La Nascita dei Numeri Complessi: Dalla Risoluzione delle Equazioni Cubiche alle Applicazioni Moderne

Aneddoti e curiosità

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Un breve excursus storico sulla nascita dei numeri complessi. La nascita dei numeri complessi non è dovuta, come si potrebbe pensare, alla necessità di trovare soluzioni per l’equazione quadratica x^2 + 1 = 0. Infatti, gli algebristi del ‘500 sapevano bene che non c’erano soluzioni reali per tale equazione. Il problema nacque invece nel trovare una soluzione algebrica per l’equazione cubica x^3 = 3px + 2q con p\,\, \text{e}\,\,q numeri reali.

In questo caso, una soluzione reale doveva sempre esistere, ma ad esempio Bombelli scoprì che per l’equazione x^3 = 15x + 4 non era possibile trovare algebricamente la soluzione x = 4. Bombelli arrivò a trovare:

    \[ x = \left(2 + \sqrt{-11}\right)^{1/3} + \left(2 - \sqrt{-11}\right)^{1/3}. \]

A questo punto, era naturale porre:

    \[ \left(2 + \sqrt{-11}\right)^{1/3} = 2 + n\sqrt{-1} \quad \text{e} \quad \left(2 - \sqrt{-11}\right)^{1/3} = 2 - n\sqrt{-1} \,\,\text{(l'uovo di Colombo)}. \]

Affinché tutto ciò funzionasse, era necessario accettare le definizioni che tutti conosciamo della somma e del prodotto dei numeri complessi.

L’espressione “l’uovo di Colombo” si riferisce a una soluzione semplice a un problema che sembra complesso o difficile, ma che appare ovvia una volta mostrata. L’origine di questa espressione è legata a un aneddoto su Cristoforo Colombo.

Secondo la leggenda, dopo il suo ritorno dalle Americhe, Colombo partecipò a un banchetto dove alcuni nobili cercarono di sminuire la sua impresa, sostenendo che chiunque avrebbe potuto scoprire il Nuovo Mondo. In risposta, Colombo propose una sfida: chiese ai presenti di far stare un uovo in piedi su una delle sue estremità. Nessuno riuscì nell’impresa. Allora Colombo prese l’uovo, ne schiacciò leggermente un’estremità e lo fece stare in piedi. Con questo gesto semplice, dimostrò che una volta conosciuta la soluzione, il problema appare facile.

L’aneddoto sottolinea come una soluzione ingegnosa e semplice possa risolvere un problema apparentemente insormontabile.

I numeri complessi sono quindi nati dall’esigenza di risolvere equazioni che, con i soli numeri reali, non potevano essere risolte algebricamente. Questa scoperta ha aperto la strada a un’intera area della matematica con applicazioni che vanno dalla teoria dei numeri all’ingegneria elettrica, fino alla fisica quantistica.

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