50% di sconto su tutto fino al 31/12/2024

Il mio account
Accedi ai contenuti scaricabili
a

Menu

M

Chiudi

Esercizi sui numeri complessi volume 2 (per ingegneria)

Esercizi misti Numeri Complessi

Home » Esercizi sui numeri complessi volume 2 (per ingegneria)

Esercizi sui numeri complessi volume 2 (per ingegneria)

 
In questo articolo troverete 52 esercizi sui numeri complessi svolti. Questo articolo è ideale per studenti e professionisti del settore ingegneristico, fornendo esercizi sfidanti, teoria approfondita e soluzioni dettagliate. Approfitta di questa risorsa per affinare le tue abilità in matematica applicata e scopri come i numeri complessi possono essere utilizzati in contesti ingegneristici complessi. Con il nostro volume, eleva la tua comprensione e abilità a un nuovo livello.

Gli esercizi presenti in questo articolo spaziano vari argomenti del mondo dei numeri complessi, per i lettori interessati ad uno in particolare tra questi argomenti di seguito sono elencati una serie di articoli specifici contenenti esercizi mirati.

Esercizi specifici.


 
 

Autori e revisori sugli esercizi sui numeri complessi

Leggi...

Autore: Francesco Paolo Maiale.

Revisori: Valerio Brunetti, Nicola Fusco, Matteo Talluri, Davide La Manna.


 

Un ripasso di teoria sugli esercizi sui numeri complessi

Leggi...

In questa sezione iniziale richiamiamo brevemente alcuni risultati e nozioni già viste in dettaglio nel primo volume, in modo da rendere più chiari i vari passaggi delle soluzioni agli esercizi seguenti.

    \[\]

    \[\]

Rappresentazione cartesiana e trigonometrica

Sia z \in \mathbb C un numero complesso. La rappresentazione cartesiana, che si ottiene identificando \mathbb C con \mathbb R^2, è data da

    \[z = x + \imath y,\]

dove x = \mathfrak{Re}(z) e y = \mathfrak{Im}(z) sono due numeri reali. Il coniugio di z, denotato con \bar z, si può scrivere in forma cartesiana come

    \[z = x + \imath y \implies \bar z = x - \imath y,\]

da cui segue che

    \[\mathfrak{Re}(z)=\frac{z+\bar z}{2} \quad \text{e} \quad \mathfrak{Im}(z)=\frac{z-\bar z}{2 \imath}.\]

Il modulo di z è dato da

    \[|z| = \sqrt{ \mathfrak{Re}(z)^2 + \mathfrak{Im}(z)^2},\]

ed è facile vedere che |z| \ge 0 ed è uguale a zero se e solo se z = 0. Infine, la rappresentazione trigonometrica di z è data da

    \[z = |z| (\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta),\]

dove \vartheta è l’argomento di z che ricordiamo essere definito come segue:

Definizione 1. Sia z \neq 0. L’argomento principale di z, denotato \text{Arg }z, è l’unica soluzione dell’equazione reale

    \[\cos \left(\text{Arg }z\right) = \frac{\mathfrak{Re}(z)}{|z|} \quad \text{con vincolo } \text{Arg }z \in [-\pi,\pi).\]

L’argomento di z è, invece, una funzione a più valori che si ottiene rimuovendo il vincolo nell’equazione precedente, ottenendo infinite soluzioni:

(1)   \begin{equation*} \arg z = \left\{ \text{Arg } z + 2 \pi k \: : \: k \in \mathbb{Z} \right\}.\end{equation*}

 

    \[\]

    \[\]

Argomento di un numero complesso

Iniziamo questo breve sommario sull’argomento osservando che la (1) si può “invertire”, ottenendo una formula per l’argomento principale:

    \[\text{Arg }z = \vartheta + \left\lfloor \frac{1}{2} - \frac{\vartheta}{2 \pi} \right\rfloor \cdot 2 \pi, \quad \text{per ogni } \vartheta \in \arg z.\]

La funzione \lfloor \cdot \rfloor : \mathbb{R}\to \mathbb{Z} è quella che associa ad ogni numero reale il più grande intero minore o uguale, ovvero \lfloor x \rfloor è l’unico intero tale che

    \[x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x.\]

Tra le proprietà più importanti da conoscere ricordiamo l’argomento del prodotto (e del rapporto) tra numeri complessi, ovvero vale

(2)   \begin{equation*} \begin{aligned} & \text{Arg }(z_1z_2) = \text{Arg }z_1 + \text{Arg }z_2 + 2 \pi N_+, \\ & \text{Arg }(z_1/z_2) = \text{Arg }z_1 - \text{Arg }z_2 + 2\pi N_-, \end{aligned} \end{equation*}

dove N_{\pm} sono fattori correttivi definiti come segue:

(3)   \begin{equation*} N_\pm(z_1,z_2) := \begin{cases} -1 & \text{se } \text{Arg }z_1 \pm \text{Arg }z_2 > \pi, \\ 0& \text{se } -\pi<\text{Arg }z_1 \pm \text{Arg }z_2 \le \pi, \\ 1 & \text{se } \text{Arg }z_1 \pm \text{Arg }z_2 \le -\pi,\end{cases} \end{equation*}

Esempio 1. Se prendiamo z_1 = 1 e z_2 = z si vede immediatamente che per ogni z \neq 0 il valore principale dell’argomento dell’inverso z^{-1} è dato da

    \[\text{Arg }(1/z) = \text{Arg }\bar{z} = \begin{cases} \text{Arg }z &\text{se } \mathfrak{Im}(z)=0, \\ - \text{Arg }z & \text{se } \mathfrak{Im}(z)\neq0. \end{cases}\]

    \[\]

Un’altra proprietà interessante del valore principale riguarda le potenze. Infatti, dato z \in \mathbb C diverso da zero si può verificare per induzione che

(4)   \begin{equation*} \arg z^n = n \arg z + 2 \pi N_n, \end{equation*}

dove N_n è un intero che dipende da n ed è definito come segue:

    \[N_n := \left\lfloor \frac{1}{2} - \frac{n}{2\pi} \text{Arg }z\right\rfloor.\]

Per quanto riguarda la funzione a più valori \arg z, invece, ci sono alcune differenze importanti. Ad esempio, si può verificare che

    \[\begin{aligned} & \arg (z_1z_2) = \arg z_1 + \arg z_2, \\ & \arg(z_1/z_2) = \arg z_1 - \arg z_2, \\ & \arg(1/z) = \arg \bar z = -\arg z, \end{aligned}\]

e queste sono tutte da intendersi come uguaglianze tra insiemi trattandosi di funzioni a più valori.

    \[\]

    \[\]

Teorema di Eulero e formula di De Moivre

Una funzione che dai reali si può estendere senza troppe difficoltà ai complessi è quella esponenziale, ovvero ponendo

    \[\mathrm{e}^z := \mathrm{e}^x \mathrm{e}^{\imath y}.\]

Il primo fattore \mathrm{e}^x non è altro che l’esponenziale di un numero reale, perciò è sufficiente dare un significato al secondo fattore.

Teorema 2. (Eulero) Sia y \in \mathbb{R}. Allora si ha

(5)   \begin{equation*} \mathrm{e}^{\imath y} = \cos y + \imath \sin y. \end{equation*}

 

Una conseguenza immediata della formula di Eulero è la rappresentazione polare di un numero complesso z, che è data da

    \[z = |z| \mathrm{e}^{\imath \vartheta} \quad \text{con } \vartheta \in \arg z,\]

e si ottiene sostituendo (5) nella rappresentazione trigonometrica di z. Da questa segue immediatamente una formula per calcolare la potenza n-esima:

Proposizione 3. (Formula di De Moivre) Sia z \in \mathbb{C} ed n \in \mathbb{Z}. Allora

(6)   \begin{equation*} z^n = \rho^n ( \cos n \vartheta + \imath \sin n \vartheta), \end{equation*}

dove \rho = |z| e \vartheta = \text{Arg }z.

