Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate 4

Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l'uso delle derivate

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In questa sezione sono richiamati brevemente i principali risultati teorici utilizzati nel corso della dispensa. Per le loro dimostrazioni e per ulteriori approfondimenti si rimanda alle dispense sulle funzioni continue.
 

Definzione 1 – Massimi e minimi assoluti.

Sia f \colon A \subset\mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione. M\in \mathbb{R} si dice \text{massimo} di f in A se esiste x_0\in A tale che

    \[f(x_0)= M \qquad \text{e} \qquad f(x)\le M \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo M = \max_A f e x_0 si dice \textit{punto di massimo} per f.

Analogamente, m\in \mathbb{R} si dice \text{minimo} di f in A se esiste x_0\in A tale che

    \[f(x_0)= m \qquad \text{e} \qquad f(x)\ge m \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo m=\min_A f e x_0 si dice \textit{punto di minimo} per f.

 
Un punto x_0 può non essere di massimo o di minimo assoluto per f, ma può esserlo se restringiamo f a un intorno di x_0. Ciò produce le seguenti definizioni.

Definizione 2 – Massimi e minimi locali.

Sia f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R} una funzione. x_0\in A si dice \textit{punto di massimo locale} per f se esiste \delta >0 tale che

    \[f(x) \le f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

Analogamente, x_0\in A si dice \textit{punto di minimo locale} per f se esiste \delta >0 tale che

    \[f(x) \ge f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

 

Teorema di Weierstrass. 

Siano a, b \in \mathbb{R}, con a \leq b e sia f\colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione continua. Allora f ammette massimo e minimo assoluti in [a,b], ovvero esistono x_m, \, x_M \in [a,b] tali che

    \[ f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] . \]

 
Il seguente risultato riassume i principali risultati sulla continuità delle funzioni elementari che vengono utilizzate negli esercizi.

Proposizione 1.

Valgono le seguenti proprietà:
\bullet Ogni funzione polinomiale P \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} è una funzione continua.
\bullet La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \sin x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet La funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \cos x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet Sia a > 0 un numero reale. La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = a^x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet Sia a >0 un numero reale. La funzione f \colon (0,+\infty)\to \mathbb{R} definita da f(x) = \log_a (x) per x \in (0,+\infty) è continua.
\bullet Sia n \in \mathbb{N}. La funzione f\colon [0,+\infty]\to [0,+\infty], se n è pari, o la funzione f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}, se n è dispari, definita da f(x)=\sqrt[n]{x} è continua.
\bullet La funzione f \colon[-1,1]\to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x) = \arcsin x per x \in [-1,1] è continua.
\bullet La funzione f \colon[-1,1]\to \left[0,\pi\right] definita da f(x) = \arccos x per x \in [-1,1] è continua.
\bullet La funzione f \colon \mathbb{R} \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x)=\arctan x per x \in \mathbb{R} è continua.

 
Il seguente risultato riassume i risultati sulla continuità delle varie operazioni sulle funzioni continue.

Proposizione 2.

Sia A \subseteq \mathbb{R}, e siano f,g \colon A \to \mathbb{R} due funzioni continue. Allora
\bullet La somma f + g e il prodotto f\cdot g sono funzioni continue.
\bullet Il quoziente \frac{f}{g} è continuo nell’insieme A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}.
\bullet Siano f\colon A \to \mathbb{R} e g\colon B \to \mathbb{R} funzioni tali che f(A) \subseteq B. Se f è continua in x_0\in A e g è continua in y_0 \coloneqq f(x_0)\in B, allora la funzione composta g \circ f è continua in x_0.
\bullet Siano f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} funzioni continue con f>0. Allora la funzione f^g è continua.

 

Testi degli esercizi

Esercizio 4  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Stabilire se la funzione f \colon  \mathbb{R}\to \mathbb{R} definita da

(1)   \begin{equation*} 			f(x) 			= 			\begin{cases} 				-e^{x}	+2						& \text{se } x <1\\[8pt] 				\sqrt{x}						& \text{se } x \ge 1 			\end{cases} 		\end{equation*}

soddisfa le ipotesi del teorema di Weierstrass nell'intervallo [0,3]; calcolare inoltre \inf f e \sup f e stabilire se essi sono anche massimo e minimo.

 
Svolgimento.
Osserviamo che

    \[\begin{aligned} 	\lim_{x \to 1^-} f(x) =& \lim_{x \to 1^-} -e^x + 2 = - e +2,\\ 	\lim_{x \to 1^+} f(x) =& \lim_{x \to 1^+}  \sqrt{x} = 1. \end{aligned}\]

Poiché non esiste \lim_{x \to 1}f(x), allora f non è continua in 1 e dunque non soddisfa le ipotesi del teorema di Weierstrass. Osserviamo che la funzione f nell’intervallo [0,1) è decrescente, dunque

    \[\max_{x \in [0,1)} f(x) = f(0) = 1, \qquad \inf_{x \in [0,1)} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = -e +2.\]

Nell’intervallo [1,3] la funzione f è invece strettamente crescente, dunque

    \[\min_{x \in [1,3]} f(x) = f(1) = 1, \qquad \max_{x \in [1,3]} f(x) = f(3) = \sqrt{3}.\]

Dato che -e+2 < 1 < \sqrt{3}, segue che

    \[\inf_{x \in [0,3]} f(x) =  -e +2, \qquad \max_{x \in [0,3]} f(x) = \sqrt{3}.\]

ed f non ammette minimo poiché il valore dell'estremo inferiore non viene assunto dalla funzione. Riportiamo il grafico della funzione f in figura 3.
 

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Figura 3: rappresentazione della funzione dell’esercizio 4.