcsin, \arccos, \arctan$ è giustificato dal fatto che esse, essendo le inverse delle restrizioni rispettivamente delle funzioni $\sin,\cos,\tan$ , forniscono l’arco $x_0$ di circonferenza associato a un determinato valore $y_0$ rispettivamente del seno, del coseno e della tangente, come chiarito dalla figura 6.

Figura 6: principali funzioni trigonometriche (nella colonna sinistra) e rispettive inverse (nella colonna destra).

Riferimenti bibliografici

[1] Qui Si Risolve, Teoria delle funzioni.
[2] Qui Si Risolve, Funzioni continue.

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PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

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Continuità della funzione inversa

Autori e revisori

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Introduzione

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Risultati preliminari

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Dimostrazione del teorema 1

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Lemma 2.

Teorema 1.

Necessità delle ipotesi del teorema 1.

Continuità delle inverse di funzioni elementari

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Funzioni radici n-esime

Funzione logaritmo.

Funzioni trigonometriche inverse.

Riferimenti bibliografici

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Tutta la teoria di analisi matematica

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Tutte le cartelle di Analisi Matematica

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Tutti gli esercizi di geometria

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

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Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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