Esercizi sull’uniforme continuità – volume 2

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Benvenuti nel secondo volume di esercizi svolti sull’uniforme continuità. Questo articolo, naturale prosecuzione di Esercizi sull’uniforme continuità – volume 1, consiste in 22 esercizi completamente risolti su questo argomento, per rafforzare ulteriormente la conoscenza acquisita nel primo volume.
La raccolta è quindi utile agli studenti dei corsi di Analisi Matematica 1 che desiderano affrontare problemi di natura teorica e pratica su questo importante argomento. Buona lettura!

Consigliamo le seguenti raccolte di problemi:

Segnaliamo inoltre il seguente materiale teorico, di cui si può trovare una lista dettagliata alla fine dell’articolo:

Autori e revisori dell’articolo: Esercizi svolti sull’uniforme continuità

Leggi...

Autori: Chiara Bellotti.

Revisori: Valerio Brunetti, Matteo Talluri.

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Testi degli esercizi

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Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Siano $f,g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ due funzioni uniformemente continue. Allora $f+g$ è necessariamente uniformemente continua?

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Svolgimento.

La risposta è affermativa.\Infatti, fissato $\epsilon>0$ , cerchiamo $\delta>0$ tale che per ogni $x,y\in\mathbb{R}$ , con $|x-y|<\delta$ , si abbia

$|f(x)+g(x)-f(y)-g(y)|<\epsilon.$

Essendo per ipotesi sia $f$ che $g$ uniformemente continue, esistono rispettivamente $\delta_{1}>0$ e $\delta_{2}>0$ tali che

$|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}\quad\text{se }|x-y|<\delta_{1},$

$|g(x)-g(y)|<\frac{\epsilon}{2}\quad\text{se }|x-y|<\delta_{2}.$

Scegliendo

$\delta<\min\{\delta_{1},\delta_{2}\},$

si ottiene, per la disuguaglianza triangolare, che

$|f(x)+g(x)-f(y)-g(y)|\leq|f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.$

Possiamo quindi concludere che $f+g$ è uniformemente continua.

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Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Siano $f,g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ due funzioni uniformemente continue. Allora $fg$ è necessariamente uniformemente continua?

$\,$

Svolgimento.

La risposta è negativa.Vediamo un controesempio. Consideriamo le funzioni

$f(x)=g(x)=x.$

Osserviamo che $f,g$ sono uniformemente continue su $\mathbb{R}$ , ma $(f\cdot g)(x)=x^{2}$ non è uniformemente continua su $\mathbb{R}$ . Infatti, prese due successioni

$x_{n}=n,\quad y_{n}=n+\frac{1}{n},$

si ha

$|x_{n}-y_{n}|=\frac{1}{n}$

$\left|x_n^2-y_n^2\right|=\left|\left(x_n-y _n\right)\left(x_n+y_n\right)\right|=\frac{1}{n}\left(2 n+\frac{1}{n}\right)=2+\frac{1}{n^2}>2.$

Facendo il limite per $n\rightarrow +\infty$ vediamo che $|x_{n}-y_{n}| \to 0$ mentre $\left|x_n^2-y_n^2\right| \not\to 0$ , dunque si può concludere che $fg$ non è uniformemente continua.

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Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Siano $f,g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ due funzioni uniformemente continue. Allora $f\circ g$ è necessariamente uniformemente continua?

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Svolgimento.

La risposta è affermativa. Vogliamo dimostrare che per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che

$|x-y|<\delta \Rightarrow|f(g(x))-f(g(y))|<\epsilon.$

Per ipotesi sappiamo che $f$ è uniformemente continua, quindi esiste $\delta_{f}>0$ tale che

$|x-y|<\delta_{f} \Rightarrow|f(x)-f(y)|<\epsilon.$

Analogamente, essendo $g$ uniformemente continua per ipotesi, esiste $\delta_{g}>0$ tale che

$|x-y|<\delta_{g} \Rightarrow|g(x)-g(y)|<\delta_{f}.$

Sfruttando quanto appena visto si ottiene che

$|x-y|<\delta_{g} \Rightarrow|f(g(x))-f(g(y))|<\epsilon.$

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Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Siano $f,g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ due funzioni uniformemente continue e limitate. Allora $fg$ è necessariamente uniformemente continua?

$\,$

Svolgimento.

