Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate 3

Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l'uso delle derivate

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In questa sezione sono richiamati brevemente i principali risultati teorici utilizzati nel corso della dispensa. Per le loro dimostrazioni e per ulteriori approfondimenti si rimanda alle dispense sulle funzioni continue.

Definzione 1 – Massimi e minimi assoluti.

Sia $f \colon A \subset\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione. $M\in \mathbb{R}$ si dice \text{massimo} di $f$ in $A$ se esiste $x_0\in A$ tale che

$f(x_0)= M \qquad \text{e} \qquad f(x)\le M \quad \forall x \in A.$

In tal caso scriviamo $M = \max_A f$ e $x_0$ si dice \textit{punto di massimo} per $f$ .

Analogamente, $m\in \mathbb{R}$ si dice \text{minimo} di $f$ in $A$ se esiste $x_0\in A$ tale che

$f(x_0)= m \qquad \text{e} \qquad f(x)\ge m \quad \forall x \in A.$

In tal caso scriviamo $m=\min_A f$ e $x_0$ si dice \textit{punto di minimo} per $f$ .

Un punto $x_0$ può non essere di massimo o di minimo assoluto per $f$ , ma può esserlo se restringiamo $f$ a un intorno di $x_0$ . Ciò produce le seguenti definizioni.

Definizione 2 – Massimi e minimi locali.

Sia $f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una funzione. $x_0\in A$ si dice \textit{punto di massimo locale} per $f$ se esiste $\delta >0$ tale che

$f(x) \le f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).$

Analogamente, $x_0\in A$ si dice \textit{punto di minimo locale} per $f$ se esiste $\delta >0$ tale che

$f(x) \ge f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).$

Teorema di Weierstrass.

Siano $a, b \in \mathbb{R}$ , con $a \leq b$ e sia $f\colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione continua. Allora $f$ ammette massimo e minimo assoluti in $[a,b]$ , ovvero esistono $x_m, \, x_M \in [a,b]$ tali che

$f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] .$

Il seguente risultato riassume i principali risultati sulla continuità delle funzioni elementari che vengono utilizzate negli esercizi.

Proposizione 1.

Valgono le seguenti proprietà:
$\bullet$ Ogni funzione polinomiale $P \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ è una funzione continua.
$\bullet$ La funzione $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x) = \sin x$ per $x \in \mathbb{R}$ è continua.
$\bullet$ La funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x) = \cos x$ per $x \in \mathbb{R}$ è continua.
$\bullet$ Sia $a > 0$ un numero reale. La funzione $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x) = a^x$ per $x \in \mathbb{R}$ è continua.
$\bullet$ Sia $a >0$ un numero reale. La funzione $f \colon (0,+\infty)\to \mathbb{R}$ definita da $f(x) = \log_a (x)$ per $x \in (0,+\infty)$ è continua.
$\bullet$ Sia $n \in \mathbb{N}$ . La funzione $f\colon [0,+\infty]\to [0,+\infty]$ , se $n$ è pari, o la funzione $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , se $n$ è dispari, definita da $f(x)=\sqrt[n]{x}$ è continua.
$\bullet$ La funzione $f \colon[-1,1]\to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ definita da $f(x) = \arcsin x$ per $x \in [-1,1]$ è continua.
$\bullet$ La funzione $f \colon[-1,1]\to \left[0,\pi\right]$ definita da $f(x) = \arccos x$ per $x \in [-1,1]$ è continua.
$\bullet$ La funzione $f \colon \mathbb{R} \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ definita da $f(x)=\arctan x$ per $x \in \mathbb{R}$ è continua.

Il seguente risultato riassume i risultati sulla continuità delle varie operazioni sulle funzioni continue.

Proposizione 2.

Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , e siano $f,g \colon A \to \mathbb{R}$ due funzioni continue. Allora
$\bullet$ La somma $f + g$ e il prodotto $f\cdot g$ sono funzioni continue.
$\bullet$ Il quoziente $\frac{f}{g}$ è continuo nell’insieme $A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}$ .
$\bullet$ Siano $f\colon A \to \mathbb{R}$ e $g\colon B \to \mathbb{R}$ funzioni tali che $f(A) \subseteq B$ . Se $f$ è continua in $x_0\in A$ e $g$ è continua in $y_0 \coloneqq f(x_0)\in B$ , allora la funzione composta $g \circ f$ è continua in $x_0$ .
$\bullet$ Siano $f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funzioni continue con $f>0$ . Allora la funzione $f^g$ è continua.

Testi degli esercizi

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ .

Siano $f,g \colon (0,+\infty) \to (0,+\infty)$ funzioni continue. La funzione composta $f\circ g\colon (0,+\infty) \to (0,+\infty)$ soddisfa le ipotesi del teorema di Weierstrass in ogni $[a,b] \subset (0,+\infty)$ ?

Svolgimento.
La risposta è affermativa. Infatti, la funzione $f \circ g : (0,+\infty)\to (0,+\infty)$ è continua per la proposizione 1 e quindi, se $[a,b]$ è chiuso e limitato, $f \circ g$ verifica le ipotesi del teorema di Weierstrass in tale intervallo.

Gianluca Ruggeri

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