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Esercizi sulla verifica dei limiti 8

Verifica del limite in funzioni

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.

Definizione 1 (limiti di funzioni) 
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(1)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui x_0 \in \mathbb{R}, x_0 = -\infty, x_0=+\infty e \ell \in \mathbb{R}, \ell = -\infty, \ell=+\infty.

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 8  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1+e^x} = 0. \end{equation*}

 

Svolgimento 1.

Occorre verificare che valga la condizione 7 della tabella 1 con \ell=0. Fissiamo dunque \varepsilon>0. Dal punto 2 dell’esercizio 5 esiste H \in \mathbb{R} tale che

(3)   \begin{equation*} e^x > \frac{1}{\varepsilon} \qquad \forall x > H. \end{equation*}

Dal fatto che e^x>0 per ogni x \in \mathbb{R} e passando ai reciproci in (3), si ha

(4)   \begin{equation*} 0 < \frac{1}{1+e^x} < \frac{1}{e^x} < \varepsilon \qquad \forall x > H, \end{equation*}

che è quanto volevamo provare.

Mostriamo ora un ulteriore svolgimento che si basa, però, sull’esistenza della funzione logaritmo, che nell’osservazione dell’esercizio 6 abbiamo visto essere conseguenza dei risultati dell’esercizio 5. Quindi anche questo secondo svolgimento utilizza, in maniera più nascosta e indiretta, le conclusioni dell’esercizio 5.

 

Svolgimento 2.

Si fissi \varepsilon>0 e, in virtù dell’osservazione 1 dei richiami di teoria si può scegliere \varepsilon \in (0,1). Si ha

(5)   \begin{equation*} \left | f(x) - 0 \right |< \varepsilon \iff \frac{1}{1+e^x} < \varepsilon \iff e^x > \frac{1}{\varepsilon} - 1 \iff x > \log \left ( \frac{1}{\varepsilon} - 1 \right ), \end{equation*}

dove la prima equivalenza segue dal fatto che f(x)>0 e quindi chiaramente f(x)> -\varepsilon per ogni x \in \mathbb{R}, mentre l’ultima equivalenza è conseguenza della scelta \varepsilon \in (0,1), da cui \frac{1}{\varepsilon} - 1>0. Scegliendo H=\log \left ( \frac{1}{\varepsilon} - 1 \right ), da (5) si ottiene

(6)   \begin{equation*} x> H \implies |f(x)|< \varepsilon, \end{equation*}

ossia la conclusione.

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