Serie di potenze – Teoria

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Il concetto di serie di potenze formalizza l’idea intuitiva di polinomio di grado infinito; infatti una serie di potenze centrata in $x_0$ è la serie di funzioni definita da

$\sum_{k=0}^{+\infty} a_k (x-x_0)^k.$

Rispetto alle serie di funzioni generiche, le serie di potenze hanno proprietà peculiari, allo stesso modo in cui i polinomi hanno proprietà molto particolari rispetto alle funzioni generiche: esse infatti ereditano opportune versioni delle proprietà dei polinomi. Questa dispensa è un’introduzione alla teoria delle serie di potenze reali, che tratta i seguenti argomenti:

Raggio di convergenza di una serie di potenze;
Criteri della radice e del rapporto per la determinazione del raggio di convergenza di una serie di potenze;
Raggio di convergenza della serie delle derivate e degli integrali; integrazione e derivazione di una serie di potenze;
Funzioni analitiche, criteri di analiticità;
Ulteriori approfondimenti: una versione generale del criterio della radice che utilizza il concetto di $\limsup$ di una successione, il comportamento agli estremi dell’intervallo di convergenza stabilito dai teoremi di Abel, un esempio di funzione liscia ma non analitica in alcun punto, principio di continuazione unica e di identità delle funzioni analitiche.

La suddivisione del materiale permette sia di seguire un corso base nelle prime sezioni, sia di approfondire l’argomento con i risultati dell’ultima sezione. Ogni punto viene esplorato mediante esempi chiarificatori, che aiutano a comprendere ed assimilare la teoria. Se desideri un approccio chiaro, intuitivo ed essenziale all’argomento, non ti resta che continuare la lettura!

Oltre agli esercizi sulle serie di potenze, segnaliamo la nostra raccolta di esercizi sulle successioni di funzioni, contenenti 42 problemi, ordinati per difficoltà crescente, su tutte le sfumature di questo importante argomento, propedeutico alla comprensione delle serie di potenze.

Evidenziamo anche gli utili articoli riguardanti la teoria collegata:

Sommario

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Questa dispensa è un’introduzione alla teoria delle serie di potenze. La prima parte costituisce un corso base sull’argomento e discute la nozione di raggio di convergenza e i relativi criteri, la derivazione e integrazione delle serie di potenze e le funzioni analitiche. Nella seconda parte abbiamo raccolto alcuni complementi che forniscono del materiale per un corso più approfondito.

Autori e revisori

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Autori: Luigi De Masi

Revisori: Valerio Brunetti, Sara Sottile, Matteo Talluri.

Notazioni

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$\mathbb{N}$	Insieme dei numeri naturali;
$\mathbb{Z}$	Insieme dei numeri interi relativi;
$\mathbb{R}$	Insieme dei numeri reali;
$C^\infty(I)$	Insieme delle funzioni $f \colon I \to \mathbb{R}$ derivabili infinite volte in $I$ ;
$C^\omega(I)$	Insieme delle funzioni analitiche in $I$ .

Introduzione

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Il concetto di serie di potenze riveste notevole importanza in Analisi Matematica. Le serie di potenze sono particolari serie di funzioni [6], ossia somme infinite di funzioni, in cui ogni termine è una potenza di un binomio del tipo $(x-x_0)^k$ , con $x_0 \in \mathbb{R}$ fissato al variare di $k \in \mathbb{N}$ :

(1) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} a_k (x-x_0)^k, \end{equation*}$

dove $a_k \in \mathbb{R}$ per ogni $k \in \mathbb{N}$ . Si potrebbe dire che, mentre il concetto di serie di funzioni generalizza la somma di funzioni al caso di infiniti addendi, le serie di potenze generalizzino la nozione di polinomio, dando un significato formale all’idea di polinomio di “grado infinito”. Infatti, ogni somma parziale della serie di potenze (1) assume la forma

(2) $\begin{equation*} S_n(x) = \sum_{k=0}^n a_k(x-x_0)^k = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^k + \dots + a_n(x-x_0)^n, \end{equation*}$

che è proprio un polinomio di grado $n$ centrato in $x_0$ .

Le proprietà delle serie di potenze sono peculiari rispetto a quelle di generiche serie di funzioni: anticipiamo che l’insieme di convergenza di una serie di potenze è un intervallo centrato in $x_0$ , la cui ampiezza viene detta raggio di convergenza. Vedremo inoltre che la somma di una serie di potenze è derivabile infinite volte in ogni punto nell’interno dell’intervallo di convergenza: tale proprietà è una generalizzazione del fatto che ogni polinomio è una funzione di classe $C^{\infty}(\mathbb{R})$ . Questa caratteristica delle serie di potenze conduce alla definizione di funzione analitica, di enorme importanza in ogni campo della Matematica.

In questa dispensa ci accingiamo a studiare le serie di potenze, presentandone le proprietà essenziali e illustrandole con numerosi esempi ed esercizi. La dispensa può essere divisa in due parti:

$\quad$

Nella prima parte, comprendente le sezioni 1, 2, 3 e 4, presentiamo la teoria di base sulle serie di potenze e sulle funzioni analitiche. Questo materiale è sufficiente per un corso introduttivo sull’argomento, ad esempio adatto a un corso di Laurea in Ingegneria o in Fisica.

La seconda parte, costituita dalla sezione 5, presenta alcuni approfondimenti sulle serie di potenze e le funzioni analitiche; tale materiale, adatto a uno studio più dettagliato, risponde ampiamente alle esigenze di un corso di Laurea in Matematica.

Il lavoro è così organizzato.

$\quad$

Nella sezione 1 riepiloghiamo i risultati sulle serie di funzioni che utilizzeremo nel seguito della dispensa.

Nella sezione 2 presentiamo la principale proprietà delle serie di potenze, ossia il fatto che l’insieme di convergenza è un intervallo centrato nel punto $x_0$ , centro della serie. Il raggio $\rho$ di tale intorno circolare è appunto detto raggio di convergenza della serie di potenze. Vedremo che la convergenza è totale negli intervalli chiusi e limitati contenuti in $(x_0-\rho,x_0+\rho)$ e studieremo i possibili comportamenti agli estremi di tale intervallo. Presentiamo inoltre i criteri della radice e del rapporto, che consentono di determinare il raggio di convergenza.

Nella sezione 3, studiamo le proprietà di derivabilità e integrabilità di una serie di potenze. Vedremo che la serie delle derivate di una serie di potenze possiede lo stesso raggio di convergenza della serie originaria; da ciò segue che la funzione somma di una serie di potenze è derivabile infinite volte.

Nella sezione 4 studiamo le funzioni analitiche, ossia le funzioni che sono localmente pari alla somma di una serie di potenze, che risulta essere pari alla sua serie di Taylor. Vedremo un criterio di analiticità che permetterà di stabilire che molte delle funzioni elementari sono in realtà analitiche.

Nella sezione 5 riportiamo alcuni interessanti approfondimenti: una versione generale del criterio della radice che utilizza il concetto di massimo limite e le proprietà della serie di potenze agli estremi dell’intervallo di convergenza stabilite dai teoremi di Abel; presentiamo infine alcune ulteriori proprietà delle funzioni analitiche, come il fatto che l’analiticità in un punto implica l’analiticità in un suo intorno, un esempio di funzioni liscia ma analitica in alcun punto, e il principio di identità per le funzioni analitiche.

Prerequisiti

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In questa sezione richiamiamo le definizioni e le proprietà fondamentali delle serie di funzioni che utilizzeremo nel seguito. Poiché le serie di potenze sono particolari serie di funzioni, queste nozioni sono necessarie per la comprensione della presente dispensa. Invitiamo pertanto il lettore a rileggere questa sezione ed eventualmente a consultare i riferimenti in [6, serie di funzioni], qualora desiderasse maggiori dettagli su alcuni dei concetti qui richiamati.

In quanto segue, dove non sia diversamente specificato, $E \subseteq \mathbb{R}$ e $f_k \colon E \to \mathbb{R}$ è una successione di funzioni (si veda [8] per una trattazione completa di quest’ultimo argomento).

Definizione 1.1 (serie di funzioni,[6, definizione 1.1]). Per ogni $n \in \mathbb{N}$ la funzione $S_n \colon E \to \mathbb{R}$ definita da

(3) $\begin{equation*} S_n(x) = \sum_{k=0}^n f_k(x) \qquad \forall x \in E \end{equation*}$

è detta somma parziale $n$ -esima delle funzioni $f_k$ . La successione $S_n$ delle somme parziali è detta serie delle funzioni $f_k$ e si indica col simbolo

(4) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} f_k(x). \end{equation*}$

$\quad$

Riportiamo ora le definizioni di convergenza puntuale, uniforme e totale di una serie di funzioni.

$\quad$

Definizione 1.2 (convergenza puntuale, [6, definizione 2.4]). Se la successione $S_n = \sum_{k=0}^{n} f_k$ delle somme parziali converge puntualmente a una funzione $S \colon E \to \mathbb{R}$ , ossia se

(5) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} S_n(x) = S(x) \qquad \forall x \in E, \end{equation*}$

si dice che la serie di funzioni $\sum_{k=0}^{+\infty} f_k(x)$ converge puntualmente a $S$ in $E$ e la funzione $S$ è detta limite puntuale o somma della serie $\sum_{k=0}^{+\infty} f_k(x).$

$\quad$

Definizione 1.3 (convergenza uniforme, [6, definizione 2.5]). Se la successione $S_n = \sum_{k=0}^{n} f_k$ delle somme parziali converge uniformemente a una funzione $S \colon E \to \mathbb{R}$ , ossia se per ogni $\varepsilon>0$ esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che

(6) $\begin{equation*} |S_n(x) - S(x)|< \varepsilon \qquad \forall n \geq N, \,\,\forall x \in E, \end{equation*}$

si dice che la serie di funzioni $\sum_{k=0}^{+\infty} f_k(x)$ converge uniformemente a $S$ in $E$ e la funzione $S$ è detta limite uniforme della serie $\sum_{k=0}^{+\infty} f_k(x)$ .

$\quad$

Definizione 1.4 (convergenza totale, [6, definizione 3.11]). Si dice che la serie di funzioni $\sum_{k=0}^{+\infty} f_k(x)$ converge totalmente in $E$ se la serie numerica

(7) $\begin{equation*} %\sum_{k=0}^{+\infty} \sup_{x \in E} |f_k(x)| %= \sum_{k=0}^{+\infty} \|f_k\|_{E} \end{equation*}$

è convergente, dove $\|f\|_E \coloneqq \sup_{x \in E}|f(x)|$ .

$\quad$

La convergenza totale di una serie di funzioni implica quella uniforme, che a sua volta ne implica quella puntuale, mentre le implicazioni inverse sono false. Vale cioè il seguente schema, in cui indichiamo i riferimenti in [6] relativi a ogni implicazione.

Serie di potenze

$\quad$

Ricordiamo qui l’utile criterio di Cauchy per la convergenza uniforme.

Proposizione 1.6 (criterio di Cauchy per la convergenza uniforme). Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

$\quad$

la serie di funzioni $\displaystyle \sum_{k =1}^{+\infty}f(x)$ converge uniformemente in $E$ ;

per ogni $\varepsilon>0$ , esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che
(8) $\begin{equation*} \sup_{x \in E} \left | \sum_{k=m+1}^n f_k(x) \right |< \varepsilon \qquad \forall n,m \geq N \text{ tali che } n \geq m. \end{equation*}$

$\quad$

Ricordiamo poi i teoremi di convergenza per serie di funzioni, che a loro volta sono dei corollari dei teoremi di convergenza per successioni di funzioni. Per ognuno di essi riportiamo il riferimento in [6] per l’enunciato sulle serie di funzioni, ma anche il riferimento in [8] per una dimostrazione del risultato nel contesto delle successioni di funzioni.

Il primo dei risultati di convergenza che richiamiamo è il teorema di scambio tra limite e serie.

Teorema 1.7 (di scambio tra limiti e serie, [6, teoremi 4.2 e 4.3], [8,teoremi 3.24 e 3.21]). Sia $x_0 \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}$ un punto di accumulazione di $E$ e supponiamo che la serie di funzioni $\sum_{k=0}^{+\infty}f_k(x)$ converga uniformemente a una funzione $S \colon E \to \mathbb{R}$ . Supponiamo inoltre per ogni $k \in \mathbb{N}$ esista finito il limite

(9) $\begin{equation*} \ell_k \coloneqq \lim_{x \to x_0} f_k(x) \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Allora valgono le seguenti proprietà:

$\quad$

la serie $\sum_{k=0}^{+\infty} \ell_k$ è convergente a un numero reale $\ell$ ;

Si ha $\displaystyle \lim_{x \to x_0}S(x)=\ell$ .

Sinteticamente si può scrivere

(10) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} \left ( \sum_{k=0}^{+\infty}f_k(x) \right ) = \sum_{k=0}^{+\infty} \left ( \lim_{x \to x_0}f_k(x) \right ). \end{equation*}$

In particolare, se le funzioni $f_k$ sono funzioni continue, allora $S$ è continua.

$\quad$

Riportiamo il fondamentale teorema di integrazione per serie: la somma $S$ di una serie di funzioni integrabili $f_k$ e uniformemente convergente è integrabile e il suo integrale si può ottenere come somma degli integrali delle funzioni $f_k$ .

Teorema 1.8 (di integrazione per serie, [6, teorema 4.4], [8, teorema 3.30]). Sia $f_k \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni integrabili secondo Riemann e supponiamo che la serie di funzioni $\sum_{k=0}^{+\infty}f_k(x)$ converga uniformemente a una funzione $S \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ . Allora $S$ è integrabile secondo Riemann e vale

(11) $\begin{equation*} \int_a^b S(x) \,\mathrm{d}x %= %\int_a^b \left (\sum_{k=0}^{+\infty}f_k(x) \right ) \,\mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{+\infty} \left ( \int_a^b f_k(x) \mathrm{d}x \right ). \end{equation*}$

$\quad$

Ricordiamo infine il teorema di derivazione per serie, che esprime una condizione sufficiente per cui la somma $S$ di una serie di funzioni $f_k$ derivabili sia derivabile e la derivata $S'$ sia pari alla serie delle derivate $f'_k$ .