 

    \[\]

    \[\]

Radici n-esime dei numeri complessi

Fissato w \in \mathbb{C} vogliamo trovare tutte le soluzioni dell’equazione z^n = w con n \ge 1. Se w = 0 è banale, quindi supponiamo w \neq 0 e scriviamo

    \[z = \rho (\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta) \quad \text{e} \quad w = r (\cos \alpha + \imath\sin\alpha),\]

con \alpha \in [-\pi,\pi). Utilizzando la (6) l’equazione z^n = w si può riscrivere come

    \[\rho^n ( \cos n \vartheta + \imath \sin n \vartheta) = r (\cos \alpha + \imath \sin \alpha),\]

e questa è del tutto equivalente al sistema reale

    \[\begin{cases} \rho^n = r, \\ n \vartheta = \alpha + 2\pi k, & \vartheta \in [-\pi,\pi). \end{cases}\]

La prima ha soluzione \rho = r^{1/n} (radice n-esima positiva), mentre la seconda ha esattamente n soluzioni distinte nell’intervallo [-\pi,\pi) date da

(7)   \begin{equation*} \vartheta_k = \frac{\alpha + 2\pi k}{n}, \quad k = -\ell_1,\ldots,\ell_2, \end{equation*}

dove \ell_1,\ell_2 \in \mathbb N sono scelti in modo tale che \ell_1+\ell_2+1=n e valgono

    \[\frac{\alpha - 2 \ell_1 \pi}{n} \ge - \pi \quad \text{e} \quad \frac{\alpha + 2 \ell_2 \pi}{n} < \pi.\]

In particolare, il valore di \ell_1 ed \ell_2 dipende da \alpha e assicurano che tutti i valori di \vartheta rimangano nell’intervallo dell’argomento principale, ovvero [-\pi,\pi).

Osservazione 4. L’intervallo [-\pi,\pi) per l’argomento principale è scelto in maniera arbitraria e, pertanto, se stiamo semplicemente risolvendo un’equazione può essere più comodo considerare

    \[\vartheta_k = \frac{\alpha + 2\pi k}{n}, \quad k =0,\ldots,n-1\]

per ottenere tutte le soluzioni. Queste potrebbero non essere tutte in [-\pi,\pi), ma sono necessariamente contenute in un intervallo di ampiezza 2 \pi.

    \[\]

Tornando al discorso precedente, abbiamo dimostrato che ci sono esattamente n radici n-esime distinte di w e queste sono date da

    \[z_k = r^{1/n} \left( \cos \frac{\alpha + 2\pi k}{n} + \imath \sin \frac{\alpha + 2\pi k}{n} \right), \quad k = -\ell_1,\ldots,\ell_2.\]

I numeri z_{-\ell_1},\ldots,z_{\ell_2} giacciono tutti sulla circonferenza di raggio |w|^{1/n} e ciascuno forma un angolo di 2\pi/n con il precedente, perciò sono i vertici dell’n-poligono inscritto nella circonferenza di cui sopra.


 

Testi degli esercizi sui numeri complessi

 
In questo documento, presenteremo una serie di esercizi (con suggerimenti e soluzioni dettagliate) sui numeri complessi, pensati per consolidare le conoscenze acquisite nel primo volume.

Per un’ampia raccolta di esercizi tradizionali sui numeri complessi, si invita il lettore a consultare il libro [1]. Per esercizi più avanzati, si raccomanda invece l’uso dell’eserciziario [2].
 

Esercizi algebrici e calcolo di radici quadrate/cubiche

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi:

 

  1. z_1 = \dfrac{3-\imath}{4-\imath}

    2.  

  2. z_2 = \dfrac{4-3\imath}{(2+\imath)^2}

    3.  

  3. z_3 = \dfrac{(2\sqrt{3}+\imath)^3}{\sqrt{3}-\imath}

    4.  

  4. z_4 = \dfrac{\mathrm{e}^{2+\imath}}{\mathrm{e}^{3-2\imath}}

    5.  

  5. z_5 = \dfrac{2-\imath}{2+\imath}

    6.  

  6. z_6= \mathrm{e}^{-2+3\imath}

    7.  

  7. z_7 = \mathrm{e}^{(2+\imath)^3}

    8.  

  8. z_8 = \mathrm{e}^{(1-\imath)^6}

Suggerimento.

Nel caso di un rapporto tra due numeri complessi si può “razionalizzare” il denominatore. Per quanto riguarda i numeri complessi in forma esponenziale, è utile ricordarsi la formula di Eulero:

    \[\mathrm{e}^{\alpha + \imath \beta} = \mathrm{e}^\alpha \left[ \cos \beta + \imath \sin \beta \right].\]

Introduzione.

Poiché il procedimento è pressoché identico per tutti i casi, ne illustreremo solo alcuni esempi tratti dall’esercizio e lasceremo gli altri al lettore come esercizio pratico. Consideriamo due scenari distinti:

Svolgimento punti 1 e 3.

Se z è dato dal rapporto tra due numeri complessi, ovvero

(8)   \begin{equation*} z = \frac{\alpha + \imath \beta}{\delta + \imath \gamma}, \end{equation*}

allora si può “razionalizzare” moltiplicando e dividendo per il coniugato del denominatore. In particolare, abbiamo l’uguaglianza

    \[z = \frac{\alpha + \imath \beta}{\delta + \imath \gamma} \cdot \frac{\delta - \imath \gamma}{\delta - \imath \gamma} = \frac{(\alpha + \imath \beta)(\delta - \imath \gamma) }{\delta^2 + \gamma^2}.\]

A questo punto, solo il numeratore risulta essere un numero complesso ed è facile identificare parte reale e immaginaria di z, risolvendo così l’esercizio:

    \[z = \frac{1}{\delta^2+\gamma^2} \left[ (\alpha \delta + \beta \gamma) + \imath ( \beta \delta - \alpha \gamma )\right].\]

Applichiamo ora quanto detto all’esercizio. Ad esempio, dato z_1 si vede immediatamente che

    \[z_1 = \frac{3-\imath}{4-\imath} \cdot \frac{4+\imath}{4+\imath} = \frac{13 - \imath}{17} = \frac{13}{17} - \frac{1 }{17}\imath.\]

Se consideriamo z_3, per ridursi alla forma (8) è prima necessario sviluppare il numeratore come segue:

    \[\begin{aligned} (2\sqrt{3}+\imath)^3 & = 8 \cdot 3 \sqrt 3 + \imath^3 + 6 \sqrt3 \imath^2 + 3 (2 \sqrt3)^2 \imath \\ & = 24 \sqrt3 - \imath - 6 \sqrt3 + 36 \imath \\ & = 18 \sqrt{3} + 35 \imath. \end{aligned}\]

A questo punto si procede come nel caso precedente per concludere:

    \[z_3 = \frac{18 \sqrt{3} + 35 \imath}{ \sqrt{3}-\imath} \cdot \frac{\sqrt{3}+\imath}{\sqrt{3}+\imath}= \frac{54+18\sqrt{3}\imath+35\sqrt{3}\imath-35}{4} = \frac{19}{4} + \frac{53 \sqrt{3}}{4} \imath.\]

Svolgimento punti 4, 6 e 8.

Se z è dato in forma esponenziale, ovvero z = \mathrm{e}^w per qualche w \in \mathbb C, allora è sufficiente scrivere w = \alpha + \imath \beta e poi applicare la formula di Eulero:

    \[z = \mathrm{e}^{\alpha + \imath \beta} = \mathrm{e}^\alpha \left[ \cos \beta + \imath \sin \beta\right].\]

Ad esempio, abbiamo

    \[z_6 = \mathrm{e}^{-2} \mathrm{e}^{3 \imath} = \frac{ \cos (3)}{\mathrm{e}^2} + \imath \frac{\sin(3)}{\mathrm{e}^2},\]

o, analogamente, anche

    \[z_4 = \mathrm{e}^{2+\imath - (3-2\imath)} = \mathrm{e}^{-1+3\imath} = \frac{\cos(3)}{\mathrm{e}} + \imath \frac{\sin(3)}{\mathrm{e}} .\]

Il caso di z_8 è leggermente diverso da trattare perché, prima di applicare la formula data sopra, bisogna calcolare esplicitamente l’esponente

    \[(1- \imath)^6.\]

In questi casi, piuttosto che sviluppare il prodotto esplicitamente, conviene scrivere il numero complesso in forma trigonometrica/esponenziale, ovvero

    \[1 - \imath = \sqrt{2} \mathrm{e}^{- \frac\pi4 \imath},\]

e poi prenderne la potenza richiesta:

    \[(1-\imath)^6 = 8 \mathrm{e}^{- \frac32 \pi \imath + 2 \pi \imath} = 8 \mathrm{e}^{\frac\pi2 \imath} = 8 \imath.\]

Abbiamo aggiunto 2 \pi perché, per convenzione, l’argomento principale è quello contenuto nell’intervallo [-\pi,\pi). A questo punto è facile vedere che

    \[z_8 = \mathrm{e}^{(1-\imath)^6} = \mathrm{e}^{8 \imath} = \cos 8 + \imath \sin 8.\]


 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi:

 

  1. z_1 = (2-3\imath)(-2+\imath)

    2.  