La risposta è affermativa.Infatti, sia $M>0$ tale che

$\sup_{x}|f(x)|\leq M,$

$\sup_{x}|g(x)|\leq M.$

Tale $M$ esiste in quanto $f$ e $g$ sono limitate per ipotesi. Fissiamo poi $\epsilon>0$ . Per uniforme continuità di $f$ e $g$ esistono rispettivamente $\delta_{1}>0$ e $\delta_{2}>0$ tali che

$|x-y|<\delta_{1} \Rightarrow|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2M},$

$|x-y|<\delta_{2} \Rightarrow|g(x)-g(y)|<\frac{\epsilon}{2M}.$

Prendiamo ora $0<\delta<\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}$ . Per la disuguaglianza triangolare si ha che

$|f(x) g(x)-f(y) g(y)| \leq|f(x) g(x)-f(x) g(y)|+|f(x) g(y)-f(y) g(y)|,$

da cui segue che

$|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x) g(x)-f(y) g(y)|\leq M\cdot|g(x)-g(y)|+M\cdot|f(x)-f(y)|<M\cdot \frac{\epsilon}{2M}+M\cdot \frac{\epsilon}{2M}=\epsilon.$

Abbiamo quindi mostrato che $fg$ è uniformemente continua.

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Esercizio 5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Siano $A, B \subset \mathbb{R}$ con $B \subset A$ e sia $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ uniformemente continua in $A$ . Allora $f$ è anche uniformemente continua in B?

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Svolgimento.

La risposta è affermativa.Basta semplicemente osservare che il problema chiede l’uniformemente continuità su un sottoinsieme $B$ dell’insieme $A$ sui cui $f$ è definita ed è uniformemente continua per ipotesi. Più precisamente, sappiamo che $f$ è uniformemente continua su $A$ , quindi per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che

$|x-y|<\delta,\quad x,y\in A \text{ (in particolare $x,y\in B$) }\Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\delta,$

da cui $f$ è uniformemente continua su $B\subset A.$

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Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ uniformemente continua e invertibile. Allora necessariamente anche la sua inversa è uniformemente continua?

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Svolgimento.

La risposta è negativa.Troviamo un controesempio. Consideriamo la funzione

$f(x)=\arctan(x).$

Essa è lipschitziana in quanto la sua derivata è limitata, quindi uniformemente continua.Tuttavia, la sua inversa

$\begin{align*} f^{-1}:\ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\ &\longrightarrow \mathbb{R} \\ \ x\ &\longrightarrow\ \tan(x) \end{align*}$

non è uniformemente continua. Infatti, se lo fosse, essa si estenderebbe alla chiusura di $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ in modo continuo, ma questo non è possibile perchè, ad esempio,

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}}\tan(x)=+\infty.$

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Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Siano $A, B \subset \mathbb{R}$ e $f: A \cup B \rightarrow \mathbb{R}$ uniformemente continua in $A$ e in $B$ . Allora necessariamente $f$ è uniformemente continua anche in $A\cup B$ ?

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Svolgimento.

La risposta è negativa.Vediamo un controesempio. Consideriamo gli insiemi $A=\{x>0\}$ e $B=\{x<0\}$ e prendiamo la funzione definita su $A\cup B=\mathbb{R}\backslash\{0\}$ come

$f(x)=\left\{\begin{array}{cc} 1 \quad\text { se } x\in A \\ \\ -1 \quad\text { se } x\in B. \end{array}\right.$

Si vede immediatamente che $f$ è uniformemente continua su $A$ e su $B$ . Se $f$ fosse uniformemente continua su $A\cup B$ , allora si estenderebbe in modo continuo su tutto $\mathbb{R}$ , ma ciò non è possibile in quanto $f(x)$ vale $1$ per gli $x>0$ , mentre vale $-1$ per gli $x<0$ , quindi non è possibile prolungare $f$ in modo continuo in $x=0$ .

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Siano $A, B \subset \mathbb{R}$ due intervalli non disgiunti e sia $f: A \cup B \rightarrow \mathbb{R}$ uniformemente continua in $A$ e in $B$ . Allora necessariamente $f$ è uniformemente continua anche su $A\cup B$ ?

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Svolgimento.