Teorema 1.9 (di derivazione per serie, [6, teorema 4.6], [8, teorema 3.37]). Sia $f_k \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni derivabili e supponiamo che:

$\quad$

la serie delle derivate $\sum_{k=0}^{+\infty}f_k'(x)$ converga uniformemente a una funzione $G \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ ;

esista $x_0 \in [a,b]$ tale che la serie $\sum_{k=0}^{+\infty}f_k(x_0)$ sia convergente.

Allora la serie di funzioni $\sum_{k=0}^{+\infty}f_k(x)$ converge uniformemente a una funzione derivabile $S \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ e vale $S'=G$ , ossia

(12) $\begin{equation*} \left ( \sum_{k=0}^{+\infty} f_k(x) \right )' = \sum_{k=0}^{+\infty} f_k'(x) \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}$

$\quad$

Serie di potenze e raggio di convergenza

Introduzione.

Abbiamo anticipato che le serie di potenze sono particolari serie di funzioni (definizione 1.1), in cui le funzioni $f_k$ termini generali della serie sono del tipo $a_k(x-x_0)^k$ . Poniamo cioè la seguente definizione.

$\quad$

Definizione 2.1 (serie di potenze). Sia $x_0 \in \mathbb{R}$ e sia $\{a_k\}_{k=0}^{+\infty}$ una successione di numeri reali. Si dice serie di potenze di centro $x_0$ e coefficienti $a_k$ la serie di funzioni definita da

(13) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k. \end{equation*}$

$\quad$

Il termine generale di una serie di potenze è dunque costituito da un multiplo di una potenza del binomio $x-x_0$ . La somma parziale $n$ -esima di tale serie di potenze è quindi il polinomio centrato in $x_0$

(14) $\begin{equation*} S_n(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k(x-x_0)^k = a_0 + a_1(x-x_0) + \dots + a_n(x-x_0)^n, \end{equation*}$

di grado al più pari a $n$ . Un caso particolarmente rilevante si ha quando $x_0=0$ in cui la serie di potenze assume la forma

(15) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} a_k x^k. \end{equation*}$

Tali considerazioni motivano l’intuizione di come le serie di potenze possano essere considerate dei “polinomi di grado infinito”.

Così come i polinomi possiedono delle caratteristiche particolari che li distinguono dalle altre funzioni, allo stesso modo le serie di potenze godono di proprietà non condivise da serie di funzioni generiche. La più importante di queste è sicuramente la seguente: la convergenza di una serie di potenze in un punto $x_1$ implica la convergenza totale della serie negli intervallo di centro $x_0$ e raggio inferiore a $|x_1-x_0|$ . Tale proprietà, a prima vista sorprendente, chiaramente non è valida per una serie di funzioni qualunque: in generale infatti, la convergenza della serie in un punto non garantisce la convergenza puntuale in alcun insieme, e a maggior ragione non implica la convergenza uniforme o totale, come illustrato dal teorema 1.5 . Formalizziamo tale proprietà nel seguente lemma.

Lemma 2.2 (convergenza di una serie di potenze). Sia $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k$ una serie di potenze e supponiamo che essa converga in $x_1 \in \mathbb{R}$ . Allora la serie converge totalmente, e quindi uniformemente e puntualmente, in ogni intervallo del tipo $[x_0-r,x_0+r]$ , con $0 \leq r <|x_1-x_0|$ .

$\quad$

Dimostrazione. Fissiamo $r$ tale che $0 \leq r <|x_1-x_0|$ ; per dimostrare la convergenza totale della serie in $[x_0-r,x_0+r]$ , stimiamo l’estremo superiore del termine generale in tale intervallo osservando che

(16) $\begin{equation*} \begin{split} %\sum_{k=0}^{+\infty} \sup_{x \in [x_0-r,x_0+r]} \left | a_k (x-x_0)^k \right | &= %& = %\sum_{k=0}^{+\infty} |a_k|\left | {x_1-x_0} \right |^k \sup_{x \in [x_0-r,x_0+r]} \left | \frac{x-x_0}{x_1-x_0} \right |^k \\ %\\ %& \leq &\leq %\sum_{k=0}^{+\infty} |a_k|\left | {x_1-x_0} \right |^k \left (\frac{r}{|x_1-x_0|} \right) ^k, \end{split} \end{equation*}$

dove nell’uguaglianza abbiamo moltiplicato e diviso per $|x_1-x_0|^k$ e abbiamo estrapolato dall’estremo superiore i termini costanti che non dipendono da $x$ , mentre la disuguaglianza segue dal fatto che $|x-x_0| \leq r$ in $[x_0-r,x_0+r]$ .

Osserviamo ora che $|a_k|\left | {x_1-x_0} \right |^k$ è il modulo del termine generale di una serie numerica convergente, perché per ipotesi la serie di potenze converge per $x=x_1$ . Dunque esso è infinitesimo e, in particolare, è definitivamente minore di $1$ , ossia esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che

(17) $\begin{equation*} |a_k|\left | {x_1-x_0} \right |^k \leq 1 \qquad \forall n \geq N. \end{equation*}$

Inserendo tale disuguaglianza in (16) e sommando per $k \geq N$ , si ottiene

(18) $\begin{equation*} \sum_{k=N}^{+\infty} \sup_{x \in [x_0-r,x_0+r]} \left | a_k (x-x_0)^k \right | \leq \sum_{k=N}^{+\infty} \left (\frac{r}{|x_1-x_0|} \right)^k. \end{equation*}$

La serie numerica al membro di destra è convergente poiché, dato che $r< |x_1-x_0|$ , il termine $\left (\dfrac{r}{|x_1-x_0|} \right)^k$ è quello di una progressione geometrica di ragione strettamente minore di $1$ , che è convergente per [7, proposizione 3]. Il criterio del confronto implica che anche la serie al membro di sinistra è convergente e ciò prova la convergenza totale della serie di potenze.

Questa caratteristica delle serie di potenze appena presentata implica che l’insieme in cui la serie converge è un intervallo centrato in $x_0$ , il cui raggio viene detto raggio di convergenza della serie di potenze. Tale raggio è intuitivamente pari alla massima distanza da $x_0$ dei punti in cui la serie converge.

Teorema 2.3 (raggio di convergenza). Sia $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k$ una serie di potenze e si definisca

(19) $\begin{equation*} \rho \coloneqq \sup \left \{ |x-x_0| \colon \sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k \text{ è convergente }\right \}. \end{equation*}$

Tale $\rho$ , detto raggio di convergenza della serie, soddisfa le seguenti proprietà:

la serie di potenze converge totalmente, e quindi uniformemente e puntualmente, in ogni intervallo del tipo $[x_0-r,x_0+r]$ con $r < \rho$ ;

la serie di potenze non converge in nessun punto $x$ tale che $|x-x_0|>\rho$ e il termine generale della serie è illimitato per ogni $x$ tale che $|x-x_0|>\rho$ .

In particolare, l’insieme di convergenza puntuale della serie di potenze è un intervallo¹ di estremi $x_0-\rho$ e $x_0+\rho$ e la somma $S$ della serie di potenze è una funzione continua nell’intervallo $(x_0-\rho,x_0+\rho)$ .

Tale intervallo può essere indipendentemente aperto o chiuso a sinistra e/o a destra. ↩

$\quad$

Osservazione 2.4. Prima della dimostrazione, facciamo alcuni commenti sul teorema appena enunciato.

$\quad$

Il raggio di convergenza può anche essere $0$ o $+\infty$ . Nel primo caso, la serie converge solo per $x=x_0$ (e la sua somma è ovviamente nulla); nel secondo caso, la serie di potenze converge in ogni $x \in \mathbb{R}$ e la convergenza è totale negli intervalli limitati.

Il teorema non tratta la convergenza della serie di potenze nei punti $x_0-\rho$ e $x_0+\rho$ . Vedremo nell’esempio 2.8 che la serie può convergere o meno in uno o entrambi questi punti. Occorrono cioè ulteriori informazioni per dedurre il comportamento della serie agli estremi dell’intervallo di convergenza.

Vedremo più avanti (teorema 3.2) che la somma $S$ della serie è in realtà derivabile infinite volte in $(x_0-\rho,x_0+\rho)$ .

Dimostrazione del teorema 2.3. Fissiamo $r<\rho$ . Per definizione di estremo superiore, esiste $x_1 \in \mathbb{R}$ tale che $r <|x_1-x_0| \leq \rho$ tale che la serie di potenze sia convergente in $x_1$ . Per il lemma 2.2, la serie di potenze converge totalmente in $[x_0-r,x_0+r]$ e ciò prova la parte 1 del teorema.

Se il termine generale fosse limitato, dallo stesso ragionamento nella dimostrazione del lemma 2.2, la serie convergerebbe in ogni punto $x_1$ tale che $\rho< |x_1<x_0|< |x-x_0|$ , contro la definizione di raggio di convergenza. Poiché il termine generale non è limitato se $|x-x_0|>\rho$ , in particolare esso non è infinitesimo e la serie non può convergere in tali punti e ciò prova la parte 2.

Fissiamo $x \in (x_0-\rho,x_0+\rho)$ ; dunque esiste $r$ tale che $0 \leq r < \rho$ e tale che $x \in [x_0-r,x_0+r]$ . La convergenza totale della serie in $[x_0-r,x_0+r]$ implica la convergenza puntuale in $x$ e la continuità della funzione somma in $x$ in virtù del teorema 1.7.

Facciamo ora alcuni esempi che illustrano il significato del teorema 2.3.

Esempio 2.5. Consideriamo la serie di potenze di centro $x_0=0$ definita da

(20) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} k! x^k. \end{equation*}$

Mostriamo che essa converge solo per $x=0$ e quindi il suo raggio di convergenza è nullo. Chiaramente il termine generale della serie è nullo per $x=0$ e dunque essa è convergente in tale punto. Se $x \neq 0$ , si ha

(21) $\begin{equation*} \lim_{k \to +\infty} \frac{(k+1)!|x|^{k+1}}{k! |x|^k} = \lim_{k \to +\infty} (k+1)|x| = +\infty. \end{equation*}$

Dunque, per il criterio del rapporto, il termine generale della serie è illimitato, in particolare non è infinitesimo. Ciò implica che la serie di funzioni non è convergente in $x$ , per la condizione necessaria sulla convergenza di una serie numerica, [7, proposizione 1].

Esempio 2.6. Consideriamo ora la serie di potenze di centro $x_0=0$ definita da

(22) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} 2^k x^k. \end{equation*}$

Osserviamo che, in virtù del teorema 2.3, l’intervallo di convergenza della serie di potenze è simmetrico rispetto al centro $x_0=0$ ; dunque, al fine di determinare il raggio di convergenza, è sufficiente studiare la convergenza della serie in $[0,+\infty)$ . Ciò ci permette di assumere che la serie sia a termini positivi e applicare il criterio del rapporto:

(23) $\begin{equation*} \lim_{k\to+\infty} \frac{2^{k+1}x^{k+1}}{2^k x^k} = 2x \,\, \begin{cases} <1 & \text{se } x \in \left (0,\frac{1}{2}\right ) \\[5pt] >1 & \text{se } x \in \left (\frac{1}{2},+\infty \right ). \end{cases} \end{equation*}$

Per il criterio del rapporto la serie converge se $x \in \left (0,\dfrac{1}{2}\right )$ e diverge se $x \in \left (\dfrac{1}{2},+\infty \right )$ . Dal teorema 2.3 il raggio di convergenza della serie è quindi $\dfrac{1}{2}$ . Osserviamo che la serie non converge negli estremi dell’intervallo di convergenza, cioè in alcuno dei punti $x=-\dfrac{1}{2}$ e $x=\dfrac{1}{2}$ . Infatti si ha

(24) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} 2^k\left (-\frac{1}{2}\right )^k = \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k, \qquad \sum_{k=0}^{+\infty} 2^k\left (\frac{1}{2}\right )^k = \sum_{k=0}^{+\infty} 1; \end{equation*}$

la prima serie non ha limite, mentre la seconda è positivamente divergente. Dunque l’intervallo di convergenza della serie di potenze è $\left (-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right )$ .

Esempio 2.7. Sia la serie di potenze definita da

(25) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^k}{k!}. \end{equation*}$

Essa è la serie centrata in $x_0=0$ che definisce la funzione esponenziale $e^x$ ; mostriamo che il raggio di convergenza della serie è infinito, provando che la serie converge per ogni $x \in \mathbb{R}$ . Si ha infatti

(26) $\begin{equation*} \lim_{k\to+\infty} \dfrac{\dfrac{|x|^{k+1}}{(k+1)!}}{\dfrac{|x|^k}{k!}} = \lim_{k \to +\infty} \frac{|x|}{k+1} = 0, \end{equation*}$

dunque la serie converge assolutamente per ogni $x \in \mathbb{R}$ in virtù del criterio del rapporto. Il teorema 2.3 implica che il raggio di convergenza della serie di potenze è infinito.

Esempio 2.8 (estremi dell’intervallo di convergenza). Mostriamo con alcuni esempi che, noto il raggio di convergenza di una serie di potenze, in generale non si può trarre alcuna conclusione sul comportamento della serie agli estremi dell’intervallo di convergenza.