  2. z_2 = \imath^5-\frac{1}{\imath^3}

    3.  

  3. z_3 = \dfrac{1}{\imath(3+2\imath)^2}

    4.  

  4. z_4 = \dfrac{1+2\imath}{3-\imath}+\frac{2-\imath}{5\imath}

    5.  

  5. z_5= \dfrac{(1+\imath)^4}{3-4\imath}

    6.  

  6. z_6 = \dfrac{(\sqrt{3}+\imath \sqrt{2})^3}{\sqrt{2}- \imath \sqrt{3}}

Suggerimento.

Lo stesso suggerimento dato sopra.

Svolgimento punto 1.

Per il primo sviluppiamo semplicemente il prodotto, ottenendo

    \[z_1 = (2-3\imath)(-2+\imath) = -4 + 2 \imath + 6 \imath - 3 \imath^2 = -1 + 8 \imath.\]

Svolgimento punto 2.

Per il secondo, invece, basta osservare che le potenze di \imath si possono calcolare modulo 4, ovvero per ogni k \in \mathbb Z si ha

    \[\imath^{j + 4k} = \imath^j \quad \text{con } j = 0, 1,2,3.\]

In particolare, abbiamo

    \[z_2 = \imath^5 - \imath^{-3} = \imath^{1+4} - \imath^{1-4} = \imath - \imath = 0.\]

Svolgimento punto 3.

Per z_3 si inizia sviluppando il denominatore

    \[\imath(3+2\imath)^2 = \imath(9 + 12\imath - 4) = -12 + 5 \imath,\]

e poi si razionalizza per ottenere la scrittura in forma algebrica:

    \[z_3 = \frac{1}{-12 + 5 \imath} \cdot \frac{-12-5\imath}{-12-5\imath}= \frac{-12-5\imath}{144+25} = - \frac{12}{169} - \imath \frac{5}{169}.\]

Svolgimento punto 4.

Nel quarto caso si calcola il risultato dell’addizione

    \[\begin{aligned} z_4 & = \frac{1+2\imath}{3-\imath}+\frac{2-\imath}{5\imath} = \frac{5\imath(1+2\imath) + (3-\imath)(2-\imath)}{5\imath(3-\imath)} \\ & = \frac{5\imath - 10 + 6 - 3\imath - 2 \imath -1}{15\imath + 5} \\ & = \frac{-5}{15\imath + 5} = - \frac{1}{1+3\imath}, \end{aligned}\]

e poi, come nel caso precedente, si razionalizza il denominatore:

    \[z_4 = - \frac{1}{1+3\imath}\cdot \frac{1-3\imath}{1-3\imath} = - \frac{1-3\imath}{1 + 9} = - \frac{1}{10} + \frac{3}{10} \imath.\]

Svolgimento punto 5.

Per il quinto possiamo sviluppare il numeratore facendo il calcolo oppure osservando che

    \[1+\imath = \sqrt{2} \mathrm{e}^{\imath \frac{\pi}{4}}\]

dalla formula di De Moivre

    \[ \left( \cos \vartheta + \imath \sin \vartheta \right)^k = \cos(k\vartheta)+ \imath \sin(k\vartheta) \quad \text{per ogni } k \in \mathbb Z \]

si trova

    \[(1+\imath)^4 = 4 \mathrm{e}^{\imath \pi} = - 4.\]

Di conseguenza, razionalizzando il denominatore abbiamo

    \[z_5= \frac{-4}{3-4\imath} = \frac{-4(3+4\imath)}{9+16} = - \frac{12}{25} - \frac{16}{25} \imath.\]

Svolgimento punto 6.

Per l’ultimo numero complesso sviluppiamo il numeratore

    \[(\sqrt 3 + \imath \sqrt 2)^3 = 3 \sqrt 3 + 2 \imath^3 \sqrt 2 + 9 \imath \sqrt 2 + 6 \imath^2 \sqrt 3 = -3 \sqrt 3 + 7 \imath \sqrt 2.\]

Razionalizzando il denominatore si ottiene

    \[z_6 = \frac{-3 \sqrt 3 + 7 \imath \sqrt 2}{\sqrt 2 - \imath \sqrt 3} \cdot \frac{\sqrt 2 + \imath \sqrt 3}{\sqrt 2 + \imath \sqrt 3} = - 2 \sqrt 6 + \imath,\]

e questo conclude l’esercizio.


 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il modulo dei seguenti numeri complessi:

    \[z_1 = \frac{1}{1-\imath}+\frac{2\imath}{\imath-1},\quad z_2 = \frac{3-\imath}{(1+\imath)^2}, \quad z_3 = \left(\frac{1-3\imath}{1+\imath}-1\right)^3.\]

Suggerimento.

Scrivere il numero complesso in forma algebrica z = x + \imath y e poi calcolare il modulo usando la definizione, ovvero

    \[|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.\]

Svolgimento.

Il primo passo è quello di scrivere i numeri complessi in forma algebrica dato che se z = x + \imath y sappiamo che il modulo è dato da

    \[|z| = \sqrt{x^2+y^2}.\]

Per il primo sviluppiamo la somma

    \[z_1 = \frac{1 - 2\imath}{\imath - 1} = \frac{1 - 2\imath}{\imath - 1} \cdot \frac{\imath + 1}{\imath + 1}= \frac{3 - \imath}{2} = \frac32 - \frac12 \imath.\]

Anche nel secondo caso abbiamo un calcolo semplice dato che il denominatore è puramente immaginario (1+\imath^2=0):

    \[z_2 = \frac{3-\imath}{1+\imath^2+ 2 \imath} = \frac{3-\imath}{2\imath} = - \frac12 - \frac32 \imath.\]

Nel terzo caso facciamo prima la somma

    \[\frac{1-3\imath}{1+\imath} - 1 = \frac{1-3\imath - 1 - \imath}{1+\imath} = - \frac{4\imath}{1+\imath},\]

da cui razionalizzando il denominatore si ottiene

    \[\frac{1-3\imath}{1+\imath} - 1 = - \frac{4\imath(1-\imath)}{2} = - 2 (\imath - \imath^2) = -2 (1+\imath).\]

A questo punto si prende il cubo

    \[z_3 = -8 (1+\imath)^3 = -8(-2+2\imath) = 16(1-\imath).\]

Per concludere è facile vedere che

    \[|z_1|=|z_2| = \sqrt{ \frac{1}{4} + \frac{9}{4} } = \frac{\sqrt{10}}{2} \quad \text{e} \quad |z_3| = \sqrt{16^2 + 16^2} = 16 \sqrt{2}.\]


 

Esercizio 4 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare modulo e argomento dei seguenti numeri complessi e poi scriverli in forma trigonometrica/esponenziale:

    \[z_1 = \frac{1+\imath\sqrt{3}}{1-\imath},\quad z_2 = \frac{1+\imath}{1-\imath},\quad z_3= \frac{1+\imath}{\sqrt{3}+\imath}.\]

Suggerimento.

Scrivere il numero complesso in forma algebrica z = x + \imath y e poi calcolare il modulo e l’argomento usando le definizioni, ovvero

    \[|z| = \sqrt{x^2 + y^2} \quad \text{e} \quad \text{Arg } z = \arccos \frac{x}{|z|}.\]

Per la soluzione completa dell’esercizio

Svolgimento.