La risposta è affermativa.Consideriamo due intervalli non disgiunti $A=[a,b]$ e $B=[b,c]$ . Dobbiamo mostrare che per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che

$|x-y|<\delta\Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon.$

Per ipotesi sappiamo che $f$ è uniformemente continua su $A$ e $B$ , quindi esistono rispettivamente $\delta_{1}>0$ e $\delta_{2}>0$ tali che

$|x-y|<\delta_{1},\ x,y\in A=[a,b] \Rightarrow|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}$

$|x-y|<\delta_{2},\ x,y\in B=[b,c] \Rightarrow|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}.$

Sia ora $0<\delta<\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}$ e $x,y\in A\cup B=[a,b]\cup [b,c]$ tali che $|x-y|<\delta$ . Supponiamo senza perdita di generalità che $x<y$ . Abbiamo tre casi:

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se $x,y\in A=[a,b]$ allora $|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$ ;
se $x,y\in B=[b,c]$ allora $|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$ ;
se $x\in A=[a,b]$ e $y\in B=[b,c]$ allora
$|x-y|<\delta\Longrightarrow |x-b|<\delta,\quad |y-b|<\delta,$

da cui, per la disuguaglianza triangolare, si ha che

$|f(x)-f(y)|\leq |f(x)-f(b)|+|f(b)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.$

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Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ continua e dotata di asintoti orizzontali per $x\rightarrow \pm\infty.$ Allora necessariamente $f$ è uniformemente continua?

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Svolgimento.

La risposta è affermativa. Per mostrarlo, scriviamo

$\mathbb{R}=(-\infty,a]\cup[a,+\infty).$

Per l’esercizio 8 basta mostrare che $f$ è uniformemente continua sia su $(-\infty,a]$ , sia su $[a,+\infty)$ . Fissiamo $\epsilon>0$ . Per definizione di limite, detto $l$ il limite per $x\rightarrow +\infty$ , si ha che

$|f(x)-l|<\frac{\epsilon}{2}$

per ogni $x\geq A$ , dove $A$ è un numero opportuno.Per Heine-Cantor, $f$ è uniformemente continua su $[a,A+1]$ , quindi esiste $\delta>0$ tale che

$|x-y|<\delta,\ x,y\in[a,A+1]\Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon.$

Sia poi $\hat{\delta}=\min\{\delta,1\}$ . Vediamo che $\hat{\delta}$ funziona. Siano $x,y$ tali che $|x-y|<\hat{\delta}$ :

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se $x,y\in [a,A+1]$ allora si conclude per uniforme continuità di $f$ in $[a,A+1]$ ;
se $x,y\in [A,+\infty)$ allora per la disuguaglianza triangolare si ha che
$|f(x)-f(y)|\leq |f(x)-l|+|f(y)-l|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon;$
osserviamo che, per come è stato definito $\hat{\delta}$ , non può mai succedere che $x\leq A$ e $y>A+1$ .

Abbiamo quindi dimostrato che $f$ è uniformemente continua su $[a,+\infty).$ Analogamente si dimostra che $f$ è uniformemente continua su $(-\infty,a]$ .

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Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ continua e dotata di asintoti obliqui per $x\rightarrow \pm\infty.$ Allora necessariamente $f$ è uniformemente continua?

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Svolgimento.

La risposta è affermativa. Per lo stesso motivo dell’esercizio 9, basta mostrare che $f$ è uniformemente continua su $[a,+\infty).$ Siccome per ipotesi $f$ ha un asintoto obliquo allora esistono $m, q\in\mathbb{R}$ tali che

$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)-mx-q=0.$

Ma allora

$f(x)=f(x)-mx-q+mx+q.$

Siccome la funzione $x\rightarrow mx+q$ è uniformemente continua (basta usare la definizione) e la funzione $f(x)-mx-q$ è uniformemente continua per l’esercizio 9, segue che $f$ è uniformemente continua in quanto somma di funzioni uniformemente continue (questo vale per l’esercizio 1).

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Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dire se la funzione

$f(x)=\frac{1}{x}$

è uniformemente continua sui seguenti insiemi:

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$A=[1,2]$ ;

$B=\mathbb{R}\backslash\{0\}$ ;

$C=[2,+\infty)$ .

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Svolgimento punto 1.

Consideriamo separatamente i tre insiemi.

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La funzione $f$ è continua su $A=[1,2]$ che è un compatto di $\mathbb{R}$ , in quanto chiuso e limitato. Per Heine-Cantor segue che $f$ è uniformemente su $A$ .

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Svolgimento punto 2.

Ricordiamo che una funzione uniformemente continua su un insieme $D$ si estende ad una funzione continua sulla chiusura $\overline{D}$ . Supponiamo per assurdo che $f$ sia uniformemente continua su $B=\mathbb{R}\backslash\{0\}.$ Allora $f$ si estenderebbe in modo continuo ad una funzione $g$ su tutto $\mathbb{R}$ . tuttavia

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty.$

Segue che $f$ non è uniformemente continua su $B$ .