$\quad$

Consideriamo la serie di potenze data dalla serie geometrica centrata in $x_0=0$ :
(27) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} x^k. \end{equation*}$

Come stabilito in [6, esempio 2.13], la serie converge se e solo se $x \in (-1,1)$ . Dunque il raggio di convergenza della serie è $1$ e la serie non converge negli estremi dell’intervallo di convergenza. La discussione in [6, esempio 2.13] fornisce anche l’espressione esplicita della somma di tale serie di potenze:

(28) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} x^k = \frac{1}{1-x} \qquad \forall x \in (-1,1). \end{equation*}$

Sia ora la serie di potenze definita da
(29) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^k}{k^2}. \end{equation*}$

Al fine di determinare il raggio di convergenza della serie di potenze, in virtù del teorema 2.3, è sufficiente studiarne la convergenza puntuale nell’insieme $(0,+\infty)$ . In tale insieme la serie è a termini positivi e possiamo applicare il criterio della radice:

(30) $\begin{equation*} \lim_{k\to+\infty} \sqrt[n]{\frac{x^n}{k^2}} = \lim_{k\to+\infty} \frac{x}{k^{\frac{2}{k}}} = x. \end{equation*}$

Dunque la serie converge per $x \in (0,1)$ e non converge per $x \in (1,+\infty)$ . Grazie al teorema 2.3, il raggio di convergenza della serie è $1$ e l’intervallo di convergenza ha estremi $-1$ e $1$ . Studiamo ora la convergenza della serie in tali punti estremi:

(31) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k^2}, \qquad \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2}. \end{equation*}$

Entrambe le serie sono convergenti: la seconda è una serie armonica generalizzata di esponente $2$ e, di conseguenza, anche la prima converge assolutamente e quindi semplicemente. In questo caso la serie di funzioni converge anche agli estremi dell’intervallo di convergenza è pertanto l’insieme di convergenza è l’intervallo $[-1,1]$ .

Sia infine la serie di potenze definita da

(32) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^k}{k}. \end{equation*}$

Per determinare il raggio di convergenza della serie di potenze, basta studiarne la convergenza puntuale nell’insieme $(0,+\infty)$ , nuovamente grazie al teorema 2.3. Osserviamo che

(33) $\begin{equation*} \frac{x^k}{k^2} \leq \frac{x^k}{k} \leq x^k \qquad \forall x \in (0,+\infty),\,\,\forall k \in \mathbb{N} \setminus\{0\}. \end{equation*}$

Per confronto con la serie geometrica studiata al primo punto, la serie in esame è convergente per ogni $x \in (0,1)$ . D’altra parte, per confronto con la serie al punto precedente, la serie non converge nell’insieme $(1,+\infty)$ . Per il teorema 2.3, il raggio di convergenza della serie di potenze (32) è pari a $1$ . Agli estremi $-1$ e $1$ dell’intervallo di convergenza la serie assume rispettivamente la forma

(34) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k}, \qquad \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k}. \end{equation*}$

La seconda è una serie armonica, che è divergente. La prima è invece convergente grazie al criterio di Leibnitz. Da ciò segue che l’intervallo di convergenza della serie di potenze è pari a $[-1,1)$ .

Criteri per la determinazione del raggio di convergenza.

Il teorema 2.3 e gli esempi esaminati mostrano che la conoscenza del raggio di convergenza di una serie di potenze ne determina completamente il comportamento, a meno di studiarne il carattere al bordo dell’intervallo di convergenza. Risultano quindi di estrema importanza dei criteri che permettano di stabilire il raggio di convergenza di una serie di potenze.

In molti degli esempi precedenti, i criteri della radice e del rapporto sono stati molto utili a tale scopo. Ciò avviene in virtù del fatto che il termine generale di una serie di potenze è del tipo $a_k (x-x_0)^k$ : applicare uno dei due criteri al termine generale della serie si riconduce dunque ad applicarlo ai coefficienti $a_k$ . I risultati seguenti mostrano che questo procedimento può essere reso generale.

Proposizione 2.9 (criterio del rapporto). Sia $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k (x-x_0)^k$ una serie di potenze e si supponga che esista

(35) $\begin{equation*} \ell \coloneqq \lim_{k \to +\infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}. \end{equation*}$

Allora il raggio di convergenza $\rho$ della serie è pari a $\dfrac{1}{\ell}$ , dove con tale scrittura si intende che

(36) $\begin{equation*} \rho = \begin{cases} 0 & \text{se } \ell=+\infty \\[5pt] \dfrac{1}{\ell} & \text{se } \ell \in (0,+\infty) \\[6pt] +\infty & \text{se } \ell=0. \end{cases} \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Supponiamo che esista il limite $\ell$ in (35) e applichiamo il criterio del rapporto al valore assoluto del termine generale della serie di potenze:

(37) $\begin{equation*} \lim_{k \to +\infty} \dfrac{|a_{k+1}||x-x_0|^{k+1}}{|a_k||x-x_0|^k} = \lim_{k \to +\infty} \dfrac{|a_{k+1}|}{|a_k|}|x-x_0| = \ell |x-x_0|. \end{equation*}$

Per il criterio del rapporto sulle serie numeriche, la serie di potenze converge assolutamente se $\ell |x-x_0|<1$ , mentre il termine generale della serie è illimitato, e quindi non infinitesimo, se $\ell |x-x_0|>1$ . Di conseguenza, la serie converge se $\ell |x-x_0|<1$ e non converge se $\ell |x-x_0|>1$ . Distinguiamo dunque 3 casi:

$\quad$

Se $\ell=0$ , allora $\ell |x-x_0|=0$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ e quindi la serie è assolutamente convergente per ogni $x \in \mathbb{R}$ . Ne segue che il raggio di convergenza è $+\infty$ .

Se $\ell \in (0,+\infty)$ , allora $\ell |x-x_0|<1$ se e solo se $|x-x_0|< \frac{1}{\ell}$ . Ne segue che il raggio di convergenza della serie di potenze è pari a $\dfrac{1}{\ell}$ .

Se $\ell=+\infty$ , allora si ha $\ell|x-x_0|=+\infty$ per ogni $x \neq x_0$ e quindi la serie non converge per alcun $x \neq x_0$ . Ne segue che il raggio di convergenza della serie è nullo.

Dimostriamo ora la versione del criterio della radice per serie di potenze, segnalando che nella sezione 5 riportiamo una versione più generale del criterio della radice, la proposizione 5.5 che fa uso del concetto di massimo limite o $\limsup$ di una successione.

Proposizione 2.10 (criterio della radice). Sia $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k (x-x_0)^k$ una serie di potenze e si supponga che esista

(38) $\begin{equation*} \ell \coloneqq \lim_{k \to +\infty} \sqrt[k]{|a_k|}. \end{equation*}$

Allora il raggio di convergenza $\rho$ della serie è pari a $\dfrac{1}{\ell}$ , dove con tale scrittura si intende che

(39) $\begin{equation*} \rho = \begin{cases} 0 & \text{se } \ell=+\infty \\[5pt] \dfrac{1}{\ell} & \text{se } \ell \in (0,+\infty) \\[6pt] +\infty & \text{se } \ell=0. \end{cases} \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Nell’ipotesi che esista il limite $\ell=\lim_{k \to +\infty} \sqrt[k]{|a_k|}$ , applichiamo il criterio della radice al valore assoluto del termine generale della serie di potenze:

(40) $\begin{equation*} \lim_{k \to +\infty} \sqrt[k]{|a_k||x-x_0|^k} = \ell |x-x_0|. \end{equation*}$

La serie è assolutamente convergente, e quindi convergente, se $\ell |x-x_0|<1$ , mentre il termine generale è illimitato, e quindi non infinitesimo, se $\ell |x-x_0|>1$ . Per stabilire quali $x$ soddisfano l’una o l’altra disuguaglianza si procede come nella dimostrazione della proposizione 2.9.

Applichiamo i criteri appena provati ad alcuni esempi.

Esempio 2.11. Studiamo la convergenza della serie di potenze di centro $x_0=1$ definita da

(41) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k^\alpha}{3^k} (x-1)^k, \end{equation*}$

dove $\alpha \in \mathbb{R}$ è un parametro fissato. Utilizziamo il criterio della radice:

(42) $\begin{equation*} \lim_{k \to + \infty} \sqrt[k]{\frac{k^\alpha}{3^k}} = \frac{1}{3} \lim_{k \to + \infty} k^{\frac{\alpha}{3}}=\frac{1}{3}. \end{equation*}$

Da ciò e dalla proposizione 2.10 segue che il raggio di convergenza della serie è $\rho=3$ e quindi l’intervallo di convergenza ha estremi $1-3=-2$ e $1+3=4$ . Per studiare la convergenza agli estremi $-2$ e $4$ , osserviamo che in tali punti le serie assumono rispettivamente la forma

(43) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^k k^\alpha, \qquad \sum_{k=1}^{+\infty} k^\alpha. \end{equation*}$

La prima di queste serie è convergente per ogni $\alpha<0$ per il criterio di Leibnitz, in quanto è una serie a segni alterni e per $\alpha<0$ il termine generale della serie è positivo, decrescente e infinitesimo. La seconda serie converge invece se e solo se $\alpha<-1$ in quanto si tratta di una serie armonica generalizzata. Ciò mostra che, per $\alpha<-1$ , la serie converge assolutamente anche in $x=-2$ .

Riassumendo:

(44) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k^\alpha}{3^k} (x-1)^k \text{ è convergente } \iff x \in \begin{cases} [-2,4] & \text{per } \alpha <-1 \\[4pt] [-2,4) & \text{se } \alpha \in [-1,0) \\[4pt] (-2,4) & \text{se } \alpha >0. \end{cases} \end{equation*}$

Esempio 2.12. Studiamo la convergenza della serie di potenze di centro $x_0=-2$ definita da

(45) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{2^{k^2}}{k!} (x+2)^k. \end{equation*}$

Utilizziamo a tal fine il criterio del rapporto:

(46) $\begin{equation*} \lim_{k \to +\infty} \dfrac{2^{(k+1)^2}}{(k+1)!} \cdot \dfrac{k!}{2^{k^2}} = \lim_{k\to +\infty} \frac{2^{2k+1}}{k+1} = +\infty. \end{equation*}$

Dalla proposizione 2.9, segue che il raggio di convergenza della serie di potenze è nullo e dunque l’insieme di convergenza della serie è $\{-2\}$ .

Derivazione e integrazione delle serie di potenze

Introduzione.

Dalla teoria dei limiti, delle derivate e dell’integrazione, discende che tali operazioni “commutano” con la somma di un numero fissato di funzioni: il limite per $x \to \bar{x}$ della somma di $n$ funzioni è pari alla somma dei limiti di ognuna delle funzioni; analoghe proprietà valgono per derivate e integrali.

Poiché le serie di funzioni rappresentano una generalizzazione della nozione di somma al caso di infinite funzioni, è naturale chiedersi se in tale teoria si possano stabilire analoghe proprietà:

$\quad$

Sotto quali ipotesi il limite per $x \to \bar{x}$ della somma $S$ di una serie di funzioni $f_k$ è pari alla serie dei limiti per $x \to \bar{x}$ delle $f_k$ ?

Quando si può asserire che la somma $S$ è derivabile e che la sua derivata è pari alla serie delle derivate $f_k'$ ?

In quale caso $S$ è integrabile e si può concludere che il suo integrale è pari alla serie degli integrali delle funzioni $f_k$ ?

Tali domande sono state ad esempio indagate in [8], basandosi sull’estensivo studio effettuato in [6, sezioni 2.1 e 3.2]. Ciò ha prodotto i qui richiamati teoremi 1.7, 1.8 e 1.9.

In questa sede vogliamo occuparci di quali risposte particolari assumano le medesime domande relativamente alle serie di potenze. Abbiamo già visto che le serie di potenze possiedono proprietà speciali: la convergenza in un solo punto implica quella totale e uniforme in un intero intervallo. È dunque ragionevole aspettarsi che, anche in relazione alle precedenti domande, le serie di potenze riservino delle sorprese.

Osservazione 3.1 (scambio di limite e serie all’interno dell’intervallo di convergenza). Consideriamo una serie di potenze centrata in $x_0$ della forma

(47) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} a_k (x-x_0)^k, \end{equation*}$

avente raggio di convergenza $\rho>0$ . Riguardo allo scambio tra l’operazione di somma della serie con quella di limite, la questione è completamente risolta all’interno dell’intervallo $(x_0-\rho,x_0+\rho)$ di convergenza. Infatti, fissiamo $\bar{x} \in (x_0-\rho,x_0+\rho)$ e un intervallo $[x_0-r,x_0+r] \subset (x_0-\rho,x_0+\rho)$ contenente $\bar{x}$ . Per il teorema 2.3 la convergenza della serie è totale in $[x_0-r,x_0+r]$ ; dunque per il teorema 1.7 si ha

(48) $\begin{equation*} \lim_{x \to \bar{x}} \left ( \sum_{k=0}^{+\infty} a_k (x-x_0)^k \right ) = \sum_{k=0}^{+\infty} \lim_{x \to \bar{x}} a_k (x-x_0)^k = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k (\bar{x}-x_0)^k, \end{equation*}$

dove l’ultima uguaglianza deriva dalla continuità dei polinomi termini generali della serie di potenze.

Il problema dello scambio tra limite e serie è più delicato agli estremi dell’intervallo di convergenza, ossia quando $\bar{x}=x_0 \pm \rho$ : il lettore interessato può trovare una discussione sulla questione nella sezione 5.2 sui teoremi di Abel.

Derivazione di una serie di potenze.

In questa sezione trattiamo la relazione tra la convergenza di una serie di potenze e quella delle sue derivate. Il risultato principale di questo studio sarà il fatto che una serie di potenze definisce una funzione infinitamente derivabile all’interno del suo insieme di convergenza, e che tale funzione è derivabile per serie.

Teorema 3.2 (derivazione di una serie di potenze). Sia $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k$ una serie di potenze avente raggio di convergenza $\rho>0$ e somma $S \colon (x_0-\rho,x_0+\rho) \to \mathbb{R}$ . Allora la serie delle derivate

(49) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} ka_{k}(x-x_0)^{k-1} \end{equation*}$

possiede lo stesso raggio di convergenza $\rho$ . In particolare, la funzione $S$ è derivabile e si può derivare termine a termine:

(50) $\begin{equation*} S'(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} ka_{k}(x-x_0)^{k-1} \qquad \forall x \in (x_0-\rho,x_0+\rho). \end{equation*}$

Inoltre $S \in C^{\infty}\big( (x_0-\rho,x_0+\rho) \big)$ .