Per scrivere z_1 in forma algebrica è sufficiente razionalizzare il denominatore come segue:

    \[z_1 = \frac{1+\imath \sqrt3}{1-\imath} \cdot \frac{1+\imath}{1+\imath} = \frac{1+\imath^2\sqrt3+\imath + \imath \sqrt3}{2} = \frac{1-\sqrt 3}{2} + \imath \frac{\sqrt 3 + 1}{2}.\]

Questo ha modulo

    \[|z_1| = \frac12 \sqrt{(1-\sqrt 3)^2 + (1+\sqrt 3)^2} = \frac12 \sqrt{8} = \sqrt2,\]

e argomento principale (dato che l’arcotangente ha valore negativo) dato da

    \[\vartheta_1 := \pi + \arctan \frac{1+\sqrt3}{1-\sqrt 3}.\]

Pertanto la forma trigonometrica di z_1 è

    \[z_1 = \sqrt{2} \left(\cos \vartheta_1 + \imath \sin \vartheta_1 \right).\]

Nel secondo caso abbiamo

    \[z_2 = \frac{1+\imath}{1-\imath} \cdot \frac{1+\imath}{1+\imath} = \frac{1 + \imath^2 + 2 \imath}{2} = \imath,\]

che ha modulo unitario e argomento \pi/2, perciò

    \[z_2 = \cos \frac\pi2 + \imath \sin \frac\pi2 = \imath \sin \frac\pi2.\]

Infine, per il terzo numero complesso si ha

    \[z_3= \frac{1+\imath}{\sqrt{3}+\imath} \cdot \frac{\sqrt 3 - \imath}{\sqrt 3 - \imath} = \frac{\sqrt 3 - \imath + \imath \sqrt 3 - \imath^2}{4} = \frac{\sqrt3 + 1}{4} + \imath \frac{\sqrt 3 - 1}{4},\]

e questo ha modulo

    \[|z_3| = \frac14 \sqrt{(\sqrt 3 + 1)^2 + (\sqrt 3 -1)^2} = \frac{1}{\sqrt 2}\]

e argomento (principale)

    \[\vartheta_3 = \arctan \frac{\sqrt 3 - 1}{\sqrt 3 + 1}.\]

Di conseguenza la forma trigonometrica di z_3 è data da

    \[z_3 = \frac{1}{\sqrt 2} \left( \cos \vartheta_3 + \imath\sin \vartheta_3 \right).\]


 
 

Esercizio 5 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Scrivere in forma esponenziale i seguenti numeri complessi:

    \[z_1 = 1+\imath,\quad z_2 = \frac{\imath(\imath-1)}{(\imath+1)^2}, \quad z_3 = \left(1-\frac{\imath}{\sqrt{3}}\right)^2.\]

Suggerimento.

Calcolare modulo e argomento.

Svolgimento punto 1.

Il primo numero complesso è già scritto in forma algebrica, perciò possiamo calcolare modulo e argomento ottenendo

    \[|z_1| = \sqrt{1+1} = \sqrt 2 \qquad \text{e} \qquad \text{Arg }z_1 = \frac\pi4,\]

da cui segue che

    \[z_1 = \sqrt 2 \mathrm{e}^{(\imath \pi)/4}.\]

Svolgimento punto 2.

Nel secondo caso osserviamo che il denominatore è dato da

    \[ (\imath+1)^2 = 1 + \imath^2 + 2\imath = 2 \imath, \]

perciò semplificando con \imath al numeratore troviamo

    \[z_2 = \frac12 (\imath -1) = - \frac12 + \frac\imath2.\]

Questo ha modulo ed argomento dati da

    \[|z_2| = \sqrt{\frac14 + \frac14} = \frac{1}{\sqrt 2} \qquad \text{e} \qquad \text{Arg }z_2 = \frac34 \pi,\]

perciò la sua forma esponenziale è data da

    \[z_2 = \frac{1}{\sqrt 2} \mathrm{e}^{(3\imath \pi)/4}.\]

Svolgimento punto 3.

Per il terzo sviluppiamo il quadrato ottenendo

    \[z_3 = \left(1-\frac{\imath}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac13 - \imath \frac{2}{\sqrt 3} = \frac23 \left( 1 - \imath \sqrt 3 \right),\]

e si trova facilmente che

    \[|z_3| = \frac23 \sqrt{1 + 3} = \frac43 \qquad \text{e} \qquad \text{Arg }z_3 = - \frac\pi3.\]

Di conseguenza, la forma esponenziale si scrive come segue:

    \[z_3 = \frac43 \mathrm{e}^{(-\imath\pi)/3}.\]


 
 

Esercizio 6 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Dato z=\mathrm{e}^{-\imath \pi/6}+\mathrm{e}^{-\imath \pi/2} scrivere z e z^2 in forma algebrica.

Svolgimento.

Per scrivere z in forma algebrica possiamo occuparci dei due termini esponenziali separatamente e poi sommare il risultato.

 

  1. Il numero complesso \mathrm{e}^{-\imath \pi/6} ha modulo uno e argomento principale -\pi/6, perciò possiamo trovare parte reale e immaginaria come segue:

        \[\mathfrak{Re}\left(\mathrm{e}^{-\imath \pi/6}\right) = \cos \left( - \frac\pi6 \right)= \frac{\sqrt 3}{2} \quad \text{e} \quad \mathfrak{Im}\left(\mathrm{e}^{-\imath \pi/6}\right) = \sin \left( - \frac\pi6 \right)= - \frac12.\]

    2.  

  2. Si procede come sopra osservando però che -\pi/2 ha coseno nullo perciò

        \[\mathrm{e}^{- (\imath \pi)/2} = - \imath.\]

Mettendo tutto insieme vediamo che la forma algebrica di z è data da

    \[z = \frac{\sqrt 3}{2} + \imath \left( - \frac12 - 1 \right)= \frac{\sqrt 3}{2} - \imath \frac32.\]

A questo punto per z^2 è sufficiente calcolare il quadrato

    \[z^2 = \left(\frac{\sqrt 3}{2} - \imath \frac32\right)^2 = \frac34 + \imath^2 \frac94 - \imath \frac{3\sqrt3}{2} = - \frac32 - \imath \frac{3\sqrt3}{2} = - \frac{3}{2} \left( 1 + \imath \sqrt3 \right),\]

e questo conclude l’esercizio.


 
 

Esercizio 7 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia

    \[z= 1+\imath x+\frac{1}{2}(\imath x)^2+\frac{1}{6}(\imath x)^3,\quad \text{con } x \in \mathbb R.\]

Calcolare la parte reale e immaginaria di z e z^2.

Suggerimento.

Scrivere i numeri in forma algebrica ricordando che

    \[z = \mathfrak{Re}(z) + \imath \mathfrak{Im}(z)\]

oppure calcolare \bar z e usare le formule

    \[\mathfrak{Re}(z) = \frac{z+\bar z}{2} \quad \text{e} \quad \mathfrak{Im}(z) = \frac{z-\bar z}{2 \imath}.\]

Svolgimento.

Ricordando che \imath^2 = -1 e \imath^3 = -\imath possiamo scrivere immediatamente z in forma algebrica come segue:

    \[z = 1 - \frac12 x^2 + \imath x \left( 1 - \frac{1}{6} x^2 \right).\]

Adesso calcoliamo il quadrato di questa espressione ottenendo

    \[\begin{aligned} z^2 & = \left(1 - \frac12 x^2\right)^2 + \imath^2 x^2 \left(1 - \frac{1}{6}x^2\right)^2 + 2\imath x \left(1 - \frac12 x^2\right)\left(1 - \frac{1}{6}x^2\right) \\& = 1 - 2 x^2 + \frac{7}{12}x^4 - \frac{1}{36}x^6 + \imath\left(2x - \frac43 x^3 + \frac16 x^5 \right), \end{aligned}\]

e questo conclude l’esercizio.


 
 

Esercizio 8 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi:

    \[z_1 = (1+\imath)^{20},\quad z_2 = (1-\imath)^{11},\quad z_3= (1+\imath \sqrt{3})^n-(1-\imath \sqrt{3})^n.\]

Suggerimento.

Lo stesso suggerimento dato in precedenza.

Svolgimento punto 1.

