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Esercizi sulla verifica dei limiti 21

Verifica del limite in funzioni

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.

Definizione 1 (limiti di funzioni) 
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(1)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui x_0 \in \mathbb{R}, x_0 = -\infty, x_0=+\infty e \ell \in \mathbb{R}, \ell = -\infty, \ell=+\infty.

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 21  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x\to+\infty} \left (\sqrt{-1+x^2}-x \right )=0. \end{equation*}

 

Svolgimento .
Siamo nel caso 7 della tabella 1 con \ell=0 e f \colon (-\infty,-1] \cup [1,+\infty) \to \mathbb{R} definita da

(3)   \begin{equation*} f(x)=\sqrt{x^2-1}-x \qquad \forall |x| \geq 1, \end{equation*}

il cui grafico per x \geq 1 è rappresentato in figura 21

Figura 21: illustrazione dell’esercizio 21. Si nota che, se x > \frac{1}{\varepsilon}, allora |f(x)|< \varepsilon.

Il dominio di f è illimitato superiormente, dunque +\infty è di accumulazione per esso ed è significativo calcolare il limite di f per x \to +\infty. Per tale ragione, in tutto ciò che segue considereremo sempre x\geq 1. Fissando \varepsilon>0 si ha

(4)   \begin{equation*} |f(x)-\ell|< \varepsilon \iff \left | \sqrt{x^2-1}-x\right | < \varepsilon \iff x - \sqrt{x^2-1} < \varepsilon \iff \frac{1}{\varepsilon}< x + \sqrt{x^2-1}, %\impliedby %2x> \frac{1}{2\varepsilon}, \end{equation*}

dove nella seconda equivalenza si è usato

(5)   \begin{equation*} x = \sqrt{x^2}> \sqrt{x^2-1}>0 \qquad \forall x \geq 1, \end{equation*}

mentre nell’ultima equivalenza abbiamo moltiplicato entrambi i membri per \frac{x+\sqrt{x^2-1} }{\varepsilon} e utilizzato il prodotto notevole (a-b)(a+b)=a^2-b^2.

Poiché \sqrt{x^2-1}>0, si ha x + \sqrt{x^2-1}>x e quindi, dall’ultima disuguaglianza in (4) si deduce che

(6)   \begin{equation*} x > \frac{1}{\varepsilon} \eqqcolon H \implies x + \sqrt{x^2-1} > \frac{1}{\varepsilon} \implies |f(x)|< \varepsilon, \end{equation*}

che è quanto si voleva provare.

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