$\quad$

Osservazione 3.3. Da tale risultato discende che, per le derivate della somma $S$ nel punto iniziale $x_0$ , vale la formula

(51) $\begin{equation*} S^{(k)}(x_0) = k!a_k \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Dimostrazione del teorema 3.2. Proviamo innanzitutto che il raggio di convergenza della serie di potenze in (49) è lo stesso della serie originaria. Dato che la serie delle derivate è una serie di potenze, chiamiamo $\rho'$ il suo raggio di convergenza e dimostriamo che si ha $\rho' \leq \rho$ e $\rho \leq \rho'$ –

$\quad$

$\bullet$ $\rho' \leq \rho$ . Fissiamo $x\in (x_0-\rho',x_0+\rho')$ e mostriamo che la serie originaria converge assolutamente in tale punto: infatti si ha

(52) $\begin{equation*} \begin{split} \sum_{k=0}^{+\infty} |a_k| |x-x_0|^k &= |a_0| + |x-x_0|\sum_{k=1}^{+\infty} |a_k| |x-x_0|^{k-1} \\ &\leq |a_0| + |x-x_0|\sum_{k=1}^{+\infty} k|a_k| |x-x_0|^{k-1} \end{split} \end{equation*}$

e la serie all’ultimo membro è convergente perché per ipotesi $x$ si trova all’interno dell’intervallo di convergenza della serie delle derivate. Poiché la serie originaria converge in ogni $x\in (x_0-\rho',x_0+\rho')$ , si ha $\rho' \leq \rho$ .

$\bullet$ $\rho \leq \rho'$ . Fissiamo $x \in (x_0-\rho,x_0+\rho)$ e, per mostrare che la serie delle derivate è convergente in tale punto, scegliamo $x_1 \in (x_0-\rho,x_0+\rho)$ tale che $|x_1-x_0|>|x-x_0|$ . Poiché la serie originaria è convergente in $x_1$ , il termine generale $a_k(x_1-x_0)^k$ è limitato e dunque esiste $C \geq 0$ tale che

(53) $\begin{equation*} |a_k| |x_1-x_0|^k \leq C \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Abbiamo quindi

(54) $\begin{equation*} \begin{split} \sum_{k=1}^{+\infty} k|a_{k}||x-x_0|^{k-1} &= \sum_{k=1}^{+\infty} k\frac{|x-x_0|^{k-1}}{|x_1-x_0|^{k-1}} |a_{k}| |x_1-x_0|^{k-1} \\ &\leq \frac{C}{|x_1-x_0|} \sum_{k=1}^{+\infty} k\frac{|x-x_0|^{k-1}}{|x_1-x_0|^{k-1}} \end{split} \end{equation*}$

e la serie numerica all’ultimo membro è convergente ad esempio per il criterio del rapporto, poiché $|x-x_0| < |x_1-x_0|$ . Dal criterio del confronto segue dunque che la serie delle derivate è assolutamente convergente in $x$ . Dato che tale convergenza vale in ogni $x \in (x_0-\rho,x_0+\rho)$ , si ha $\rho \leq \rho'$ .

Da tali disuguaglianze segue quindi $\rho'=\rho$ . Per dimostrare le ultime affermazioni del teorema, fissiamo $r< \rho$ e osserviamo che sia la serie originaria che la serie delle derivate convergono totalmente in $[x_0-r,x_0+r]$ . In tale intervallo si può quindi applicare il teorema di derivazione per serie di funzioni 1.9 per concludere che $S$ è derivabile in $[x_0-r,x_0+r]$ e si ha

(55) $\begin{equation*} S'(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} ka_{k}(x-x_0)^{k-1} \qquad \forall x \in [x_0-r,x_0+r]. \end{equation*}$

Per l’arbitrarietà di $r<\rho$ , $S$ è derivabile in $(x_0-\rho,x_0+\rho)$ e vale (50).

Il fatto che $S$ sia infinitamente derivabile segue dal fatto che il teorema può essere applicato nuovamente alla serie delle derivate (provando ad esempio che $S$ è derivabile due volte) e, per induzione, ottenere la conclusione.

Mostriamo ora qualche applicazione di questo teorema.

Esempio 3.4. Consideriamo la serie di potenze che definisce la funzione esponenziale:

(56) $\begin{equation*} e^x = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^k}{k!} \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Sappiamo appunto dall’esempio 2.7 che il raggio di convergenza di questa serie è $+\infty$ . Per il teorema 3.2 la funzione esponenziale è dunque derivabile in ogni punto e vale

(57) $\begin{equation*} (e^x)' = \sum_{k=1}^{+\infty} k\frac{x^{k-1}}{k!} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

ottenendo dunque una dimostrazione alternativa della nota formula per la derivata della funzione esponenziale.

Il teorema 3.2 permette di calcolare il valore esatto della somma di alcune serie.

Esempio 3.5. Studiamo la convergenza e calcoliamo la somma della serie

(58) $\begin{equation*} \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{x^k}{k(k-1)} \end{equation*}$

al variare di $x \in \mathbb{R}$ . Osserviamo subito che si tratta di una serie di potenze di centro $x_0=0$ ; inoltre il raggio di convergenza della serie è $\rho=1$ , facilmente ricavabile ad esempio grazie al criterio del rapporto dato dalla proposizione 2.9. Confrontando asintoticamente con la serie armonica generalizzata di esponente $2$ , si vede che la serie è totalmente convergente nell’intervallo $[-1,1]$ e chiamiamo $S \colon [-1,1] \to \mathbb{R}$ la sua somma.

Per ottenere l’espressione esplicita di $S$ , osserviamo che nell’intervallo $(-1,1)$ la funzione $S$ può essere derivata due volte termine a termine grazie al teorema 3.2, ottenendo

(59) $\begin{equation*} S''(x) = \sum_{k=2}^{+\infty} k(k-1)\frac{x^{k-2}}{k(k-1)} = \sum_{k=0}^{+\infty} x^k \overset{(28)}{=} \frac{1}{1-x} \qquad \forall x \in (-1,1). \end{equation*}$

Integrando due volte tra $0$ e $x$ tale espressione della derivata seconda e tenendo conto che² $S'(0)=S(0)=0$ , si ottiene

(60) $\begin{gather*} S'(x) = \int_0^x \frac{1}{1-t}\,\mathrm{d}t = \left [ - \log(1-t) \right ]_0^x = - \log(1-x) \qquad \forall x \in (-1,1), \\ S(x) = -\int_0^x \log(1-t)\,\mathrm{d}t \overset{s=1-t}{=} \int_1^{(1-x)}\log s \,\mathrm{d}s = %\left [ s \log s - s \right ]_1^{(1-x)} %= (1-x) \log(1-x) + x \qquad \forall x \in (-1,1), \end{gather*}$

dove al secondo rigo si è usata l’espressione della primitiva del logaritmo, ottenibile integrando per parti.

(60) stabilisce quindi l’espressione della somma della serie per $x \in (-1,1)$ . Vediamo che essa consente di determinare il valore di $S$ anche agli estremi $-1$ e $1$ dell’intervallo. Infatti, poiché per quanto osservato in precedenza la convergenza della serie è totale in $[-1,1]$ e i termini generali sono funzioni continue, la funzione $S$ è continua nell’intero intervallo $[-1,1]$ per il teorema 1.7. Dunque i valori di $S$ in tali estremi possono essere ricavati passando al limite l’espressione di $S$ in (60), ottenendo

(61) $\begin{gather*} S(-1)= \lim_{x \to -1^+} S(x) = \lim_{x \to -1^+} \Big( (1-x) \log(1-x) + x\Big) = 2\log 2 - 1, \\[3pt] S(1)= \lim_{x \to 1^-} S(x) = \lim_{x \to 1^-} \Big( (1-x) \log(1-x) + x\Big) = 1, \end{gather*}$

dove nell’ultima uguaglianza si è usato il limite notevole $\lim_{t \to 0^+} t \log t=0$ .

Le serie di potenze che definiscono $S$ e $S'$ hanno centro in $x_0=0$ , quindi assumono valore $0$ in tale punto. ↩

Integrazione di una serie di potenze.

Utilizzando il teorema 3.2 e il teorema fondamentale del calcolo integrale, si può ottenere il seguente teorema di integrazione per serie di potenze.

$\quad$

Teorema 3.6 (integrazione di una serie di potenze). Sia $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k$ una serie di potenze avente raggio di convergenza $\rho>0$ e somma $S \colon (x_0-\rho,x_0+\rho) \to \mathbb{R}$ . Allora la serie degli integrali

(62) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a_k}{k+1}(x-x_0)^{k+1} \end{equation*}$

possiede lo stesso raggio di convergenza $\rho$ e la funzione $S$ può essere integrata per serie:

(63) $\begin{equation*} \int_0^x S(t)\,\mathrm{d}t = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a_k}{k+1}(x-x_0)^{k+1} \qquad \forall x \in (x_0-\rho,x_0+\rho). \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. La serie originaria è la serie delle derivate di (62). Per il teorema 3.2, le due serie possiedono lo stesso raggio di convergenza $\rho$ . Chiamando $F \colon (x_0-\rho,x_0+\rho) \to \mathbb{R}$ la somma della serie degli integrali, si ha $F(0)=0$ e, sempre per il teorema 3.2,

(64) $\begin{equation*} S(x) = F'(x) \qquad \forall x \in (x_0-\rho,x_0+\rho). \end{equation*}$

In virtù di ciò e del teorema fondamentale del calcolo integrale [4, teorema 5.2], vale

(65) $\begin{equation*} \int_0^x S(t)\,\mathrm{d}t = F(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a_k}{k+1}(x-x_0)^{k+1} \qquad \forall x \in (x_0-\rho,x_0+\rho). \end{equation*}$

Funzioni analitiche e serie di Taylor

Introduzione.

In questa sezione vogliamo studiare le funzioni che sono localmente somme di serie di potenze, che vengono dette analitiche.

Definizione 4.1 (funzione analitica). Sia $I \subseteq \mathbb{R}$ un intervallo. Una funzione $f \colon I \to \mathbb{R}$ si dice analitica in $x_0\in I$ se esistono $r>0$ e dei coefficienti $\{a_k\}_{k \in \mathbb{N}}$ tali che³

(66) $\begin{equation*} f(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k \qquad \forall x \in (x_0-r,x_0+r) \cap I. \end{equation*}$

La funzione $f$ si dice analitica in $I$ se essa è analitica in ogni $x_0 \in I$ . In tal caso scriviamo $f \in C^{\omega}(I)$ .

Sia $r$ che la successione dei coefficienti $a_k$ dipendono in generale dal punto $x_0$ considerato. ↩

Esempio 4.2. Ogni polinomio è una funzione analitica in $\mathbb{R}$ . Infatti, se $P(x)=a_nx^n + \dots + a_1 x +a_0$ , esso è definito da una serie di potenze centrata in $0$ (con coefficienti $a_k$ definitivamente nulli) e quindi definisce una funzione analitica in $0$ . Per mostrare che $P$ è una funzione analitica in ogni $x_0 \in \mathbb{R}$ , fissiamo un tale $x_0$ ; Usando il binomio di Newton e riordinando le sommatorie si ottiene

(67) $\begin{equation*} \begin{split} P(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k &= \sum_{k=0}^n a_k (x-x_0+x_0)^k \\ &= \sum_{k=0}^n a_k \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} (x-x_0)^j x_0^{k-j} \\ &= \sum_{j=0}^n (x-x_0)^j \sum_{k=j}^n a_k \binom{k}{j}x_0^{k-j}. \end{split} \end{equation*}$

In altre parole, è possibile scrivere $P(x)$ come polinomio rispetto alla variabile $(x-x_0)$ ; precisamente vale $P(x)=b_n(x-x_0)^n + \dots + b_1(x-x_0)+b_0$ , dove

(68) $\begin{equation*} b_j= \sum_{k=j}^n a_k \binom{k}{j}x_0^{k-j} \qquad \forall j \in \{0,\dots,n\}. \end{equation*}$

Dunque $P$ è una funzione analitica in $x_0$ .

Osservazione 4.3 (definizione equivalente). Dal teorema 3.2, sulla derivazione di una serie di potenze segue che una funzione $f$ analitica in $x_0$ è di classe $C^{\infty}\big( (x_0-r,x_0+r) \big)$ e l’unica scelta possibile dei coefficienti $a_k$ è legata alle derivate di $f$ dalla seguente formula:

(69) $\begin{equation*} a_k = \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Dunque richiedere che una funzione $f$ sia analitica in $x_0$ è equivalente a richiedere che essa sia infinitamente derivabile in un intorno di tale punto e che i coefficienti della serie in (66) soddisfino (69).

$\quad$

Definizione 4.4 (serie di Taylor). Sia $f \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione derivabile infinite volte in $x_0\in A$ . La serie di potenze $\sum_{k=0}^{+\infty}a_k(x-x_0)^k$ di centro $x_0$ e di coefficienti

(70) $\begin{equation*} a_k = \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \qquad \forall k \in \mathbb{N} \end{equation*}$

è detta serie di Taylor della funzione $f$ in $x_0$ .

$\quad$

Per quanto dedotto nell’osservazione 4.3, una funzione è analitica in $x_0$ se e solo se essa è pari alla sua sua serie di Taylor in un intorno di $x_0$ .

L’insieme delle funzioni analitiche è chiuso rispetto alle usuali operazioni tra funzioni, come mostra la seguente proposizione. La dimostrazione di questo risultato con soli strumenti di analisi reale è molto lunga e quindi la omettiamo. Segnaliamo che esiste una dimostrazione molto semplice che però utilizza la teoria delle funzioni di variabile complessa e quindi esula dagli scopi di questa dispensa.

Proposizione 4.5 (algebra delle funzioni analitiche). Siano $I,J \subseteq \mathbb{R}$ intervalli e siano $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$ ; supponiamo che $f,g \in C^\omega(I)$ e che $h \in C^\omega(J)$ . Valgono le seguenti proprietà:

$\quad$

la derivata e ogni primitiva di $f$ sono analitiche in $I$ ;

$\alpha f + \beta g$ è analitica in $I$ ;

$f \cdot g$ è analitica in $I$ ;

$\displaystyle \frac{1}{f}$ è analitica nell’insieme $\{x \in I \colon f(x) \neq 0\}$ ;

se $f(I) \subseteq J$ , allora $h \circ f$ è analitica in $I$ ;

Se $f$ è invertibile e $f'(x) \neq 0$ in $I$ , allora l’inversa $f^{-1}$ è analitica.

