Continuità della funzione inversa: teoria
Dispensa teorica scaricabile sulle proprietà della continuità della funzione inversa.
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Descrizione
Dispensa scaricabile sulla teoria della continuità della funzione inversa. La possibilità di invertire le funzioni è di fondamentale importanza nella matematica. Risulta dunque naturale chiedersi quali proprietà di una funzione si “trasferiscano” alla sua inversa. In questo pdf scaricabile ci dedichiamo alla continuità: mostriamo che, se una funzione invertibile è continua, allora la sua inversa è una funzione continua.
Questo semplice risultato consente di stabilire facilmente la continuità di tutte le funzioni elementari ottenute mediante inversione di funzioni continue: radici, logaritmi, funzioni trigonometriche inverse sono gli esempi più importanti.
Il testo analizza questi aspetti, illustrando chiaramente e in maniera essenziale il teorema e le sue applicazioni. Vedremo come l’invertibilità di una funzione continua implichi la sua monotonia, immergendoci nel mondo affascinante delle proprietà delle funzioni.
Se desideri scoprire nel dettaglio questi argomenti, non ti resta che scaricare la dispensa e leggerne il contenuto!
Autori e revisori
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Revisori: Valerio Brunetti, Sara Sottile, Sergio Fiorucci, Matteo Talluri, Chiara Bellotti.
Indice
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Continuità della funzione inversa: introduzione
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L’invertibilità delle funzioni è un argomento chiave nella teoria e soprattutto nelle applicazioni della Matematica. Infatti, data un’equazione nella variabile 
della forma 
, determinare l’esistenza di soluzioni dell’equazione è in un certo senso equivalente a determinare la suriettività della funzione 
. Provare l’eventuale unicità delle soluzioni consiste in qualche modo a provare l’iniettività di .
In poche parole, lo studio completo dell’equazione , al variare del parametro 
, è equivalente allo studio dell’invertibilità della funzione : l’eventuale unica soluzione è data da 
.
Ci si può quindi chiedere, ulteriormente, se la soluzione varia con continuità al variare del dato iniziale . Come si può intuire, ciò è legato alla continuità della funzione inversa 
.
Queste considerazioni sono già di per sé sufficienti a giustificare gli sforzi nel determinare criteri nell’invertibilità di funzioni e nello studio dell’eventuale continuità della funzione inversa .
Poiché solitamente l’iniettività di una funzione continua su un intervallo discende dalla sua stretta monotonia (vedremo nel lemma 2 che in questo caso le due condizioni sono equivalenti), mentre la sua suriettività può essere facilmente studiata grazie al teorema dei valori intermedi, risulta relativamente semplice stabilire l’invertibilità di tali funzioni.
Una volta provata l’esistenza di , è naturale quindi chiedersi se essa possieda delle proprietà di continuità. Il risultato principale di questo articolo risponde a tale questione stabilendo la continuità della funzione inversa di una funzione continua tra intervalli.
Per continuare a leggere si consiglia di scaricare il file.
Oltre agli
- Esercizi sul teorema di esistenza degli zeri – volume 1;
- Esercizi sul teorema di esistenza degli zeri – volume 2;
- Esercizi teorici sulla continuità;
- Esercizi teorici sull’uniforme continuità;
segnaliamo il materiale di teoria su argomenti affini, estratto dall’esaustiva lista reperibile alla fine dell’articolo:
