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Esercizi sulla verifica dei limiti 5

Verifica del limite in funzioni

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.

Definizione 1 (limiti di funzioni) 
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(1)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui x_0 \in \mathbb{R}, x_0 = -\infty, x_0=+\infty e \ell \in \mathbb{R}, \ell = -\infty, \ell=+\infty.

Dimostriamo ora un lemma utile alla risoluzione dell’esercizio presentato.

Lemma 1 
Sia M>1 e sia \eta >0. Allora esiste n \in \mathbb{N} per cui valga

(3)   \begin{equation*} M < (1+\eta)^n. \end{equation*}

Inoltre, se \eta \in (0,1), allora vale anche

(4)   \begin{equation*} (1-\eta)^n < \frac{1}{M}. \end{equation*}

Dimostrazione. La tesi seguirebbe immediatamente utilizzando i noti limiti delle progressioni geometriche. Ne diamo però una dimostrazione autocontenuta.
Per la disuguaglianza di Bernoulli

(5)   \begin{equation*} (1+nx) \leq (1+x)^n \qquad \forall x >-1,\qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}

si ha

(6)   \begin{equation*} (1+n\eta) \leq (1+\eta)^n \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}

Poiché 1+n\eta>M è equivalente a n > \frac{M-1}{\eta} e poiché \mathbb{N} è illimitato superiormente, esiste n \in \mathbb{N} soddisfacente n > \frac{M-1}{\eta}. Da (6) segue quindi che n soddisfa (3). Assumiamo ora che \eta \in (0,1) e osserviamo che

(7)   \begin{equation*} 1>1-\eta^2=(1-\eta)(1+\eta) \implies 0 <1-\eta < \frac{1}{1+\eta}. \end{equation*}

Da ciò e da (3), passando ai reciproci, segue che

(8)   \begin{equation*} 0< (1-\eta)^n < \frac{1}{(1+\eta)^n} < \frac{1}{M}, \end{equation*}

ovvero (4).

Testo dell’esercizio

Esercizio 5 (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar).

Sia a>1. Si provino i seguenti limiti applicando la definizione:

  1. \displaystyle \lim_{x \to 0} a^x = 1;
  2. \displaystyle \lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty;
  3. \displaystyle \lim_{x \to -\infty} a^x = 0.

Cosa si può dire invece nel caso a \in (0,1)?

 

Svolgimento.
Proviamo separatamente i diversi punti.

  1. Dobbiamo verificare che vale la prima condizione nella tabella 1 con x_0=0 e \ell=1. Fissiamo dunque \varepsilon>0; per l’osservazione osservazione 1 dei richiami di teoria, possiamo limitarci a considerare il caso \varepsilon \in (0,1). Dal lemma 1 applicato con M=a e \eta=\varepsilon, esiste n \in \mathbb{N} tale che

    (9)   \begin{equation*} 0<(1-\varepsilon)^n<a^{-1} \iff 1-\varepsilon < a^{-\frac{1}{n}} < a^{\frac{1}{n}} < 1+\varepsilon. \end{equation*}

    Da ciò e dalla monotonia della funzione esponenziale segue la disuguaglianza (rappresentata in figura 5a)

    (10)   \begin{equation*} 1-\varepsilon < a^{-\frac{1}{n}} < a^x< a^{\frac{1}{n}} < 1+\varepsilon \qquad \forall x \in \left(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right), \end{equation*}

    da cui otteniamo la tesi.

    Figura 5a: rappresentazione del punto 1 dell’esercizio 5. In blu è rappresentato il grafico della funzione esponenziale, in rosso è rappresentato l’intorno (1-\varepsilon,1+\varepsilon) di \ell=1 e in verde è rappresentato l’intorno \left(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right) di x_0=0.

     

  2. Fissiamo M \in \mathbb{R}; occorre esibire H soddisfacente la condizione del caso 9 della tabella 1. Per l’osservazione 1 dei richiami di teoria,, possiamo assumere M>1. Dal lemma 1 applicato a M=M e \eta=a-1, esiste n \in \mathbb{N} con la proprietà che

    (11)   \begin{equation*} a^n=(1+(a-1))^n>M. \end{equation*}

    Per la monotonia della funzione esponenziale, vale dunque

    (12)   \begin{equation*} a^x > M \qquad \forall x \geq n, \end{equation*}

    ossia quanto si voleva provare, scegliendo H=n.

  3. Siamo nel caso 4 della tabella 1 con \ell=0. Fissiamo dunque \varepsilon>0; vogliamo esibire H \in \mathbb{R} tale che

    (13)   \begin{equation*} |a^x -\ell|= a^x < \varepsilon \qquad \forall x \leq H, \end{equation*}

    dove abbiamo usato il fatto che a^x>0 per ogni x \in \mathbb{R}. Dal punto 2, sappiamo che esiste H \in \mathbb{R} tale che

    (14)   \begin{equation*} a^x > \frac{1}{\varepsilon} \qquad \forall x \geq H. \end{equation*}

    Passando ai reciproci, si ha dunque

    (15)   \begin{equation*} a^{-x} < \varepsilon \quad \forall x \geq H \quad \iff \quad a^{x} < \varepsilon \quad \forall x \leq -H, \end{equation*}

    cioè quanto volevamo dimostrare, a meno di sostituire H con -H.

Rispondiamo ora all’ultima domanda dell’esercizio. Se a \in (0,1), la questione può essere studiata con argomenti del tutto analoghi oppure riconducendosi al caso precedentemente trattato: infatti vale a^x= \frac{1}{a^{-x}} e \frac{1}{a}>0. In definitiva si ha

(16)   \begin{equation*} \lim_{x \to 0} a^x = 1, \qquad \lim_{x \to + \infty} a^x = 0, \qquad \lim_{x \to - \infty} a^x = +\infty. \end{equation*}

Osservazione. Il lettore potrebbe pensare di evitare l’uso del lemma 1 e invece risolvere l’esercizio utilizzando i logaritmi. Tale procedura non sarebbe però corretta: si veda l’osservazione relativa all’esercizio 6 al riguardo.

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