$\quad$

Esempio 4.6. La funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(71) $\begin{equation*} f(x)= \arctan x \qquad \forall x \in \mathbb{R} \end{equation*}$

è analitica. Infatti essa è derivabile in $\mathbb{R}$ e la sua derivata soddisfa

(72) $\begin{equation*} f'(x)= \frac{1}{1+x^2} \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

$f'$ è una funzione analitica per la proposizione 4.5 in quanto è data dal reciproco di un polinomio, che è una funzione analitica per quanto visto nell’esempio 4.2. Dunque $f$ , essendo una primitiva di una funzione analitica, è analitica per la proposizione 4.5. L’analiticità di $f$ poteva anche essere dedotta dal fatto che essa è l’inversa della funzione tangente in $\left (-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right )$ e che tale funzione è analitica in quanto rapporto di funzioni analitiche (le funzioni seno e coseno sono analitiche, come si vedrà nell’esempio 4.10) e la sua derivata non si annulla mai.

Abbiamo visto che una funzione analitica è di classe $C^\infty$ . Il viceversa in generale è falso, come mostra il prossimo classico esempio. Nella sezione 5.3.2 esibiamo invece una funzione liscia ma non analitica in alcun punto.

Esempio 4.7 (funzione di classe $C^{\infty}$ ma non analitica in un punto). Consideriamo la funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(73) $\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x \leq 0 \\[3pt] e^{-\frac{1}{x}} & \text{se } x >0. \end{cases} \end{equation*}$

Dalla definizione è evidente che essa sia di classe $C^{\infty}$ in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ . Affermiamo che $f$ è derivabile infinite volte in $0$ e che si ha

(74) $\begin{equation*} f^{(k)}(0)=0 \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Per (70), ciò implicherà che la serie di Taylor di $f$ centrata in $x_0=0$ ha coefficienti tutti nulli e quindi in particolare ha raggio di convergenza infinito, convergendo alla funzione identicamente nulla. Se $f$ fosse analitica in $0$ , essa dovrebbe essere identicamente nulla in un intorno di $0$ . Poiché $f$ è strettamente positiva in $(0,+\infty)$ , seguirà che essa non è analitica in $0$ .

Rimane quindi da mostrare (74). Poiché $\lim_{x \to 0} f(x)=0$ , $f$ è continua in $0$ e tutte le sue derivate sinistre sono nulle. Quindi occorre soltanto calcolare le derivate destre di $f$ in $0$ . Si ha

(75) $\begin{equation*} f_{+}'(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x} \overset{t=\frac{1}{x}}{=} \lim_{t\to+\infty} t e^{-t} = 0, \end{equation*}$

dove all’ultima uguaglianza abbiamo usato una nota proprietà dell’esponenziale. Analogamente si può procedere per calcolare le derivate successive di $f$ in $0$ . Formalmente, mostriamo per induzione che per ogni $k \in \mathbb{N}$ esiste un polinomio $P_k(t)$ tale che

(76) $\begin{equation*} f^{(k)}(x)=P_k\left ( \frac{1}{x} \right )e^{-\frac{1}{x}} \qquad \forall x >0. \end{equation*}$

Infatti, abbiamo già visto che l’enunciato è vero per $k=0$ e $k=1$ . Supponiamo dunque la tesi vera per $k$ e proviamola per $k+1$ . Si ha

(77) $\begin{equation*} \begin{split} f^{(k+1)}(x) &= \big(f^{(k+1)}\big)'(x) = \left ( P_k\left ( \frac{1}{x} \right )e^{-\frac{1}{x}} \right )' \\ &= \frac{1}{x^2} \left(- P_k'\left ( \frac{1}{x} \right ) + P_k\left ( \frac{1}{x} \right )\right )e^{-\frac{1}{x}}\qquad \forall x >0. \end{split} \end{equation*}$

Ponendo $P_{k+1}(t)=t^2(-P_k'(t) + P_k(t))$ , per induzione si ottiene (76). Da tale espressione segue

(78) $\begin{equation*} \begin{split} f_{+}^{(k+1)}(0) &= \lim_{x \to 0^+} \frac{f^{(k)}(x) - f^{(k)}(0) }{x} \\ &= \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} P_k\left ( \frac{1}{x} \right )e^{-\frac{1}{x}} \\ &= \lim_{t \to + \infty} \frac{t P_k(t)}{e^{-t}} = 0 \qquad \forall k \in \mathbb{N}, \end{split} \end{equation*}$

dove nuovamente all’ultima uguaglianza si è sfruttato il limite notevole che confronta esponenziale e polinomi. Ciò prova (74).

Criteri di analiticità.

L’esempio 4.7 dimostra che la convergenza della serie di Taylor di una funzione di classe $C^{\infty}$ non assicura l’analiticità della funzione. È quindi naturale ricercare dei criteri di analiticità. Essi sono principalmente basati su stime delle derivate della funzione in intervalli. Il criterio che presentiamo è una condizione sufficiente all’analiticità nell’intorno $(x_0-r,x_0+r)$ di un punto, che fornisce anche una stima del raggio di convergenza della serie di Taylor di $f$ .

Proposizione 4.8 (criterio di analiticità). Sia $I \subseteq \mathbb{R}$ un intervallo e sia $f \in C^{\infty}(I)$ . Se esiste $C\geq 0$ e $N \in \mathbb{N}$ tale che

(79) $\begin{equation*} |f^{(k)}(x)| \leq C^{k} k! \qquad \forall k \geq N,\,\, \forall x \in I, \end{equation*}$

allora per ogni punto $x_0 \in I$ la serie di Taylor di $f$ centrata in $x_0$ ha raggio di convergenza almeno pari a $\dfrac{1}{C}$ e converge a $f$ in $\left (x_0-\dfrac{1}{C}, x_0+\dfrac{1}{C}\right ).$ In particolare, $f$ è analitica in $I$ .

$\quad$

Dimostrazione. Supponiamo che $f$ soddisfi le ipotesi, fissiamo $x_0 \in I$ e sia $x \in \left (x_0-\dfrac{1}{C}, x_0+\dfrac{1}{C}\right )$ . Vogliamo mostrare che la serie di Taylor di $f$ centrata in $x_0$ converge a $f(x)$ nel punto $x$ . Per ogni $n \in \mathbb{N}$ , per il teorema di Taylor con resto di Lagrange, esiste $t_n$ nell’intervallo aperto di estremi $x_0$ e $x$ tale che

(80) $\begin{equation*} f(x) - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k = \frac{f^{(n)}(t_{n})}{(n)!} (x-x_0)^{n}. \end{equation*}$

Da ciò e da (79) segue che

(81) $\begin{equation*} \left | f(x) - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k \right | \leq C^{n} |x-x_0|^{n} \qquad \forall n \geq N \end{equation*}$

e tale espressione ha limite nullo per $n \to +\infty$ in quanto $|x-x_0|< \dfrac{1}{C}$ . Ciò prova che le somme parziali della serie di Taylor di $f$ centrata in $x_0$ convergono a $f(x)$ . Per l’arbitrarietà di $x \in \left (x_0-\dfrac{1}{C}, x_0+\dfrac{1}{C}\right )$ , $f$ è analitica in $x_0$ e, per il teorema 2.3, il raggio di convergenza della serie di Taylor di $f$ è almeno pari a $\dfrac{1}{C}$ . L’arbitrarietà di $x_0 \in I$ implica l’analiticità di $f$ in $I$ .

Grazie a questo criterio di analiticità è possibile provare che molte delle funzioni elementari sono analitiche nei loro insiemi di definizione.

Esempio 4.9. La funzione esponenziale $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , definita da

(82) $\begin{equation*} f(x)=e^x \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

è analitica in $\mathbb{R}$ . Infatti, è noto che essa è di classe $C^\infty(\mathbb{R})$ e che si ha

(83) $\begin{equation*} f^{(k)}(x)= e^x =f(x) \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Consideriamo ora l’intervallo $[-R,R]$ con $R>0$ e scegliamo $C>0$ . Poiché la successione $C^k k!$ diverge positivamente e $f$ è limitata in $[-R,R]$ , esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che

(84) $\begin{equation*} |f^{(k)}(x)| = |f(x)| \leq C^k k! \qquad \forall k \geq N,\,\,\,\forall x \in [-R,R]. \end{equation*}$

Per la proposizione 4.8, $f$ è analitica in $[-R,R]$ e il raggio di convergenza delle serie di Taylor di $f$ centrate in punti di tale intervallo è almeno pari a $\dfrac{1}{C}$ . Per l’arbitrarietà di $C>0$ , tale raggio di convergenza è in realtà infinito e inoltre, per l’arbitrarietà di $R$ , $f$ è analitica in $\mathbb{R}$ .

Nell’esempio 5.13 dimostreremo in modo alternativo l’analiticità dell’esponenziale.

Esempio 4.10. Proviamo che le funzioni $f,g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definite da

(85) $\begin{equation*} f(x)=\sin x, \quad g(x)= \cos x \qquad \forall x \in \mathbb{R} \end{equation*}$

sono analitiche in $\mathbb{R}$ . A tal fine fissiamo $x_0 \in \mathbb{R}$ e osserviamo che, da $f^{(k)}(x)=\pm \sin x$ o $f^{(k)}(x)=\pm \cos x$ , segue

(86) $\begin{equation*} |f^{(k)}(x)| \leq 1 \qquad \forall k \in \mathbb{N}, \,\, \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Fissiamo $C>0$ ; poiché $\lim_{k \to +\infty} C^k k! =+\infty$ , esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che

(87) $\begin{equation*} |f^{(k)}(x)| \leq C^k k! \qquad \forall k \geq N. \end{equation*}$

Per la proposizione 4.8, $f$ è analitica in $x_0$ , la sua serie di Taylor centrata in $x_0$ ha raggio di convergenza $\rho$ almeno pari a $\dfrac{1}{C}$ e converge a $f$ in $\left (x_0-\dfrac{1}{C}, x_0+\dfrac{1}{C}\right )$ . Per l’arbitrarietà di $C >0$ , vale $\rho=+\infty$ e la convergenza della serie di Taylor a $f$ è in $\mathbb{R}$ . Analogamente si mostra che $g$ è analitica.

Esempio 4.11. Consideriamo la funzione $f \colon (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ definita da

(88) $\begin{equation*} f(x)= \log x \qquad \forall x>0 \end{equation*}$

e mostriamo che essa è analitica. Ciò può essere dedotto dalla proposizione 4.5 in quanto è inversa della funzione esponenziale, che abbiamo già visto essere analitica e ha derivata mai nulla. Possiamo però provarlo direttamente usando la proposizione 4.8. A tal fine, osserviamo che si ha

(89) $\begin{equation*} f^{(k)}(x) = \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{x^k} \qquad \forall k \in \mathbb{N} \setminus \{0\},\,\,\, \forall x >0. \end{equation*}$

Consideriamo ora l’intervallo $(\alpha,+\infty)$ per $\alpha>0$ . In tale intervallo si ha quindi

(90) $\begin{equation*} |f^{(k)}(x)| \leq \left (\frac{1}{\alpha}\right )^{k} (k-1)! \qquad \forall k \in \mathbb{N} \setminus \{0\},\,\,\, \forall x \geq \alpha. \end{equation*}$

Per il criterio di analiticità dato dalla proposizione 4.8, $f$ è analitica in $(\alpha,+\infty)$ . Per l’arbitrarietà di $\alpha>0$ , $f$ è analitica in $(0,+\infty)$ .

Si può vedere che la stima (79), oltre a essere una condizione sufficiente per l’analiticità, è anche necessaria, ossia essa fornisce una caratterizzazione dell’analiticità. Forniamo l’enunciato del teorema ma non ne riportiamo la dimostrazione, che utilizza strumenti di analisi complessa che esulano dagli scopi di questa dispensa.

$\quad$

Teorema 4.12 (caratterizzazione delle funzioni analitiche). Sia $I \subseteq \mathbb{R}$ un intervallo aperto e sia $f \colon I \to \mathbb{R}$ una funzione di classe $C^{\infty}(I)$ . Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

$\quad$

$f$ è analitica in $I$ ;

per ogni intervallo $[a,b] \subset I$ esiste $C \geq 0$ tale che
(91) $\begin{equation*} |f^{(k)}(x)| \leq C^{k} k! \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}$

$\quad$

Approfondimenti

Introduzione.

In questa sezione riportiamo alcune interessanti discussioni che solitamente non vengono incluse in una trattazione basilare sulle serie di potenze.

Una versione più forte del criterio della radice.

Il criterio della radice stabilito dalla proposizione 2.10 richiede, al fine di determinare il raggio di convergenza di una serie di potenze, l’esistenza del limite $\lim_{k \to +\infty} \sqrt[k]{a_k}$ . Ciò ne impedisce l’applicazione nei casi in cui tale limite non esista. È naturale chiedersi se l’ipotesi di esistenza del limite possa essere rimossa, ottenendo così un criterio più forte e con un’estesa applicabilità.

Risulta che ciò è possibile facendo uso del concetto di limite superiore di una successione reale.

$\quad$

Definizione 5.1 (limite superiore e inferiore). Data una successione $a_k$ di numeri reali, si definisce limite superiore (o massimo limite) di $a_k$ il valore

(92) $\begin{equation*} \inf_{k \in \mathbb{N}} \Big( \sup_{j \geq k} a_j \Big) = \lim_{k \to +\infty} \Big( \sup_{j \geq k} a_j \Big). \end{equation*}$

Tale valore si indica con $\displaystyle \limsup_{k \to +\infty} a_k$ . Analogamente, si definisce limite inferiore (o minimo limite) di $a_k$ il valore

(93) $\begin{equation*} \sup_{k \in \mathbb{N}} \Big( \inf_{j \geq k} a_j \Big) = \lim_{k \to +\infty} \Big( \inf_{j \geq k} a_j \Big) \end{equation*}$

e si indica con $\displaystyle \liminf_{k \to +\infty} a_k$ .