Per scrivere la forma algebrica conviene prima trovare la forma trigonometrica/esponenziale del numero tra parentesi dato che

    \[\left[ |z| \mathrm{e}^{(\imath \pi)/k} \right]^n = |z|^n \mathrm{e}^{(\imath n \pi)/k}.\]

Nel primo caso si ha

    \[1 + \imath = \sqrt{2} \mathrm{e}^{(\imath \pi)/4} \implies z_1 = 2^{10} \mathrm{e}^{5 \imath \pi} = - 2^{10}\]

dato che \mathrm{e}^{5 \imath \pi} = \mathrm{e}^{\imath \pi} = -1.

Svolgimento punto 2.

Analogamente, per calcolare z_2 osserviamo che

    \[1 - \imath = \sqrt 2 \mathrm{e}^{- (\imath\pi)/4} \implies z_2 = 2^5 \sqrt2 \mathrm{e}^{-(3\imath\pi)/4} = -32(1+\imath).\]

Svolgimento punto 3.

Nel terzo caso osserviamo che i due termini nell’addizione sono uno il coniugato dell’altro, ovvero

    \[ \overline{1 + \imath \sqrt3} = 1 -\imath \sqrt3, \]

perciò è facile verificare che:

    \[z_3 = \imath 2^{1 + n} \sin \frac{n \pi}{3}.\]

In particolare, il risultato dipende dal resto della divisione n/3:

    \[z_3 = \begin{cases} 0 & \text{se } n \text{ è divisibile per } 3, \\ \imath 2^n \sqrt 3 & \text{se } n = 6k + 1 \text{ o } n = 6k+2, \\ - \imath 2^n \sqrt 3 & \text{se } n = 6k + 4 \text{ o } n = 6k+5. \end{cases}\]


 
 

Esercizio 9 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare

    \[z = \sqrt{ \frac{(1+\imath)^2}{(1-\imath)^3} }.\]

Suggerimento.

Scrivere il numero complesso sotto radice in forma algebrica w = a + \imath b e poi risolvere l’equazione

    \[z^2 = w\]

per trovare le due radici quadrate di w.

Svolgimento.

Iniziamo con lo scrivere il numero complesso dentro la radice in forma algebrica. Sviluppando le potenze si ottiene

    \[w := \frac{(1+\imath)^2}{(1-\imath)^3} = \frac{1 - 1 + 2 \imath}{1 + \imath - 3 \imath - 3} = \frac{\imath}{-1-\imath},\]

per cui possiamo razionalizzare come fatto nell’esercizio precedente:

    \[w = \frac{\imath}{-1-\imath} \frac{-1+\imath}{-1+\imath} = - \frac12 (1+\imath).\]

Di conseguenza, per concludere l’esercizio ci basta trovare le due soluzioni dell’equazione complessa

    \[z^2 = w.\]

Per risolverla possiamo, ad esempio, sfruttare la forma trigonometrica di un numero complesso. Infatti, se scriviamo

    \[w = \rho \left[ \cos \vartheta + \imath \sin \vartheta \right],\]

allora un semplice calcolo mostra che

    \[\rho = \sqrt{ \left(-\frac12\right)^2+\left(-\frac12\right)^2 } = \frac{\sqrt 2}{2} \quad \text{e} \quad \vartheta = -\frac34 \pi.\]

L’equazione si può dunque riscrivere come

    \[z^2 = \frac{\sqrt 2}{2} \left[ \cos \left( -\frac34 \pi \right) + \imath \sin \left( -\frac34 \pi \right) \right],\]

da cui segue immediatamente che

    \[z_1 =\frac{1}{\sqrt[4]{2}} \left[ \cos \frac58 \pi + \imath \sin \frac58 \pi \right] \quad \text{e} \quad z_2 = \frac{1}{\sqrt[4]{2}} \left[ \cos \left( -\frac38 \pi \right) + \imath \sin \left( -\frac38 \pi \right) \right]\]

sono le due soluzioni dell’equazione.


 
 

Esercizio 10 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare le seguenti radici

    \[\begin{aligned} & z_1 = \sqrt[6]{-1},\quad z_2 =\ \sqrt{-2 \imath},\quad z_3 = \sqrt[3]{5}, \quad z_4 = \sqrt[4]{1+\imath}, \\& z_5 = \sqrt[5]{1-\imath},\quad z_6 = \sqrt{-1+\sqrt{3\imath}},\quad z_7 = \sqrt[4]{-2-2\sqrt{3\imath}}. \end{aligned}\]

Suggerimento.

Stesso suggerimento dell’esercizio precedente, risolvendo w^n = z per il corrispettivo valore di n \in \mathbb N.

Svolgimento punto 1.

Per trovare le radici n-esime di z_j \in \mathbb C è sufficiente risolvere l’equazione

    \[z^n = z_j,\]

perciò svolgiamo solo alcuni degli esempi proposti e lasciamo il resto per il lettore. Nel primo caso, ad esempio, dobbiamo risolvere

    \[z^6 = -1,\]

e questo si può fare scrivendo entrambi i membri in forma esponenziale:

    \[|z|^6 \mathrm{e}^{\imath 6 \vartheta} = 1 \mathrm{e}^{- \imath \pi}.\]

L’equazione è del tutto equivalente al sistema reale

    \[\begin{cases}|z|^6 = 1, \\ 6 \vartheta = - \pi + 2k \pi, & \vartheta \in [-\pi,\pi), \end{cases}\]

da cui segue che |z|=1, mentre \vartheta ha sei soluzioni nell’intervallo ovvero

    \[\vartheta_k = - \frac{\pi}{6} + \frac{k}{3} \pi, \quad \text{con } k = -2,-1,\ldots,3.\]

In particolare, le soluzioni dell’equazione (ovvero le radici seste di -1) sono

    \[ z_k = \cos \left( - \frac{\pi}{6} + \frac{k}{3} \pi \right) + \imath \sin \left(- \frac{\pi}{6} + \frac{k}{3} \pi\right), \qquad \text{per } k = -2, -1, \ldots, 3. \]

Svolgimento punto 4.

Nel quarto caso abbiamo

    \[z^4 = 1+ \imath \implies |z|^4 \mathrm{e}^{\imath 4 \vartheta} = \sqrt 2 \mathrm{e}^{(\imath\pi)/4},\]

che è equivalente al sistema reale

    \[\begin{cases}|z|^4 = \sqrt{2}, \\ 4 \vartheta = \pi/4 + 2k \pi, & \vartheta \in [-\pi,\pi). \end{cases}\]

Il modulo è quindi dato da |z|=\sqrt[8]{2}, mentre gli angoli sono rispettivamente

    \[\vartheta_k = \frac{\pi}{16} + k \frac{\pi}{2}, \quad \text{con } k = -2,-1,0,1.\]

In particolare, le radici quarte di 1+\imath sono

    \[ z_k = \sqrt[8]{2} \left[ \cos \left( \frac{\pi}{16} + k \frac{\pi}{2} \right) + \imath\sin \left( \frac{\pi}{16} + k \frac{\pi}{2} \right) \right], \qquad \text{per } k \in \{-2, -1, 0,1\}. \]


 
 

Esercizio 11 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare

    \[z =\sqrt{ \frac{\sqrt{3}}{3}+\imath }.\]

Suggerimento.

Il numero w sotto radice è già scritto in forma algebrica, quindi è sufficiente risolvere l’equazione

    \[z^2 = w.\]

Svolgimento.

Il numero sotto radice è già scritto in forma a + \imath b, quindi l’esercizio è del tutto equivalente a risolvere l’equazione complessa

    \[z^2 = \frac{\sqrt{3}}{3} + \imath =:w.\]

Possiamo scrivere w in forma trigonometrica osservando che questo ha modulo e argomento principale rispettivamente dati da

    \[|w| = \sqrt{ \frac39 + 1} = \frac{2\sqrt3}{3} \quad \text{e} \quad \text{Arg }w = \frac\pi3.\]

Di conseguenza, l’equazione è equivalente a

    \[z^2 = \frac{2\sqrt3}{3} \left[ \cos \frac\pi3 + \imath \sin \frac\pi3 \right],\]

da cui si ottiene immediatamente che le due radici sono

    \[z_1= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}} \left[\cos \frac\pi6 + \imath \sin \frac\pi6 \right] \quad \text{e} \quad z_2= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}} \left[\cos \left(- \frac56 \pi \right) + \imath \sin \left(- \frac56 \pi \right) \right],\]

concludendo così l’esercizio.