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Svolgimento punto 3.

Ricordiamo che una funzione $f$ lipschitziana su $D$ è anche uniformemente continua su $D$ . Consideriamo ora la derivata prima di $f$ , ovvero

$f^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}}.$

Siccome

$\sup_{x\in C}|f^{\prime}(x)|=\sup_{x\geq 2}\left\vert-\frac{1}{x^{2}}\right\vert=\frac{1}{4},$

segue che $f$ è lipschitziana su $C$ , quindi uniformemente continua su $C$ .>

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Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dire se la funzione

$f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)$

è uniformemente continua sui seguenti insiemi:

$\,$

$A=[1,2]$ ;

$B=\mathbb{R}\backslash\{0\}$ ;

$C=[2,+\infty)$ .

$\,$

Svolgimento punto 1.

Consideriamo separatamente i tre insiemi.

$\,$

funzione $f$ è continua su $A=[1,2]$ che è compatto, quindi per Heine-Cantor $f$ è uniformemente continua su $A$ .

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Svolgimento punto 2.

Supponiamo per assurdo che $f$ sia uniformemente continua su $B=\mathbb{R}\backslash\{0\}$ . Allora, per quanto detto prima, $f$ si estenderebbe ad una funzione continua sulla chiusura di $B$ , ovvero su $\mathbb{R}$ . Tuttavia

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{t\rightarrow +\infty}\sin t$

non esiste. Segue che $f$ non è uniformemente continua su $B$ .

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Svolgimento punto 3.

La derivata di $f$ è

$f^{\prime}(x)=\frac{-\cos \left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}.$

Inoltre

$\sup_{x\in C}|f^{\prime}(x)|=\sup_{x\geq 2}\left\vert \frac{-\cos \left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}\right\vert\leq \frac{1}{4},$

quindi $f$ è lipschitziana su $C$ e dunque è uniformemente continua su $C$ .

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Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dire se la funzione

$f(x)=\log x$

è uniformemente continua sui seguenti insiemi:

$\,$

$A=[1,2]$ ;

$B=(0,1]$ ;

$C=[2,+\infty)$ .

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Svolgimento punto 1.

Consideriamo separatamente i tre insiemi.

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La funzione $f$ è continua su $A=[1,2]$ che è compatto, quindi ancora una volta possiamo usare Heine-Cantor per concludere che $f$ è uniformemente continua su $A$ .

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Svolgimento punto 2.

Supponiamo per assurdo che $f$ sia uniformemente continua su $B=(0,1]$ . Allora $f$ si può estendere in modo continuo sulla chiusura $[0,1]$ . Tuttavia

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=-\infty.$

Segue che $f$ non è uniformemente continua su $B$ .

$\,$

Svolgimento punto 3.

La derivata prima di $f$ è

$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}.$

Siccome

$\sup_{x\in C}|f^{\prime}(x)|=\sup_{x\geq 2}\left\vert\frac{1}{x}\right\vert= \frac{1}{2},$

segue che $f$ è lipschitziana su $C$ , quindi uniformemente continua su $C$ .

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Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dire se la funzione

$f(x)=\sqrt{ x}$

è uniformemente continua sui seguenti insiemi:

$\,$

$A=[0,1]$ ;

$B=[1,+\infty)$ ;

$C=[0,+\infty)$ .

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Svolgimento punto 1.

Consideriamo separatamente i tre insiemi.

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La funzione $f$ è continua su $A=[0,1]$ , quindi uniformemente continua su $A$ per Heine-Cantor.

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Svolgimento punto 2.

La derivata prima di $f$ è

$f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},$

quindi

$\sup_{x\in B}|f^{\prime}(x)|=\sup_{x\geq 1}|f^{\prime}(x)|=\frac{1}{2}.$

Segue che $f$ è lipschitziana su $B$ , quindi uniformemente continua su $B$ .

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Svolgimento punto 3.

Per l’esercizio 8, essendo $f$ uniformemente continua su $A$ e su $B$ ed essendo $A$ e $B$ non disgiunti, segue che $f$ è uniformemente continua su $A\cup B=C$ .

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Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dire se la funzione

$f(x)=\sin x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right)$

è uniformemente continua sui seguenti insiemi:

$\,$

$A=(0,1]$ ;

$B=[1,+\infty)$ ;

$C=\mathbb{R}\backslash\{0\}$ .

$\,$

Svolgimento punto 1.

Consideriamo separatamente i tre insiemi.