$\quad$

Intuitivamente, il limite superiore di una successione è l’estremo superiore dei termini $a_j$ successivi a $k$ , asintoticamente per $k \to +\infty$

Osservazione 5.2. Essendo definiti come estremi inferiori e superiori, limite superiore e inferiore di una successione esistono sempre, anche se possono essere infiniti. Il fatto che l’estremo inferiore in (92) sia in realtà un limite è conseguenza del fatto che la successione $k \mapsto \sup_{j \geq k} a_j$ è decrescente, in quanto al crescere di $k$ è definita dall’estremo superiore di un insieme “più piccolo”.

Esempio 5.3. Consideriamo la successione $a_k$ definita da

(94) $\begin{equation*} a_k=(-1)^k\left (2+ \frac{1}{k}\right ) \qquad \forall k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}. \end{equation*}$

La successione non ha limite, in quanto possiede due sottosuccessioni convergenti a limiti diversi:

(95) $\begin{equation*} a_{2k} = 2+ \frac{1}{2k} \to 2, \qquad a_{2k} = - 2- \frac{1}{2k+1} \to -2. \end{equation*}$

Queste due successioni sono rispettivamente decrescente e crescente ed esauriscono tutti i termini della successione $a_k$ . Verifichiamo che il limite superiore e inferiore della successione $a_k$ sono rispettivamente $2$ e $-2$ . Infatti per ogni $k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ si ha

(96) $\begin{equation*} \sup_{j \geq k} a_j = \sup_{j \geq k} \left \{ (-1)^j\left (2+ \frac{1}{j}\right ) \right \} = \begin{cases} 2+ \dfrac{1}{k} & \text{se $k$ è pari} \\[8pt] 2+ \dfrac{1}{k+1} & \text{se $k$ è dispari} \end{cases} \end{equation*}$

in quanto i termini $a_{2j+1}$ sono negativi e la successione $a_{2j}$ è decrescente. Si ha quindi

(97) $\begin{equation*} \inf_{k \in \mathbb{N}} \sup_{j \geq k} a_j = \lim_{k \to +\infty} \sup_{j \geq k} a_j = 2 \end{equation*}$

e ciò mostra che $\limsup_{k\to +\infty} a_k=2$ . Analogamente si prova che $\liminf_{k \to +\infty}a_k=-2$ .

Raccogliamo alcune proprietà del limite inferiore e superiore nella prossima proposizione, che invitiamo a dimostrare per esercizio.

Proposizione 5.4 (proprietà del limite superiore e inferiore). Sia $a_k$ una successione di numeri reali. Valgono le seguenti proprietà:

$\displaystyle \liminf_{k \to +\infty} a_k \leq \limsup_{k \to +\infty}a_k$ ;

$\displaystyle \liminf_{k \to +\infty} a_k = \limsup_{k \to +\infty}a_k$ se e solo se $a_k$ ha limite; in tal caso si ha

(98) $\begin{equation*} \liminf_{k \to +\infty} a_k = \limsup_{k \to +\infty}a_k = \lim_{k \to +\infty}a_k; \end{equation*}$

se $a_{k_j}$ è un’estratta di $a_k$ che ha limite $\ell$ , vale $\displaystyle \liminf_{k \to +\infty} a_k \leq \ell \leq \limsup_{k \to +\infty}a_k$ ;

$\ell = \limsup_{k \to +\infty} a_k$ se e solo se esiste un’estratta $a_{k_j} \to \ell$ e se, per ogni $\varepsilon>0$ , $a_k < \ell +\varepsilon$ definitivamente; vale un’analoga caratterizzazione del $\liminf$ ;

Se $b_k$ è una successione reale che ha limite $\ell$ , allora si ha
(99) $\begin{equation*} \limsup_{k \to +\infty} a_k b_k = \ell \cdot \limsup_{k \to +\infty} a_k, \qquad \limsup_{k \to +\infty} (a_k +b_k) = \ell + \limsup_{k \to +\infty} a_k, \end{equation*}$

se tali operazioni sono definite nell’algebra di $\mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}$ ; si hanno analoghe proprietà per il $\liminf$ .

$\quad$

In altre parole, le proprietà 3 e 4 implicano che il limite superiore (detto appunto anche massimo limite) è effettivamente il massimo punto limite della successione $a_k$ .

Possiamo presentare una versione più generale del criterio della radice.

Proposizione 5.5 (criterio della radice – versione generale). Sia $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k (x-x_0)^k$ una serie di potenze; detto

(100) $\begin{equation*} \ell \coloneqq \limsup_{k \to +\infty} \sqrt[k]{|a_k|}, \end{equation*}$

il raggio di convergenza $\rho$ della serie è pari a $\frac{1}{\ell}$ , dove con tale scrittura si intende che

(101) $\begin{equation*} \rho = \begin{cases} 0 & \text{se } \ell=+\infty \\[5pt] \dfrac{1}{\ell} & \text{se } \ell \in (0,+\infty) \\[6pt] +\infty & \text{se } \ell=0. \end{cases} \end{equation*}$

$\quad$

Questa proposizione è più generale della proposizione 2.10 poiché se $\lim_{k \to +\infty} \sqrt[k]{|a_k|}$ esiste, allora esso è pari al $\limsup$ in virtù della proposizione 5.4.

Dimostrazione. Sia $\rho$ il raggio di convergenza della serie e dimostriamo che $\rho\geq \dfrac{1}{\ell}$ e $\rho\leq \dfrac{1}{\ell}$ .

$\quad$

$\bullet$ $\rho\geq \dfrac{1}{\ell}$ . Consideriamo $x \in \mathbb{R}$ tale che $|x-x_0|< \dfrac{1}{\ell}$ e dimostriamo che la serie di potenze è convergente in tale punto: il teorema 2.3 implicherà che $\rho\geq \dfrac{1}{\ell}$ . La disuguaglianza $|x-x_0|< \dfrac{1}{\ell}$ assicura che

(102) $\begin{equation*} 1> \left (\limsup_{k \to +\infty} \sqrt[k]{|a_k|} \right ) |x-x_0| = \limsup _{k \to +\infty} \sqrt[k]{|a_k| |x-x_0|^k}, \end{equation*}$

dove nell’ultima uguaglianza è stato usato il punto 5 della proposizione 5.4. Per definizione di $\limsup$ , esiste $k \in \mathbb{N}$ tale che

(103) $\begin{equation*} \sup_{j \geq k} \sqrt[k]{|a_j| |x-x_0|^j} < 1. \end{equation*}$

Si può dunque scegliere $\varepsilon>0$ sufficientemente piccolo affinché si abbia

(104) $\begin{equation*} \sqrt[k]{|a_j| |x-x_0|^j} < 1-\varepsilon \qquad \forall j \geq k, \end{equation*}$

che è equivalente a

(105) $\begin{equation*} |a_j| |x-x_0|^j < (1-\varepsilon)^j \qquad \forall j \geq k. \end{equation*}$

Dunque il modulo del termine generale della serie è definitivamente maggiorato dal termine di una progressione geometrica di ragione strettamente minore di $1$ . Per il criterio del confronto, la serie di potenze è assolutamente convergente in $x$ e quindi è convergente.

$\bullet$ $\rho\leq \dfrac{1}{\ell}$ . Scegliamo $x \in \mathbb{R}$ tale che $|x-x_0|> \dfrac{1}{\ell}$ e proviamo che la serie di potenze non è convergente in tale punto: grazie al teorema 2.3, ciò mostrerà che $\rho\leq \dfrac{1}{\ell}$ .

La disuguaglianza $\ell |x-x_0|>1$ è equivalente a

(106) $\begin{equation*} 1 < \left (\limsup_{k \to +\infty} \sqrt[k]{|a_k|} \right ) |x-x_0| = \limsup_{k \to +\infty} \sqrt[k]{|a_k| |x-x_0|^k} \end{equation*}$

Poiché $\sqrt[k]{x}>1$ se e solo se $x>1$ , tale disuguaglianza è equivalente a

(107) $\begin{equation*} \limsup_{k \to +\infty} |a_k| |x-x_0|^k >1. \end{equation*}$

In particolare implica che il termine generale della serie di potenze non è infinitesimo, per il punto 2 della proposizione 5.4, e quindi la serie non può convergere.

Esempio 5.6. Consideriamo la serie di potenze centrata in $x_0=0$ e definita da

(108) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} 3^{k^2\sin k} x^k. \end{equation*}$

Osserviamo che

(109) $\begin{equation*} \lim_{k \to +\infty} \sqrt[k]{3^{k^2\sin k}} = \lim_{k \to +\infty} 3^{k \sin k} \end{equation*}$

non esiste, in quanto $\sin k$ non ha limite e assume segni positivi e negativi, mentre il fattore $k$ tende a $+\infty$ . In questo caso, il criterio della radice dato dalla proposizione 2.10 non può dunque essere applicato. Possiamo però applicare il criterio della radice generalizzato; affermiamo infatti che si ha

(110) $\begin{equation*} \limsup_{k \to +\infty} 3^{k \sin k}=+\infty. \end{equation*}$

Per giustificare tale uguaglianza, fissiamo $k \in \mathbb{N}$ e osserviamo che, poiché $\dfrac{2}{3}\pi - \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}>1$ , esiste $j_0 \geq k$ tale che

(111) $\begin{equation*} \sin j_0 > \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{equation*}$

Da ciò si evince che

(112) $\begin{equation*} \sup_{j \geq k} j \sin j \geq j_0\frac{\sqrt{3}}{2} \geq k \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{equation*}$

Per l’arbitrarietà di $k$ , ciò prova che

(113) $\begin{equation*} \limsup_{k \to +\infty} k \sin k \geq \lim_{k \to +\infty} k \frac{\sqrt{3}}{2}= +\infty. \end{equation*}$

Dato che $\ell = \limsup_{k \to +\infty} \sqrt[k]{|a_k|}=+\infty$ , la proposizione 5.5 prova che il raggio di convergenza della serie di potenze è nullo.

Abbiamo visto che il raggio di convergenza di una serie di potenze può anche essere determinato col criterio del rapporto fornito dalla proposizione 2.9. Poiché anch’esso richiede l’esistenza del limite $\lim_{k \to +\infty} \dfrac{|a_{k+1}|}{|a_k|}$ , risulta naturale chiedersi se anche questo criterio possa essere generalizzato, tenendo conto solo del $\limsup$ di tale rapporto. La risposta è purtroppo negativa, come mostra il seguente esempio.

Esempio 5.7. Consideriamo la serie di potenze centrata in $x_0=0$ e definita da

(114) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} {2^{(-1)^k + k}} x^k. \end{equation*}$

Poiché

(115) $\begin{equation*} \ell = \lim_{k \to +\infty} \sqrt[k]{{2^{(-1)^k + k}}} = \lim_{k \to +\infty} 2^{\frac{(-1)^k}{k}+1} = 2, \end{equation*}$

il criterio del radice (classico) dato dalla proposizione 2.10 implica che il raggio di convergenza della serie di potenze è $\dfrac{1}{2}$ . Si vede però che il criterio del rapporto non è applicabile, in quanto si ha

(116) $\begin{equation*} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|} = \begin{cases} \dfrac{2^{1+k+1}}{2^{-1+k}}=2^3 & \text{se $k$ è dispari} \\[8pt] \dfrac{2^{-1+k+1}}{2^{1+k}}=\dfrac{1}{2} & \text{se $k$ è pari}, \end{cases} \end{equation*}$

che prova che il limite del rapporto non esiste e che

(117) $\begin{equation*} \limsup_{k \to +\infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|} =2^3, \qquad \liminf_{k \to +\infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|} = \frac{1}{2}. \end{equation*}$

Nessuno di questi valori fornisce informazioni utili alla determinazione del raggio di convergenza della serie.

Osservazione 5.8. Si può provare che vale la seguente catena di disuguaglianze:

(118) $\begin{equation*} \liminf_{k \to +\infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|} \leq \liminf_{k \to +\infty} \sqrt[k]{|a_k|} \leq \limsup_{k \to +\infty} \sqrt[k]{|a_k|} \leq \liminf_{k \to +\infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}. \end{equation*}$

Queste relazioni implicano che le argomentazioni dell’esempio precedente possono solo indicare che il raggio di convergenza della serie è compreso tra $\dfrac{1}{8}$ e $2$ .

Esempio 5.9. Studiamo la convergenza della serie di potenze definita da

(119) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} k^2 x^{k!}. \end{equation*}$

Osserviamo che, nonostante essa sia scritta come una somma per $k \in \mathbb{N}$ , l’esponente della variabile $x$ è in realtà $k!$ . Ciò vuol dire che la serie ha dei “buchi” tra i vari termini:

(120) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} k^2 x^{k!} = x+4x^2+ 0 + 0 + 0 + 9x^6 + 0 + 0 + 0 + \dots, \end{equation*}$

dove quindi gli unici coefficienti non nulli sono quelli aventi esponente pari al fattoriale di un numero naturale. Scritta sotto forma di serie di potenze, la serie originaria diventa quindi

(121) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} k^2 x^{k!} = \sum_{n=1}^{+\infty} a_n x^n \qquad \text{dove} \qquad a_n= \begin{cases} k^2 & \text{se } n=k! \\ 0 & \text{altrimenti}. \end{cases} \end{equation*}$

Il criterio del rapporto non è applicabile, in quanto molti termini della serie di potenze sono nulli e dunque non è possibile calcolare il rapporto di termini consecutivi. Si ha però

(122) $\begin{equation*} \limsup_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n} = \limsup_{k \to +\infty} \sqrt[k!]{k^2} = 1, \end{equation*}$

dove l’ultima uguaglianza segue dal fatto che definitivamente vale $\dfrac{2}{k!} \leq \dfrac{1}{k}$ e quindi

(123) $\begin{equation*} 1 \leq k^{\frac{2}{k!}} \leq k^{\frac{1}{k}} \to 1. \end{equation*}$

Per la versione generale del criterio della radice data dalla proposizione 5.5, il raggio di convergenza della serie di potenze in (121) è pari a $1$ . Osserviamo che la serie non converge per $x=\pm 1$ in quanto, per tali valori della variabile, il termine generale non è infinitesimo.