 
 

Esercizio 12 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare

    \[\sqrt{1+\sqrt{3}\imath}.\]

Suggerimento.

Come l’esercizio precedente.

Svolgimento.

Calcolare le radici quadrate di w := 1 + \sqrt 3 \imath è equivalente a trovare le soluzioni dell’equazione complessa

    \[z^2 = w.\]

Mostriamo come sfruttare la forma esponenziale per risolverla. È facile vedere che

    \[|w| = \sqrt{1 + 3} = 2 \quad \text{e} \quad \text{Arg } w = \arctan \sqrt{3} = \frac\pi3,\]

per cui l’equazione sopra è del tutto equivalente al sistema reale

    \[\begin{cases} |z|^2 = 2, \\ 2 \vartheta = \frac\pi3 + 2k \pi, \quad k \in \mathbb Z.\end{cases}\]

La prima equazione ha come unica soluzione |z|=\sqrt{2}, mentre per quanto riguarda l’argomento abbiamo infinite soluzioni

    \[\vartheta_k = \frac\pi6 + k \pi, \quad k \in \mathbb Z.\]

Di conseguenza, per quanto riguarda l’argomento principale (e quindi nell’intervallo [-\pi,\pi)) abbiamo soltanto due soluzioni, ovvero

    \[\vartheta_1 = \frac\pi6 \quad \text{e} \quad \vartheta_2 = \frac\pi6 - \pi = - \frac56 \pi.\]

In particolare, le due radici quadrate di w sono

    \[z_1 = \sqrt{2} \mathrm{e}^{\imath \frac\pi6} \quad \text{e} \quad z_2 = \sqrt{2} \mathrm{e}^{-\imath \frac56 \pi}.\]


 
 

Esercizio 13 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare le radici cubiche di w=2+2\imath.

Suggerimento.

In questo caso conviene scrivere w in forma esponenziale e poi risolvere

    \[(|z|\mathrm{e}^{\imath \text{Arg }z})^3 = w \mathrm{e}^{\imath \text{Arg }w}\]

tramite il sistema equivalente di equazioni reali.

Svolgimento.

Iniziamo con lo scrivere w in forma esponenziale. Un semplice calcolo ci mostra che il suo modulo è dato da

    \[|w| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2},\]

mentre il suo argomento principale è

    \[\text{Arg }w = \arctan \frac22 = \arctan 1 = \frac\pi4,\]

perciò si ha w = 2 \sqrt{2} \mathrm{e}^{\imath \frac\pi4}. A questo punto non ci rimane altro da fare che risolvere l’equazione complessa

    \[z^3 = 2 \sqrt{2} \mathrm{e}^{\imath \frac\pi4},\]

che, scrivendo anche z in forma esponenziale come |z|\mathrm{e}^{\imath \text{Arg }z}, sappiamo essere del tutto equivalente al sistema

    \[\begin{cases} |z|^3 = 2 \sqrt{2}, \\ 3 \text{Arg }z = \frac\pi4 + 2k \pi, \quad \text{Arg }z \in [-\pi,\pi). \end{cases}\]

La prima equazione ha come unica soluzione |z|= \sqrt[6]{8} = \sqrt2, mentre la seconda ammette tre soluzioni, ovvero

    \[\vartheta_1 = \frac{\pi}{12}, \quad \vartheta_2 = \frac{9}{12}\pi = \frac34 \pi, \quad \vartheta_3 = - \frac{7}{12} \pi,\]

da cui si ha che le tre radici cubiche di w sono

    \[z_1 = \sqrt2 \mathrm{e}^{\imath \frac{\pi}{12}}, \quad z_2 = \sqrt2 \mathrm{e}^{\imath \frac{3}{4}\pi}, \quad z_3 = \sqrt2 \mathrm{e}^{- \imath \frac{7}{12}\pi}.\]


 
 

Esercizio 14 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare le radici quadrate e cubiche dei seguenti numeri complessi:

    \[\begin{aligned} &z_1 =-3, \quad z_2 = 1 - \sqrt{3}\imath, \quad z_3 = - 1 - 2 \imath, \\&z_4 = -\imath, \quad z_5 = 1-\imath, \quad z_6 = 2 + \imath. \end{aligned}\]

Suggerimento.

Trovare le radici quadrate e cubiche di un numero complesso w corrisponde, rispettivamente, a risolvere le equazioni

    \[z^2 = w \quad \text{e} \quad z^3 = w.\]

Svolgimento punto 1.

Dato che si tratta di ragionare allo stesso modo per ogni z_i, svolgiamo l’esercizio soltanto per due casi e lasciami gli altri al lettore.

Per calcolare le radici quadrate di z_1 dobbiamo risolvere

    \[z^2 = - 3,\]

ma questa è immediato vedere che ha soluzioni \pm \imath \sqrt{3}. Per le radici cubiche, invece, scriviamo z_1 in forma esponenziale,

    \[z_1 = 3 \mathrm{e}^{\imath \pi},\]

e consideriamo il sistema di equazioni reali associato a z^3 = z_1, ovvero

    \[\begin{cases} |z|^3 = 3, \\ 3 \text{Arg }z = \pi + 2k \pi & \text{Arg }z\in [-\pi,\pi). \end{cases}\]

La prima equazione ha come unica soluzione |z|=\sqrt[3]{3}, mentre la seconda ammette tre soluzioni distinte ovvero

    \[\vartheta_1 = \frac\pi3, \quad \vartheta_2 = - \frac\pi3, \quad \vartheta_3 = - \pi.\]

In particolare, le tre radici cubiche di z_1 sono

    \[z_{1,1} =\sqrt[3]{3} \mathrm{e}^{\imath \frac\pi3}, \quad z_{1,2} =\sqrt[3]{3} \mathrm{e}^{-\imath \frac\pi3}, \quad z_{1,3} =\sqrt[3]{3} \mathrm{e}^{-\imath \pi} = - \sqrt[3]{3}.\]

Ovviamente, dato che l’equazione ha grado dispari, una delle radici è necessariamente reale (z_{1,3}).

Svolgimento punto 6.

Per quanto riguarda z_6 = 2 + \imath conviene scriverlo in forma esponenziale anche per il calcolo delle radici quadrate. Si ha

    \[|z_6| = \sqrt{4 + 1} = \sqrt 5 \quad \text{e} \quad \vartheta:=\text{Arg }z_6 = \arctan \frac12 \approx 0.46,\]

avendo preso come argomento principale l’unica soluzione dell’arcotangente nell’intervallo [-\pi,\pi). Le radici quadrate sono le soluzioni di

    \[z^2 = \sqrt 5 \mathrm{e}^{\imath \vartheta},\]

e sono dunque date da

    \[(z_6^q)_{1,2} = \pm \sqrt[4]{5} \left[ \cos \left( \frac12 \arctan \frac12 \right)+\imath\sin \left( \frac12 \arctan \frac12 \right) \right].\]

Per quanto riguarda le radici cubiche, invece, dobbiamo risolvere

    \[z^3 = \sqrt 5 \mathrm{e}^{\imath \vartheta},\]

che, come abbiamo visto in precedenza, è del tutto equivalente al seguente sistema di equazioni reali:

    \[\begin{cases} |z|^3 = \sqrt5, \\ 3\text{Arg }z = \vartheta + 2k \pi, & \text{Arg }z \in [-\pi,\pi). \end{cases}\]

La prima equazione ha come unica soluzione \sqrt[6]{5}, mentre la seconda ammette tre soluzioni distinte ovvero

    \[\text{Arg } (z_6^c)_1 = \frac\vartheta3, \quad \text{Arg }(z_6^c)_2 = \frac\vartheta3 + \frac23 \pi ,\quad \text{Arg }(z_6^c)_3 = \frac\vartheta3 - \frac23 \pi.\]

Di conseguenza, le tre radici cubiche sono date da

    \[\begin{aligned} & (z_6^c)_1 = \sqrt[6]{5} \left[ \cos \frac\vartheta3 + \imath \sin \frac\vartheta3 \right], \\ & (z_6^c)_{2,3}=\sqrt[6]{5} \left[ \cos \left( \frac\vartheta3 \pm \frac23 \pi\right) + \imath \sin \left( \frac\vartheta3 \pm \frac23 \pi\right) \right], \end{aligned}\]

concludendo l’esercizio. Osserviamo che è possibile semplificare (z_6^c)_{2,3} sfruttando le formule additive di seno e coseno, ovvero

    \[\begin{aligned} & \sin(a+b)= \sin a \cos b + \sin b \cos a, \\ & \cos(a+b)= \cos a \cos b - \sin a \sin b, \end{aligned}\]

e poi il fatto che 2/3 \pi è un angolo notevole:

    \[\cos \frac23 \pi = - \frac12 \quad \text{e} \quad \sin \frac23 \pi = \frac{\sqrt 3}{2}.\]


 
 

Esercizio 15 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare le potenze dei seguenti numeri complessi:
 

  1. Se z = \imath, calcolare z^7 e z^{2002}.
  2. Se z = 1+\imath, calcolare (z^{2005}+\bar{z}^{2005})/2^{1002}.
  3. Se z = \frac12 - \imath \frac{\sqrt{3}}{2}, calcolare z^{8!-1}.