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Osserviamo che, siccome

$|f(x)| \leq |x|,$

per il teorema del doppio confronto

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=0.$

Quindi è possibile estendere $f$ a una funzione continua $\Tilde{f}$ su $[0,1]$ tale che $\Tilde{f}(0)=0$ e $\Tilde{f}_{|(0,1]}=f$ .La funzione $\Tilde{f}$ è uniformemente continua sul compatto $[0,1]$ per Heine-Cantor, quindi in particolare lo è sul sottoinsieme $(0,1]$ per l’esercizio 5. Tuttavia, $\Tilde{f}=f$ su $(0,1]$ , quindi $f$ è uniformemente continua su $A=(0,1].$

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Svolgimento punto 2.

La derivata prima di $f$ è

$f^{\prime}(x)=\cos x \sin \left(\frac{1}{x}\right)-\frac{\sin x \cos \left(\frac{1}{x}\right)}{x^2},$

quindi

$\sup_{x\in B}|f^{\prime}(x)|=\sup_{x\geq 1}|f^{\prime}(x)|\leq 2$

in quanto, per la disuguaglianza triangolare,

$\left|\cos x \sin \left(\frac{1}{x}\right)-\frac{\sin x \cos \left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}\right|\leq \left|\cos x \sin \left(\frac{1}{x}\right)\right|+\left|\frac{\sin x \cos \left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}\right|\leq 1+\frac{1}{1}=2$

per ogni $x\geq 1$ . Segue che $f$ è lipschitziana su $B$ , quindi uniformemente continua su $B$ .

$\,$

Svolgimento punto 3.

Per l’esercizio 8, essendo $f$ uniformemente continua sia su $A$ , sia su $B$ , ed essendo $A$ e $B$ non disgiunti, allora $f$ è uniformemente continua su $A\cup B=(0,+\infty)$ . Inoltre, essendo $f$ una funzione pari, possiamo concludere che $f$ è uniformemente continua su $C=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

$\,$

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dire se la funzione

$f(x)=\sin x$

è uniformemente continua sui seguenti insiemi:

$\,$

$A=[0,2\pi]$ ;

$B=\mathbb{R}$ .

$\,$

Svolgimento punto 1.

Consideriamo separatamente i due insiemi.

$\,$

La derivata prima di $f$ è

$f^{\prime}(x)=\cos x,$

quindi

$\sup_{x\in A}|f^{\prime}(x)|=\sup_{x\in [0,2\pi]}|f^{\prime}(x)|\leq 1.$

Segue che $f$ è lipschitziana su $A$ , quindi uniformemente continua su $A$ (equivalentemente, si poteva osservare che il seno è limitato).

$\,$

Svolgimento punto 2.

Siccome vale anche

$\sup_{x\in B}|f^{\prime}(x)|=\sup_{x\in \mathbb{R}}|f^{\prime}(x)|\leq 1,$

segue che $f$ è lipschitziana su $B$ , quindi uniformemente continua su $B$ .

$\,$

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dire se la funzione

$f(x)=e^{x}$

è uniformemente continua sui seguenti insiemi:

$\,$

$A=[0,1]$ ;

$B=(-\infty,0]$ ;

$C=\mathbb{R}$ .

$\,$

Svolgimento punto 1.

Consideriamo separatamente i tre insiemi.

$\,$

$f$ è continua sul compatto $A=[0,1]$ , quindi uniformemente continua su $A$ per Heine-Cantor.

$\,$

Svolgimento punto 2.

Osserviamo che

$\lim_{x\rightarrow -\infty}e^{x}=0,$

quindi per l’esercizio 9 si ha che $f$ è uniformemente continua su $B=(-\infty,0]$ .

$\,$

Svolgimento punto 3.

Per le proprietà delle funzioni uniformemente continue, se $f$ fosse uniformemente continua su $\mathbb{R}$ allora sarebbe sublineare. Tuttavia, si ha

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^{x}}{x}=+\infty,$

da cui segue che $f$ non è sublineare su $C$ , quindi non è uniformemente continua su $C$ .

$\,$

Esercizio 18 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dire se la funzione

$f(x)=\arctan\left(\frac{1}{x}\right)$

è uniformemente continua sui seguenti insiemi:

$\,$

$A=[1,+\infty)$ ;

$B=(0,+\infty)$ ;

$C=\mathbb{R}-\{0\}$ .

$\,$

Svolgimento punto 1.

Consideriamo separatamente i tre insiemi.

$\,$

Osserviamo che

$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0,$

quindi $f$ è uniformemente continua su $A=[1,+\infty)$ per l’esercizio 9.

