Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate 5

Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l'uso delle derivate

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In questa sezione sono richiamati brevemente i principali risultati teorici utilizzati nel corso della dispensa. Per le loro dimostrazioni e per ulteriori approfondimenti si rimanda alle dispense sulle funzioni continue.
 

Definzione 1 – Massimi e minimi assoluti.

Sia f \colon A \subset\mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione. M\in \mathbb{R} si dice \text{massimo} di f in A se esiste x_0\in A tale che

    \[f(x_0)= M \qquad \text{e} \qquad f(x)\le M \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo M = \max_A f e x_0 si dice \textit{punto di massimo} per f.

Analogamente, m\in \mathbb{R} si dice \text{minimo} di f in A se esiste x_0\in A tale che

    \[f(x_0)= m \qquad \text{e} \qquad f(x)\ge m \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo m=\min_A f e x_0 si dice \textit{punto di minimo} per f.

 
Un punto x_0 può non essere di massimo o di minimo assoluto per f, ma può esserlo se restringiamo f a un intorno di x_0. Ciò produce le seguenti definizioni.

Definizione 2 – Massimi e minimi locali.

Sia f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R} una funzione. x_0\in A si dice \textit{punto di massimo locale} per f se esiste \delta >0 tale che

    \[f(x) \le f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

Analogamente, x_0\in A si dice \textit{punto di minimo locale} per f se esiste \delta >0 tale che

    \[f(x) \ge f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

 

Teorema di Weierstrass. 

Siano a, b \in \mathbb{R}, con a \leq b e sia f\colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione continua. Allora f ammette massimo e minimo assoluti in [a,b], ovvero esistono x_m, \, x_M \in [a,b] tali che

    \[ f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] . \]

 
Il seguente risultato riassume i principali risultati sulla continuità delle funzioni elementari che vengono utilizzate negli esercizi.

Proposizione 1.

Valgono le seguenti proprietà:
\bullet Ogni funzione polinomiale P \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} è una funzione continua.
\bullet La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \sin x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet La funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \cos x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet Sia a > 0 un numero reale. La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = a^x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet Sia a >0 un numero reale. La funzione f \colon (0,+\infty)\to \mathbb{R} definita da f(x) = \log_a (x) per x \in (0,+\infty) è continua.
\bullet Sia n \in \mathbb{N}. La funzione f\colon [0,+\infty]\to [0,+\infty], se n è pari, o la funzione f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}, se n è dispari, definita da f(x)=\sqrt[n]{x} è continua.
\bullet La funzione f \colon[-1,1]\to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x) = \arcsin x per x \in [-1,1] è continua.
\bullet La funzione f \colon[-1,1]\to \left[0,\pi\right] definita da f(x) = \arccos x per x \in [-1,1] è continua.
\bullet La funzione f \colon \mathbb{R} \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x)=\arctan x per x \in \mathbb{R} è continua.

 
Il seguente risultato riassume i risultati sulla continuità delle varie operazioni sulle funzioni continue.

Proposizione 2.

Sia A \subseteq \mathbb{R}, e siano f,g \colon A \to \mathbb{R} due funzioni continue. Allora
\bullet La somma f + g e il prodotto f\cdot g sono funzioni continue.
\bullet Il quoziente \frac{f}{g} è continuo nell’insieme A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}.
\bullet Siano f\colon A \to \mathbb{R} e g\colon B \to \mathbb{R} funzioni tali che f(A) \subseteq B. Se f è continua in x_0\in A e g è continua in y_0 \coloneqq f(x_0)\in B, allora la funzione composta g \circ f è continua in x_0.
\bullet Siano f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} funzioni continue con f>0. Allora la funzione f^g è continua.

 

Testi degli esercizi

Esercizio 5  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Siano \alpha\in \mathbb{R} e f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} la funzione definita da

    \[f(x) \coloneqq \begin{cases} 			x^2-\alpha \quad & \text{se}\,\, x\le \frac{3}{2}\\ 			\sin(\pi x) \quad &\text{se}\,\, x>\frac{3}{2} . 		\end{cases}\]

Determinare il valore di \alpha\in \mathbb{R} tale che f verifichi le ipotesi del teorema di Weierstrass nell’intervallo [1,2] e determinarne i massimi e minimi assoluti.

 
Svolgimento.
Osserviamo che la funzione f è continua in [1,\frac{3}{2}) e in (\frac{3}{2},2] per le proposizioni 1 e 2.
Affinché f soddisfi le ipotesi del teorema di Weierstrass, vogliamo determinare il valore di \alpha \in \mathbb{R} affinché f sia continua in in x=\frac{3}{2}.

Osserviamo che che

    \[\begin{aligned} 	& \lim_{x \to \frac{3}{2}^+} f(x) =  \lim_{x \to \frac{3}{2}^+} \sin(\pi x) = -1,\\ 	& \lim_{x \to \frac{3}{2}^-} f(x) =  \lim_{x \to \frac{3}{2}^-} (x^2-\alpha) = \dfrac{9}{4}-\alpha. \end{aligned}\]

Affinché f sia continua, deve valere

    \[\dfrac{9}{4}-\alpha = -1 \Longleftrightarrow \alpha = \dfrac{9}{4}+1 \Longleftrightarrow \alpha = \dfrac{13}{4}.\]

Per tale valore di \alpha trovato valgono le ipotesi del teorema di Weierstrass, dunque f ammette massimo e minimo in [1,2]. Inoltre f\left(\frac{3}{2}\right)=-1.

Osserviamo che la funzione x \in [1,\frac{3}{2}]\longmapsto x^2-\frac{13}{4} è strettamente crescente in [1,\frac{3}{2}] e la funzione x \in (\frac{3}{2},2]\longmapsto \sin(\pi x) è strettamente crescente in (\frac{3}{2},2]. Poiché per la scelta di \alpha eseguita la funzione è continua, otteniamo che essa è strettamente crescente in [1,2]. Segue che f assumerà minimo in x=1 e massimo in x=2.
Si ha dunque

    \[\min f = f(1)=-\frac{9}{4},\qquad \max f=f(2)=0.\]

Riportiamo il grafico della funzione f in figura 4.
 

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Figura 4: rappresentazione della funzione dell’esercizio 5.

 
 

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