Suggerimento.

Utilizzare la forma trigonometrica o la forma esponenziale di un numero complesso.

Svolgimento punto 1.

Per il primo punto osserviamo che

    \[\imath^2=-1 \implies \imath^3 = - \imath \quad \text{e} \quad \imath^4 = 1.\]

Di conseguenza, per calcolare \imath^\alpha è sufficiente conoscere \alpha modulo 4 (ovvero, il resto della divisione per 4); più precisamente, si ha

    \[\imath^\alpha = \begin{cases} 1 & \text{se } \alpha \text{ è divisibile per } 4, \\ \imath & \text{se } \alpha \text{ diviso } 4 \text{ ha resto } 1, \\ -1 & \text{se } \alpha \text{ diviso } 4 \text{ ha resto } 2,\\ - \imath & \text{se } \alpha \text{ diviso } 4 \text{ ha resto } 3. \end{cases}\]

Svolgimento punto 2.

Per (2) scrivo z e \bar z in forma esponenziale, ovvero

    \[z = 1+\imath = \sqrt{2} \mathrm{e}^{\imath \frac\pi4} \implies \bar{z}=\sqrt{2} \mathrm{e}^{-\imath \frac\pi4},\]

da cui segue immediatamente che

    \[\frac{z^{2005}+\bar{z}^{2005}}{2^{1002}} = \frac{2^{1002+\frac12}}{2^{1002}} \left( \mathrm{e}^{ \imath 2005 \frac\pi4}+\mathrm{e}^{- \imath 2005 \frac\pi4} \right).\]

A questo punto osserviamo che

    \[2005 \cdot \frac\pi4 = 250 (2\pi) + \pi + \frac\pi4 \implies \mathrm{e}^{\imath 2005 \frac\pi4} = \mathrm{e}^{-\imath 3 \pi / 4},\]

ed analogamente

    \[-2005 \cdot \frac\pi4 = -250 (2\pi) - \pi - \frac\pi4 \implies \mathrm{e}^{-\imath 2005 \frac\pi4} = \mathrm{e}^{\imath 3 \pi / 4}.\]

Sostituendo tutto nell’espressione precedente si trova

    \[\frac{z^{2005}+\bar{z}^{2005}}{2^{1002}} = \sqrt{2} \left(\mathrm{e}^{\imath \frac34 \pi}+\mathrm{e}^{-\imath \frac34 \pi}\right)= \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) = -2,\]

e questo conclude il secondo punto. Notiamo che la seconda uguaglianza è dovuta al fatto che, utilizzando la formula di Eulero

    \[ \mathrm{e}^{\imath \vartheta} = \cos \vartheta + \imath \sin \vartheta, \]

si ha

    \[\begin{aligned}\mathrm{e}^{\imath \frac34 \pi}+\mathrm{e}^{-\imath \frac34 \pi} &= \cos \frac34 \pi + \cos \left(-\frac34 \pi\right) + \imath \left[ \sin \frac34 \pi + \sin \left(-\frac34 \pi\right) \right] \\ & = 2 \cos \frac34 \pi + \imath \left[ \sin \frac34 \pi - \sin \frac34 \pi \right] \\ & = 2 \cos \frac34\pi = 2 \left(- \frac{\sqrt 2}{2} \right) = -\sqrt2. \end{aligned}\]

Svolgimento punto 3.

Anche per risolvere (3) conviene scrivere z in forma esponenziale, ovvero

    \[z = \frac12 - \imath \frac{\sqrt 3}{2} = \mathrm{e}^{-\imath \frac\pi3}.\]

Poiché questo ha modulo unitario, bisogna soltanto capire come la potenza agisce sull’argomento principale. In particolare, dato che

    \[- \frac\pi3(8!-1) = \left[- 13440 + \frac13 \right]\pi = 2\pi \cdot (-6720) + \frac13 \pi,\]

sostituendo e ricordando che \mathrm{e}^{2\pi \imath}=1, si trova che

    \[z^{8!-1} = \mathrm{e}^{2\pi\imath \cdot (-6720)} \mathrm{e}^{\imath \frac\pi3} = \mathrm{e}^{\imath \frac\pi3} = \frac12 + \imath \frac{\sqrt{3}}{2},\]

e questo conclude l’esercizio.


 
 

Esercizio 16 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Dato \lambda \in \mathbb{R}, consideriamo il numero complesso

    \[z = \frac{\lambda + 4\imath}{1 + \lambda \imath}.\]

Stabilire per quali valori di \lambda si ha z reale e per quali z puramente immaginario.

Suggerimento.

Calcolare la parte reale e la parte immaginaria di z in funzione di \lambda e poi porle uguali a zero.

Svolgimento.

L’idea è quella di trovare parte reale e immaginaria di z e successivamente dedurre i valori di \lambda (se esistono) per cui si annullano. Si ha

    \[z = \frac{\lambda + 4\imath}{1 + \lambda \imath} = \frac{\lambda + 4\imath}{1 + \lambda \imath}\cdot \frac{1-\lambda \imath}{1 - \lambda \imath}= \frac{1}{1+\lambda^2} \left( \lambda - \lambda^2 \imath + 4 \imath + 4\lambda \right),\]

da cui ricaviamo immediatamente che

    \[\mathfrak{Re}(z) = \frac{1}{1+\lambda^2} \left( \lambda + 4 \lambda\right) = \frac{5 \lambda}{1+\lambda^2} \quad \text{e} \quad \mathfrak{Im}(z) = \frac{1}{1+\lambda^2} \left( 4 - \lambda^2 \right) \imath.\]

Questo significa che z è puramente immaginario se e solo se \lambda = 0, mentre z è un numero reale se e solo se \lambda = \pm 2.


 
 

Esercizio 17 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Siano z,w \in \mathbb{C} due numeri complessi che soddisfano le seguenti identità:

    \[z = -3 + 4 \imath \quad \text{e} \quad zw = - 14 + 2 \imath.\]

Trovare modulo e argomento (principale) di w.

Suggerimento.

Modulo e argomento principale di un prodotto sono dati da

    \[|zw|=|z||w| \quad\text{e}\quad \text{Arg }(zw)=\text{Arg }z + \text{Arg }w + 2\pi N_+,\]

dove N_+ è definito in (3).

Svolgimento.