Convergenza uniforme agli estremi dell'insieme di convergenza: i teoremi di Abel.

Il lemma 2.2 prova che la convergenza puntuale di una serie di potenze in $x_1>x_0$ assicura la convergenza totale, e quindi uniforme, in tutti gli intervalli $(x_0-r,x_0+r)$ per $r<x_1-x_0$ , implicando la continuità della funzione somma nell’intervallo aperto $[x_0 ,x_1)$ . Il lemma conduce alla nozione di raggio di convergenza studiata nel teorema 2.3.

Questi risultati non affermano nulla riguardo alla convergenza uniforme nell’intervallo $[x_0,x_1]$ e alla continuità della funzione somma in $x_1$ .

Il prossimo teorema, dovuto al matematico norvegese Niels Henrik Abel (1802-1829), risponde affermativamente a tale questione: se la serie di potenze converge puntualmente in $x_1$ , allora in realtà la convergenza è uniforme nell’intero intervallo $[x_0,x_1]$ e, di conseguenza, la funzione somma è continua in tale intervallo. Lo enunciamo quando $x_1$ coincide con uno degli estremi dell’intervallo $(x_0-\rho,x_0+\rho)$ di convergenza della serie, in quanto questo è l’unico caso significativo. Infatti la convergenza totale all’interno dell’intervallo di convergenza è già stabilita dal teorema 2.3 e lo stesso teorema afferma che la serie non converge puntualmente all’esterno di tale intervallo.

Teorema 5.10 (Abel). Sia $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k$ una serie di potenze avente raggio di convergenza $\rho \in (0,+\infty)$ e si supponga che la serie $\sum_{k=0}^{+\infty} \rho^k$ sia convergente. Allora la serie di potenze converge uniformemente nell’intervallo $[x_0,x_0+\rho]$ . In particolare, la somma $S$ della serie è continua in $[x_0,x_0+\rho]$ .

Vale un analogo risultato in $x_0-\rho$ se la serie $\sum_{k=0}^{+\infty} (-\rho)^k$ è convergente.

$\quad$

Dimostrazione. Per semplificare le notazioni, possiamo ritenere valide le seguenti assunzioni, senza perdita di generalità:

$\quad$

$x_0=0$ e $x_1=1$ ; infatti, mediante il cambio di variabile $y=\dfrac{x-x_0}{(x_1-x_0)}$ , ci si riconduce a studiare
(124) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} a_k (x-x_0)^k = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x_1-x_0)^k y^k, \end{equation*}$

cioè una serie di potenze centrata in $y_0=0$ e di coefficienti $a_k(x_1-x_0)^k$ , che per ipotesi converge per $y=1$ . Possiamo quindi assumere per ipotesi che la serie $\sum_{k=0}^{+\infty}a_k$ sia convergente al numero reale $A$ .

A meno di modificare il termine $a_0$ , si può supporre che $A=0$ .

Proviamo che la successione $S_n$ delle somme parziali soddisfa il criterio di Cauchy dato dalla proposizione 1.6 nell’intervallo $[0,1]$ . A tal fine, chiamiamo $A_k = a_0+\dots+a_k$ la $k$ -esima somma parziale degli $a_k$ e osserviamo che, per ogni $n > m$ e per ogni $x \in [0,1]$ , si ha

(125) $\begin{equation*} \begin{split} |S_n(x) - S_m(x)| & = \left | \sum_{k=m+1}^n a_k x^k \right | \\ & = \left | \sum_{k=m+1}^n (A_{k}-A_{k-1}) x^k \right | \\ & = \left | A_{n}x^n - A_m x^{m+1} + \sum_{k=m+1}^{n-1} A_{k}(x^k - x^{k+1}) \right | \\ %& = %\left | A_{n}x^n - A_m x^{m+1} + (1-x)\sum_{k=m+1}^{n-1} A_{k}x^k \right | %\\ & \leq |A_{n}x^n| + |A_m x^{m+1}| + \sum_{k=m+1}^{n-1} |A_{k}|(x^k - x^{k+1}), \end{split} \end{equation*}$

dove alla seconda uguaglianza abbiamo scritto $a_k= A_{k+1}-A_k$ e nella terza uguaglianza abbiamo riordinato i termini raccogliendo i fattori comuni $A_k$ , mentre la disuguaglianza segue dalla disuguaglianza triangolare, tenendo conto del fatto che $x^k-x^{k+1}\geq 0$ per $x \in [0,1]$ .

Fissiamo ora $\varepsilon>0$ . Dal fatto che $A_k \to 0$ , esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che $|A_k| < \dfrac{\varepsilon}{3}$ per ogni $k \geq N$ . Inserendo in (125) e tenendo conto che $x\leq 1$ , si ottiene

(126) $\begin{equation*} |S_n(x) - S_m(x)| \leq \frac{2}{3}\varepsilon + \frac{\varepsilon}{3} (x^{m+1}-x^{n}) \leq \varepsilon \qquad \forall n > m \geq N, \,\,\,\forall x \in [0,1], \end{equation*}$

dove nuovamente si è usato $x^{m+1}-x^{n} \leq x^{m+1} \leq 1$ . Ciò mostra che la successione $S_n$ delle somme parziali della serie di potenze soddisfa il criterio di Cauchy uniforme dato dalla proposizione 1.6 e dunque converge uniformemente alla somma $S$ della serie in $[0,1]$ . Per il teorema 1.7, la funzione $S$ è continua in tale intervallo.

La possibilità di passare al limite la somma della serie di potenze è valida qualsiasi sia la somma della serie in $x=x_0\pm \rho$ , come stabilito dal prossimo risultato.

$\quad$

Teorema 5.11 (Abel). Sia $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k$ una serie di potenze avente raggio di convergenza $\rho \in (0,+\infty)$ e somma $S \colon (x_0-\rho,x_0+\rho) \to \mathbb{R}$ . Se la serie numerica $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k\rho^k$ ha somma $\ell$ allora si ha

(127) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0+\rho} S(x) = \ell. \end{equation*}$

Vale un analogo risultato per $x=x_0-\rho$ .

$\quad$

Dimostrazione. Come nella dimostrazione del teorema 5.10, possiamo supporre che $x_0=0$ e che $\rho=1$ . Osserviamo inoltre che, se la serie numerica $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k$ è convergente, la tesi segue immediatamente dal teorema 5.10. Rimane dunque da provarla soltanto nel caso in cui tale serie sia divergente e, senza ledere la generalità, assumiamo che essa sia positivamente divergente, cioè $\ell=+\infty$ .

Fissiamo $M \geq 0$ ; vogliamo provare che esiste $\delta>0$ tale che

(128) $\begin{equation*} S(x) > M \qquad \forall x \in (1-\delta,1). \end{equation*}$

A tal fine, chiamiamo nuovamente $S_n$ la somma parziale della serie di potenze e $A_k=a_0+\dots + a_k$ la somma parziale dei coefficienti $a_k$ ; per convenzione definiamo $A_{-1}=0$ . In maniera simile alla dimostrazione del teorema 5.10, per $x \in [0,1)$ e $n \in \mathbb{N}$ si ha

(129) $\begin{equation*} \begin{split} S_n(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k &= \sum_{k=0}^{n} (A_k - A_{k-1}) x^k \\ &= A_n x^n + \sum_{k=0}^{n-1} A_k(x^k-x^{k+1}) \\ &= A_n x^n + (1-x) \sum_{k=0}^{n-1} A_k x^k. \end{split} \end{equation*}$

Dato che la successione $A_k$ è positivamente divergente, è limitata dal basso; dunque, a meno di modificare $a_0$ , possiamo supporre che

(130) $\begin{equation*} A_k \geq 0 \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Inoltre, dalla divergenza di $A_k$ , esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che

(131) $\begin{equation*} A_k \geq 2M \qquad \forall k \geq N. \end{equation*}$

Dunque nell’ultimo membro di (129), il termine $A_n x^n$ può essere trascurato, così come i primi $N$ addendi della sommatoria, mentre gli altri possono essere stimati dal basso con $2M x^k$ , ottenendo

(132) $\begin{equation*} S_n(x) \geq 2M(1-x) \sum_{k=N}^{n-1}x^k = 2M(1-x) \frac{x^N - x^{n}}{1-x} = 2M (x^N - x^{n}) \qquad \forall n \geq N,\,\,\forall x \in [0,1), \end{equation*}$

dove nella prima uguaglianza abbiamo usato la formula della somma di una progressione geometrica.

Scegliamo ora $\delta>0$ tale che

(133) $\begin{equation*} x^N \geq \frac{1}{2} \qquad \forall x \in (1-\delta,1). \end{equation*}$

In tale intervallo, per (132) vale

(134) $\begin{equation*} S_n(x) \geq M - 2M x^n \qquad \forall n \geq N,\,\,\forall x \in (1-\delta,1). \end{equation*}$

Fissando ora $x \in (1-\delta,1)$ e considerando il limite per $n \to +\infty$ della precedente disuguaglianza si ottiene

(135) $\begin{equation*} S(x) = \lim_{n \to +\infty} S_n(x) \geq M. \end{equation*}$

Per l’arbitrarietà di $x \in (1-\delta,1)$ , abbiamo quindi ottenuto

(136) $\begin{equation*} S(x) \geq M \qquad \forall x \in (1-\delta,1), \end{equation*}$

ovvero la conclusione.

Ulteriori proprietà delle funzioni analitiche.

Analiticità nell’intorno di un punto

L’analiticità di una funzione in un intero intervallo sembra abbastanza difficile da verificare in base alla definizione 4.1, in quanto non appare evidente che l’analiticità in un punto $x_0$ assicuri l’analiticità in punti “vicini” a $x_0$ . Come effettuato nell’esempio 4.2, per verificare che una funzione sia analitica in $\mathbb{R}$ occorrerebbe verificare che per ogni $x_0 \in \mathbb{R}$ essa sia pari alla somma di una serie di potenze centrata in $x_0$ .

Per fortuna tale procedura non è necessaria: il prossimo risultato mostra che, se $f$ è analitica in un punto $x_0$ , allora lo è in ogni punto $x_1$ dell’intorno $(x_0-r,x_0+r)$ determinato dalla definizione 4.1; inoltre, la serie di Taylor di $f$ centrata in $x_1$ converge a $f$ in ogni intorno circolare di $x_1$ contenuto in $(x_0-r,x_0+r)$ .

In particolare si ottiene che l’insieme dei punti in cui una funzione è analitica è aperto.

Proposizione 5.12 (analiticità nell’intorno di un punto). Sia $I \subseteq \mathbb{R}$ un intervallo e sia $f \colon I \to \mathbb{R}$ una funzione analitica in $x_0\in I$ . Allora $f$ è analitica in un intorno di $x_0$ .

Precisamente, se esiste $r>0$ tale che

(137) $\begin{equation*} f(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k \qquad \forall x \in (x_0-r,x_0+r) \cap I, \end{equation*}$

allora $f$ è analitica in ogni punto $x_1 \in (x_0-r,x_0+r) \cap I$ e il raggio di convergenza della serie di Taylor di $f$ centrata in $x_1$ è almeno pari a $r_1 \coloneqq \min\{|x_1-x_0+r|,|x_0-x_0-r|\}$ .

$\quad$

La quantità $\min\{|x_1-x_0+r|,|x_0-x_0-r|\}$ è la minima distanza da $x_1$ dagli estremi dell’intervallo $(x_0-r,x_0+r)$ .

La strategia della dimostrazione è simile a quella dell’esempio 4.2, ossia sviluppare i termini $(x-x_0)^k=(x-x_1+x_1-x_0)^k$ utilizzando la formula del binomio di Newton e poi riordinare le sommatorie per ottenere una serie di potenze centrata in $x_1$ . Diversamente dal caso dei polinomi, però, in questo caso le sommatorie sono delle serie di infiniti addendi e occorre essere cauti nel riordinarne i termini: si veda ad esempio [7, teorema 15] per la delicatezza della questione. Fortunatamente, vedremo che le serie in gioco sono assolutamente convergenti e ciò permette di riordinarle senza alterarne le somme.