$\,$

Svolgimento punto 2.

Siccome

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\frac{\pi}{2},$

allora $f$ può essere estesa ad una funzione continua

$\Tilde{f}:[0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}.$

Essendo

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\Tilde{f}(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0,$

segue che $\Tilde{f}$ è uniformemente continua su $[0,+\infty)$ per l’esercizio 9, quindi anche sul sottoinsieme $B=(0,+\infty)$ . Ma allora, essendo $\Tilde{f}_{|B}=f$ , anche $f$ è uniformemente continua su $B$ .

$\,$

Svolgimento punto 3.

Se $f$ fosse uniformemente continua su $C=\mathbb{R}-\{0\}$ allora si estenderebbe con continuità su tutto $\mathbb{R}$ . Tuttavia ciò non è possibile in quanto

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\frac{\pi}{2}$

mentre

$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=-\frac{\pi}{2}.$

Segue che $f$ non è uniformemente continua su $C$ .

$\,$

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Dire se la funzione

$f(x)=\sin(x^{2})$

è uniformemente continua sui seguenti insiemi:

$\,$

$A=[0,1]$ ;

$B=[0,+\infty)$ .

$\,$

Svolgimento punto 1.

Consideriamo separatamente i due insiemi.

$\,$

$f$ è continua sul compatto $A=[0,1]$ , quindi anche uniformemente continua su $A$ per Heine-Cantor.

$\,$

Svolgimento punto 2.

$f$ non è uniformemente continua su $B=[0,+\infty)$ . Infatti, consideriamo, per ogni $k\in\mathbb{N}-\{0\},$

$x_k=\sqrt{\frac{\pi}{2}+2 k \pi},$

$y_k=\sqrt{-\frac{\pi}{2}+2 k \pi}.$

Allora

$\sin \left(x_k^2\right)-\sin \left(y_k^2\right)=2$

mentre

$\begin{split} x_k-y_k &= \sqrt{2 k \pi}\left(\sqrt{1+\frac{1}{4 k}}-\sqrt{1-\frac{1}{4 k}}\right)= \\ &= \sqrt{2 k \pi}\left(1+\frac{1}{8 k}-1+\frac{1}{8 k}+o\left(\frac{1}{k}\right)\right)= \\ &= \sqrt{\frac{\pi}{8 k}}(1+o(1)) \longrightarrow 0 \end{split}$

per $x\rightarrow +\infty$ .

$\,$

Esercizio 20 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dire se la funzione

$f(x)=\frac{\sin \left(e^{x^2}\right)}{1+x^2}$

è uniformemente continua sui seguenti insiemi:

$\,$

$A=[-1,1]$ ;

$B=\mathbb{R}$ .

$\,$

Svolgimento punto 1.

Consideriamo separatamente i due insiemi.

$\,$

$f$ è continua su $A=[-1,1]$ che è compatto, quindi $f$ è uniformemente continua su $A$ per Heine-Cantor.

$\,$

Svolgimento punto 2.

Osserviamo che $f$ è continua su $\mathbb{R}$ e

$\lim_{x\rightarrow \pm\infty}f(x)=0,$

quindi per l’esercizio 9 $f$ è uniformemente continua su $B=\mathbb{R}$ .

$\,$

Esercizio 21 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dire se la funzione

$f(x)=(\lfloor x\rfloor)^2$

è uniformemente continua su

$A=\bigcup_{n \in \mathbb{N}}[2 n, 2 n+1).$

$\,$

Svolgimento.

Verifichiamo che sia soddisfatta la definizione di uniforme continuità. Vogliamo mostrare che per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che

$|x-y|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon.$

Sia $\delta=\frac{1}{2}.$ Allora se $|x-y|<\delta$ esiste unico $n\in\mathbb{N}$ tale che $x,y\in [2n,2n+1)$ . Tuttavia in questo intervallo $f$ è costante, quindi $|f(x)-f(y)|=0$ . Segue che $f$ è uniformemente continua su $A$ .

$\,$

Esercizio 22 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dire se la funzione

$f(x)=(\lfloor x\rfloor)^2$

è uniformemente continua su $\mathbb{R}$ .

$\,$

Svolgimento.

La funzione $f$ non è sublineare ma nemmeno continua su $\mathbb{R}$ , quindi a fortiori non è uniformemente continua su $\mathbb{R}$ .

Tutta la teoria di analisi matematica

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Tutte le cartelle di Analisi Matematica

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Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

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