Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.
Sia , sia un punto di accumulazione per , sia una funzione e sia . Si dice che è il limite di per che tende a se, per ogni intorno di , esiste un intorno di tale che
(1)
In tal caso si scrive
(2)
Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui , , e , , .
Dimostriamo ora un lemma utile alla risoluzione dell’esercizio presentato.
Dimostrazione. La tesi seguirebbe immediatamente utilizzando i noti limiti delle progressioni geometriche. Ne diamo però una dimostrazione autocontenuta.
Per la disuguaglianza di Bernoulli
(5)
(6)
Poiché è equivalente a e poiché è illimitato superiormente, esiste soddisfacente . Da (6) segue quindi che soddisfa (3). Assumiamo ora che e osserviamo che
(7)
Da ciò e da (3), passando ai reciproci, segue che
(8)
ovvero (4).
Testo dell’esercizio
Sia . Si provino i seguenti limiti applicando la definizione:
- ;
- ;
- .
Cosa si può dire invece nel caso ?
Svolgimento.
Proviamo separatamente i diversi punti.
- Dobbiamo verificare che vale la prima condizione nella tabella 1 con e . Fissiamo dunque ; per l’osservazione osservazione 1 dei richiami di teoria, possiamo limitarci a considerare il caso . Dal lemma 1 applicato con e , esiste tale che
(9)
Da ciò e dalla monotonia della funzione esponenziale segue la disuguaglianza (rappresentata in figura 5a)
(10)
da cui otteniamo la tesi.
Figura 5a: rappresentazione del punto 1 dell’esercizio 5. In blu è rappresentato il grafico della funzione esponenziale, in rosso è rappresentato l’intorno di e in verde è rappresentato l’intorno di .
- Fissiamo ; occorre esibire soddisfacente la condizione del caso 9 della tabella 1. Per l’osservazione 1 dei richiami di teoria,, possiamo assumere . Dal lemma 1 applicato a e , esiste con la proprietà che
(11)
Per la monotonia della funzione esponenziale, vale dunque
(12)
ossia quanto si voleva provare, scegliendo .
- Siamo nel caso 4 della tabella 1 con . Fissiamo dunque ; vogliamo esibire tale che
(13)
dove abbiamo usato il fatto che per ogni . Dal punto 2, sappiamo che esiste tale che
(14)
Passando ai reciproci, si ha dunque
(15)
cioè quanto volevamo dimostrare, a meno di sostituire con .
Rispondiamo ora all’ultima domanda dell’esercizio. Se , la questione può essere studiata con argomenti del tutto analoghi oppure riconducendosi al caso precedentemente trattato: infatti vale e . In definitiva si ha
(16)
Osservazione. Il lettore potrebbe pensare di evitare l’uso del lemma 1 e invece risolvere l’esercizio utilizzando i logaritmi. Tale procedura non sarebbe però corretta: si veda l’osservazione relativa all’esercizio 6 al riguardo.