Sia
![Rendered by QuickLaTeX.com A \subseteq \mathbb{R}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1977f65b60ff7f8193af26b8e6854e67_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_0 \in \overline{\mathbb{R}}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-744227df80cd6a8f53555bedf67d6457_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com A](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eff0cb8a66196013088fda03a43ee0b3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f \colon A \to \mathbb{R}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-083eb428536fa0f27002359b923a248a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \ell \in \overline{\mathbb{R}}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bc259eccd6cc5ea92816d6a733755ab2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \ell](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d564527e33464a94428f007ef5c24911_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-769def825c7d8baf80bba500ff786d4b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fa69be7539f00071c7f0a587a4296ece_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_0](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f085b7362b2d48f4abd9e2dd9798a6d1_l3.png)
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![Rendered by QuickLaTeX.com \ell](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d564527e33464a94428f007ef5c24911_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com U](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-37f7400fabac0dbaa1defc542644cddb_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_0](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f085b7362b2d48f4abd9e2dd9798a6d1_l3.png)
(1)
In tal caso si scrive
(2)
Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui ,
,
e
,
,
.
Testo dell’esercizio
![Rendered by QuickLaTeX.com (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47c5ad7bd42823dbf18c33db4aa83798_l3.png)
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:
Svolgimento .
Occorre verificare che valga la condizione al punto 6 della tabella 1, dove è definita da
(3)
Fissiamo dunque e, grazie all’osservazione 1 dei richiami di teoria,, possiamo limitarci a considerare il caso in cui
. Vale
(4)
dove nell’ultima implicazione non vale l’equivalenza in quanto stiamo trascurando le soluzioni positive della disequazione precedente, essendo interessati a determinare un intorno di
. Notiamo inoltre che l’estrazione della radice è possibile grazie alla scelta
. Scegliendo quindi
, si ha
(5)
ovvero quanto si voleva provare.