Dimostrazione. Supponiamo per semplicità di scrittura che $(x_0-r,x_0+r) \subseteq I$ , fissiamo $x_1\in (x_0-r,x_0+r)$ e, senza perdita di generalità, possiamo supporre $x_1>x_0$ ; in particolare si avrà

(138) $\begin{equation*} r_1 \coloneqq \min\{|x_1-x_0+r|,|x_0-x_0-r|\} = x_0+r-x_1. \end{equation*}$

Chiamiamo $a_k \coloneqq \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$ i coefficienti della serie di Taylor di $f$ centrata in $x_0$ e mostriamo che $f(x)$ è somma di una serie di potenze centrata in $x_1$ per ogni $x\in (x_1-r_1,x_1+r_1)$ . Per ipotesi di analiticità in $x_0$ , grazie al lemma 2.2 la serie di potenze (137) è assolutamente convergente per ogni $x \in (x_0-r,x_0+r)$ ; dunque per ogni $x \in [x_1,x_0+r)$ in particolare si ha

(139) $\begin{equation*} \begin{split} \sum_{k=0}^{+\infty} |a_k||x-x_0|^k & = \sum_{k=0}^{+\infty} |a_k|\big(|x-x_1| +|x_1-x_0|\big)^k \\ & = \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{j=0}^k |a_k|\binom{k}{j} |x-x_1|^j |x_1-x_0|^{k-j} \\ & = \sum_{j=0}^{+\infty} |x-x_1|^j \sum_{k=j}^{+\infty} |a_k| \binom{k}{j}|x_1-x_0|^{k-j}, \end{split} \end{equation*}$

dove alla prima uguaglianza abbiamo usato che $x_0 \leq x_1 \leq x$ , alla seconda abbiamo sviluppato la potenza con la formula di Newton, mentre all’ultimo membro abbiamo riordinato la serie in quanto tutti gli addendi sono positivi, si veda [7, lemma 12]. La convergenza di $\sum_{k=0}^{+\infty} |a_k||x-x_0|^k$ implica che le serie numeriche

(140) $\begin{equation*} b_j \coloneqq \sum_{k=j}^{+\infty} a_k \binom{k}{j}(x_1-x_0)^{k-j} \quad \forall k \in \mathbb{N} \qquad \quad \sum_{j=0}^{+\infty} b_j (x-x_1)^j \end{equation*}$

sono assolutamente convergenti. Per l’arbitrarietà di $x \in (x_1,x_0+r)=(x_1,x_1+r_1)$ , il teorema 2.3 implica che il raggio di convergenza della serie di potenze $\sum_{j=0}^{+\infty} b_j (x-x_1)^j$ è almeno pari a $r_1$ e dunque tale serie converge assolutamente in $(x_1-r_1,x_1+r_1)$ . Inoltre, per ogni $x \in (x_1-r_1,x_1+r_1)$ è possibile effettuare gli stessi calcoli di (139) senza i valori assoluti, in virtù del fatto che le serie sono tutte assolutamente convergenti e quindi possono essere riordinate senza alterarne la somma [7, corollario 6]. Effettuando tali operazioni si ottiene

(141) $\begin{equation*} f(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k = \sum_{j=0}^{+\infty} b_j (x-x_1)^j \qquad \forall x \in (x_1-r_1,x_1+r_1). \end{equation*}$

Ciò mostra che $f$ è analitica in $x_1$ e che il raggio di convergenza della serie di potenze centrata in $x_1$ che la definisce è pari almeno a $r_1$ . Per l’osservazione 4.3, ciò implica che i coefficienti $b_j$ soddisfino la relazione

(142) $\begin{equation*} b_j = \frac{f^{(j)}(x_1)}{j!} \qquad \forall j \in \mathbb{N}, \end{equation*}$

ossia che la serie centrata in $x_1$ che definisce $f$ sia proprio la serie di Taylor di $f$ centrata in $x_1$ .

Esempio 5.13. Abbiamo già visto nell’esempio 4.9 che la funzione esponenziale $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , definita da

(143) $\begin{equation*} f(x)=e^x \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

è analitica in $\mathbb{R}$ . Possiamo però provarlo in maniera alternativa usando la proposizione 5.12. Infatti, per la definizione dell’esponenziale come serie di potenze centrata in $x_0=0$

(144) $\begin{equation*} e^x = \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{x^k}{k!} \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

$f$ è analitica in $0$ . Poiché il raggio di convergenza di tale serie è $+\infty$ , la proposizione 5.12 implica che $f$ è analitica in ogni punto e che la serie di Taylor che la definisce ha raggio di convergenza $+\infty$ in ogni punto.

Una funzione di classe $C^\infty$ ma non analitica in alcun punto

La funzione dell’esempio 4.7 non è analitica in $0$ , ma lo è in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ in virtù della proposizione 4.5 e grazie al fatto che essa è composizione e rapporto di funzioni analitiche. In realtà, esistono funzioni $C^\infty(\mathbb{R})$ che non sono analitiche in alcun punto, come mostrato dal seguente esempio.

Esempio 5.14 (funzione di classe $C^\infty$ ma non analitica in alcun punto). Sia $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la funzione dell’esempio 4.7 e sia $g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la funzione definita da

(145) $\begin{equation*} g(x)= f(x) f(1-x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Dato che $f \in C^\infty(\mathbb{R})$ , $g \in C^\infty(\mathbb{R})$ in quanto prodotto di funzioni di classe $C^\infty$ . Inoltre $g$ è analitica in $\mathbb{R}\setminus \{0,1\}$ per la proposizione 4.5 in quanto prodotto di funzioni analitiche. Nei punti $0,1$ si ha

(146) $\begin{equation*} g^{(n)}(0)= g^{(n)}(1) = 0 \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Inoltre, dalla definizione di $f$ segue che $g(x)=0$ se $x \leq 0$ o $x\geq 1$ .

Definiamo quindi per ogni $k \in \mathbb{N}$ la funzione $g_k \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ottenuta intuitivamente “affiancando” delle copie di $g(x)$ ristrette di un fattore $2^k$ rispetto all’asse $x$ , fino a coprire tutto l’asse; formalmente

(147) $\begin{equation*} g_k(x) = \sum_{j=-\infty}^{+\infty} g\big(2^k (x-j) \big) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Osserviamo che la somma infinita che definisce $g_k$ ha in realtà un solo addendo non nullo per ogni $x \in \mathbb{R}$ , in quanto $g(x) \neq 0$ solo in $(0,1)$ , quindi in particolare $g_k$ è di classe $C^\infty$ . Inoltre $g_k$ è periodica di periodo $\dfrac{1}{2^k}$ e, per l’analiticità di $g$ , si ha

(148) $\begin{equation*} g_k \in C^\omega \big( \mathbb{R} \setminus \{j2^{-k} \colon j \in \mathbb{Z}\} \big), \end{equation*}$

cioè $g_k$ è analitica in ogni punto tranne in quelli della forma $j2^{-k}$ con $j$ intero.

A questo punto possiamo definire la funzione $h \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ come la serie di funzioni

(149) $\begin{equation*} h(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} g_k(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Proviamo ora che $h \in C^\infty(\mathbb{R})$ ; a tal fine, mostriamo che la serie delle derivate $n$ -esime, per $n \in \mathbb{N}$ , converge totalmente. Infatti si ha

(150) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!}\sup_{x \in \mathbb{R}} \left | g_k^{(n)}(x) \right | \leq \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{2^{kn}}{k!}\sup_{x \in \mathbb{R}} \left | g^{(n)}(x) \right | = \max_{x \in [0,1]} \left | g^{(n)}(x) \right | \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{2^{kn}}{k!} \end{equation*}$

dove nella prima disuguaglianza abbiamo usato la definizione di $g_k$ ; dato che la serie numerica all’ultimo membro è convergente, ad esempio per il criterio del rapporto, la serie delle derivate $n$ -esime converge totalmente. In particolare, per $n=0$ , ciò mostra che $h$ è ben definita ed è continua; inoltre, applicando ripetutamente il teorema 1.9, si ottiene che $h$ è derivabile infinite volte.

Proviamo che $h$ non è analitica in alcun punto. Infatti, supponiamo per assurdo che esista $x_0 \in \mathbb{R}$ in cui $h$ sia analitica. Per la proposizione 5.12, $f$ è analitica in un intorno di $x_0$ e quindi è analitica in qualche punto $x_1$ della forma $x_1=\dfrac{j_0}{2^K}$ , per $j_0 \in \mathbb{Z}$ dispari. Dal fatto che $j_0$ sia dispari e da (148), segue che le funzioni $g_1,\dots,g_{K-1}$ sono analitiche in $x_1$ e quindi la differenza

(151) $\begin{equation*} \psi \coloneqq h - \sum_{k=0}^{K-1} g_k = \sum_{k=K}^{+\infty} g_k \end{equation*}$

è analitica in $x_1$ per la proposizione 4.5. Dalla periodicità delle $g_k$ e da (146) segue

(152) $\begin{equation*} g_k^{(n)}\left ( \frac{j_0}{2^K} \right ) = 0 \qquad \forall k \geq K, \,\,\, \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Per tale ragione $\psi^{(n)}(x_1)=0$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ e quindi la serie di Taylor di $\psi$ centrata in $x_1$ ha coefficienti tutti nulli. L’analiticità di $\psi$ implicherebbe che $\psi$ è nulla in un intorno di $x_1$ , ma ciò è assurdo in quanto le funzioni $g_k$ sono tutte positive in un intorno di $x_1$ privato di $x_1$ . Da tale contraddizione segue che $h$ non è analitica in alcun punto.

Principio di identità e continuazione unica

Come notato sin dall’introduzione, le funzioni analitiche costituiscono una sorta di generalizzazione del concetto di polinomio di grado infinito. In tale ottica, alcune proprietà caratteristiche dei polinomi valgono, in una forma appropriata, anche per le funzioni analitiche. Una di queste proprietà è il cosiddetto principio di identità dei polinomi che afferma che se due polinomi $P(x),Q(x)$ assumono gli stessi valori in un insieme infinito di punti, allora $P$ e $Q$ sono lo stesso polinomio. Vale un analogo principio di identità per le funzioni analitiche, in cui però l’insieme di coincidenza deve avere un punto di accumulazione, che è una proprietà più forte dell’essere infinito.

Teorema 5.15 (principio d’identità per funzioni analitiche). Sia $I \subseteq \mathbb{R}$ un intervallo e siano $f,g \in C^\omega(I)$ tali che l’insieme $\{x \in I \colon f(x)=g(x)\}$ abbia un punto di accumulazione. Allora $f=g$ .

$\quad$

Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che, considerando le funzioni $f-g$ e $g-g=0$ , è sufficiente dimostrare la seguente proprietà: se $f$ è analitica in $I$ e il suo insieme degli zeri $\{x \in I \colon f(x)=0\}$ ha un punto di accumulazione, allora $f$ è la funzione identicamente nulla.

Chiamiamo quindi $E_0=\{x \in I \colon f(x)=0\}$ , supponiamo che $E_0$ abbia un punto di accumulazione $z$ e consideriamo una successione $x_k \in E_0 \setminus \{z\}$ tale che $x_k \to z$ . Per la continuità di $f$ in $z$ e per il teorema ponte [5], si ha $f(z)=0$ .

Poiché ogni successione di numeri reali possiede un’estratta monotona [1, proposizione A5.14], a meno di considerare una sottosuccessione di $x_k$ possiamo assumere che essa sia monotona e, senza perdita di generalità, che $x_k$ sia crescente. Poiché $f$ è derivabile in $z$ e $f(x_k)=0$ per ogni $k \in \mathbb{N}$ , per il teorema ponte [5, teorema 1.1] vale

(153) $\begin{equation*} f'(z)= \lim_{k \to +\infty} \dfrac{f(x_k)-f(z)}{x_k-z} = 0. \end{equation*}$

Osserviamo ora che, sempre dal fatto che $f(x_k)=0$ per ogni $k \in \mathbb{N}$ , applicando il teorema di Rolle [3] a $f$ in ognuno degli intervalli $(x_k,x_{k+1})$ , si ottiene che esiste $y_k \in (x_k,x_{k+1})$ tale che $f'(y_k)=0$ per ogni $k \in \mathbb{N}$ . Tale successione $y_k$ è crescente e converge a $z$ . Pertanto, di nuovo il teorema ponte [5, teorema 1.1] implica

(154) $\begin{equation*} f''(z)= \lim_{k \to +\infty} \dfrac{f'(y_k)-f'(z)}{y_k-z} = 0. \end{equation*}$

Procedendo induttivamente in questo modo, si ottiene

(155) $\begin{equation*} f^{(n)}(z)=0 \qquad \forall n \in \mathbb{N}, \end{equation*}$

ossia che i coefficienti della serie di Taylor di $f$ centrata in $z$ sono tutti nulli. Poiché $f$ è analitica in $z$ , $f$ coincide con la sua serie di Taylor centrata in $z$ in un intervallo $(z-r,z+r)$ con $r>0$ , ossia è nulla in tale intervallo.

Proviamo ora che $f$ è nulla nell’intero intervallo $I$ . Infatti, supponiamo per assurdo che esista $x_0 > z$ tale che $f(x_0) \neq 0$ e consideriamo quindi

(156) $\begin{equation*} y \coloneqq \inf \{ x > z \colon f(x) \neq 0\}. \end{equation*}$

Per quanto provato precedentemente, deve aversi $y\geq z+r> z$ e quindi, per definizione di estremo inferiore, si ha

(157) $\begin{equation*} f(x)=0 \qquad \forall x \in (z,y). \end{equation*}$

Ciò mostra che $y$ è un punto di accumulazione dell’insieme $E$ degli zeri di $y$ e, per quanto precedentemente provato, $f$ è nulla in un intorno $(y-r_1,y+r_1)$ di $y$ per qualche $r_1>0$ , ma ciò è in contraddizione con la definizione di $y$ , secondo la quale in ogni intorno di $y$ esistono dei punti $x$ in cui $f(x) \neq 0$ . Analogamente si mostra che $f(x)$ è identicamente nulla per $x<z$ .

Come corollario di tale forte proprietà delle funzioni analitiche, vi è il cosiddetto principio di continuazione unica: se una funzione analitica può essere estesa in maniera analitica, allora tale iI>prolungamento è unico. Il lettore può osservare che questa proprietà non è valida per funzioni di classe $C^\infty$ , infatti la funzione nulla in $(-\infty,0]$ possiede diversi prolungamenti di classe $C^\infty$ : il prolungamento identicamente nullo e quello costruito nell’esempio 4.7.

$\quad$

Corollario 5.16 (continuazione unica). Sia $I \subset \mathbb{R}$ un intervallo, sia $f$ una funzione analitica in $I$ e sia $J \subseteq \mathbb{R}$ un intervallo contenente $I$ . Allora esiste al più una funzione $g \in C^\omega(J)$ tale che $g$ coincida con $f$ in $I$ .

$\quad$

Dimostrazione. Siano $g,h \in C^\infty(J)$ e coincidenti con $f$ in $I$ . Allora l’insieme $\{x \in J \colon g(x)=h(x)\}$ , contenendo l’intervallo $I$ , possiede dei punti di accumulazione e quindi, per il teorema 5.15, si ha $g=h$ .

Riferimenti bibliografici

[1] Acerbi, E. & Buttazzo, G., Primo corso di Analisi Matematica, Pitagora Editrice (1997).

[2] Cartan, H., Elementary theory of analytic functions of on and several complex variables, Dover Publications (1995).

[3] Qui Si Risolve, I teoremi di Rolle e Lagrange.

[4] Qui Si Risolve, Il teorema fondamentale del calcolo integrale.

[5] Qui Si Risolve, Il teorema ponte.

[6] Qui Si Risolve, Serie di funzioni.

[7] Qui Si Risolve, Teoria sulle serie numeriche.

[8] Qui Si Risolve, Successioni di funzioni – Teoria.

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