Sfruttando la proprietà del modulo di un prodotto si trova immediatamente che

    \[|zw|=|z||w| \implies |w| = \frac{|zw|}{|z|} = \frac{|-14 + 2\imath|}{|-3 + 4 \imath|} = \frac{\sqrt{14^2 + 2^2}}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 2 \sqrt{2},\]

mentre, per quanto riguarda l’argomento, la strada più semplice è quella di scrivere w in forma algebrica. In particolare, si ha

    \[(-3 + 4 \imath)w = - 14 + 2 \imath \implies (-3+4 \imath)(x+\imath y)=-14 + 2 \imath,\]

da cui si ottiene (eguagliando parte reale e immaginaria rispettivamente) il seguente sistema nelle variabili reali x ed y:

    \[\begin{cases} -3x - 4y = - 14, \\ -3y + 4x = 2. \end{cases}\]

Si vede immediatamente che l’unica soluzione è x = y = 2, per cui w = 2 + 2\imath ha argomento principale

    \[\text{Arg }w = \arctan \frac{2}{2} = \arctan 1 = \frac{\pi}{4},\]

e questo conclude l’esercizio. Alternativamente, possiamo sfruttare la formula

(9)   \begin{equation*} \text{Arg }w=\text{Arg } (zw) - \text{Arg }z + 2\pi N_-, \end{equation*}

dove N_- è dato da (3), per ricavare l’argomento principale di w. Infatti, è facile vedere che

    \[\text{Arg }z = \pi - \arctan \frac43 \quad \text{e} \quad \text{Arg }(zw) = \pi - \arctan \frac17,\]

per cui sostituendo in (9) si trova

    \[\text{Arg }w = - \arctan\frac17 + \arctan\frac43 + 2 \pi N_-.\]

Per arrivare allo stesso risultato ottenuto sopra bisogna, in qualche modo, gestire la somma di due arcotangenti. Per farlo, si può utilizzare la formula

(10)   \begin{equation*} \arctan x = \frac12 \imath \log \frac{1 - \imath x}{1+\imath x}, \end{equation*}

che esula dagli scopi di questo documento e quindi diamo per scontata giusto per far vedere come concludere l’esercizio. Si ha

    \[\begin{aligned}\arctan\frac43 - \arctan\frac17 &= \frac12 \imath \log \frac{1 - \imath \frac43}{1+\imath \frac43} - \frac12 \imath \log \frac{1 - \imath \frac17}{1+\imath \frac17} \\ & = \frac12 \imath \log \frac{1 - \imath \frac43}{1+\imath \frac43} \frac{1 + \imath \frac17}{1-\imath \frac17} \\ & = \frac12 \imath \log \frac{1-\imath}{1+\imath} = \arctan 1, \end{aligned}\]

dove l’ultimo passaggio segue da (10). Allora

    \[\text{Arg } w = \arctan 1 + 2\pi N_- = \frac\pi4,\]

e questo conclude.


 
 

Esercizio 18 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Mostrare che se z \in \mathbb{C} ha modulo unitario, allora

(11)   \begin{equation*} \mathfrak{Re} \left[ \frac{2z}{1-z^2} \right] = 0. \end{equation*}

Suggerimento.

Si può scrivere z in forma trigonometrica sfruttando il fatto che, avendo modulo unitario, esiste \vartheta \in [-\pi,\pi) tale che

    \[z = \cos \vartheta + \imath \sin \vartheta.\]

Svolgimento.

Poiché z ha modulo unitario, possiamo scriverlo in forma trigonometrica come z = \cos \vartheta + \imath \sin \vartheta. Si vede facilmente che

    \[\frac{1}{1-z} = \frac{1}{(1-\cos \vartheta) - \imath \sin \vartheta} ,\]

perciò “razionalizzando” il denominatore si ottiene

    \[\frac{1}{1-z} = \frac{(1-\cos \vartheta) + \imath \sin \vartheta}{(1-\cos \vartheta)^2 + \sin^2 \vartheta} = \frac{1}{2 - 2 \cos \vartheta} \left[ (1-\cos \vartheta) + \imath \sin \vartheta \right].\]

Analogamente si ha

    \[\frac{1}{1+z} = \frac{(1+\cos \vartheta) - \imath \sin \vartheta}{(1+\cos \vartheta)^2 + \sin^2 \vartheta} = \frac{1}{2 + 2 \cos \vartheta} \left[ (1+\cos \vartheta) - \imath \sin \vartheta \right],\]

per cui possiamo esprimere il denominatore del numero complesso in (11) moltiplicando le due espressioni appena trovate, ottenendo

    \[\frac{1}{1-z^2} = \frac{1}{4 - 4 \cos^2 \vartheta} \left[(1-\cos^2 \vartheta + \sin^2 \vartheta) + \imath (2 \sin \vartheta \cos \vartheta) \right].\]

Possiamo semplificare l’espressione sfruttando le identità trigonometriche

    \[\cos^2 \vartheta+\sin^2\vartheta = 1 \quad \text{e} \quad 2 \sin \vartheta \cos \vartheta = \sin 2\vartheta,\]

arrivando così all’uguaglianza

    \[\frac{1}{1-z^2} = \frac{1}{4 \sin^2 \vartheta} \left[ 2 \sin^2 \vartheta + \imath \sin 2 \vartheta \right].\]

Infine, si moltiplica tutto per z

    \[\frac{z}{1-z^2} = \frac{1}{4 \sin^2 \vartheta} \left[( 2 \sin^2 \vartheta \cos \vartheta - \sin \vartheta \sin 2 \vartheta ) + \imath ( 2 \sin^3 \vartheta + \cos \vartheta \sin 2 \vartheta) \right],\]

perciò la parte reale è data da

    \[\mathfrak{Re}\left[ \frac{z}{1-z^2} \right] = 2 \sin^2 \vartheta \cos \vartheta - \sin \vartheta \sin 2 \vartheta.\]

A questo punto, applicando di nuovo la formula di duplicazione del seno, si ottiene

    \[\mathfrak{Re} \left[ \frac{z}{1-z^2} \right]= 2 \sin^2 \vartheta \cos \vartheta - 2 \sin^2 \vartheta \cos \vartheta = 0,\]

e questo conclude l’esercizio perché abbiamo dimostrato che per |z|=1 la proprietà (11) è verificata.


 
 

Esercizio 19 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Siano z,w \in \mathbb{C} due numeri complessi che soddisfano \bar{z}w \neq 1 e tali che |z|=1 oppure |w|=1. Si mostri che

    \[\left| \frac{z-w}{1-\bar{z}w} \right|=1.\]

Suggerimento.

Per semplificare il rapporto nel modulo si può moltiplicare e dividere per il coniugato del denominatore,

    \[\frac{z-w}{1-\bar z w} \frac{1-z\bar w}{1 - z \bar w} = \frac{z-w - z^2\bar w + z |w|^2}{1-|z|^2|w|^2},\]

in modo tale che la proprietà da dimostrare sia del tutto equivalente a

    \[|z-w-z^2\bar w + z|w|^2| = 1-|z|^2|w|^2.\]

Svolgimento.

Si può procedere come nel suggerimento oppure ragionare in maniera leggermente diversa. Ad esempio, sapendo che vale

    \[1 = \left| \frac{z-w}{1-\bar z w} \right|= \frac{|z-w|}{|1-\bar z w|},\]

e 1 - \bar z w \neq 0 per ipotesi, è del tutto equivalente far vedere che vale l’uguaglianza

    \[|z-w|=|1-\bar{z}w|.\]

Inoltre, trattandosi di due termini non negativi sotto radice, possiamo prendere il quadrato di entrambi ed ottenere l’equazione

    \[ |z-w|^2 = |1-\bar z w|^2. \]

Supponiamo |z|=1 (il caso |w|=1 si fa nello stesso modo) e scriviamo i due numeri complessi in forma trigonometrica come segue:

    \[z = \cos \vartheta + \imath \sin \vartheta \quad \text{e} \quad w = |w| \left( \cos \beta + \imath \sin \beta \right).\]

A questo punto, il modulo della differenza al quadrato è dato da

    \[\begin{aligned} |z-w|^2 & = (\cos \vartheta - |w| \cos \beta)^2 + (\sin \vartheta -|w| \sin \beta)^2 \\ & = \cos^2 \vartheta + |w| \cos^2 \beta - 2 |w| \cos \vartheta \cos \beta + \sin^2 \vartheta + |w|^2 \sin^2 \beta - 2|w| \sin \vartheta \sin \beta \\ & = \left( \cos^2 \vartheta + \sin^2 \vartheta \right) + |w|^2 \left( \cos^2 \beta + \sin^2 \beta \right) - 2 |w| \left( \sin \vartheta\sin \beta + \cos \vartheta \cos \beta \right) \\ & = 1 + |w|^2 - 2 |w| \cos(\beta - \vartheta), \end{aligned}\]

dove nell’ultimo passaggio abbiamo utilizzato l’identità fondamentale trigonometrica e la formula di sottrazione del coseno, che ricordiamo essere

    \[\cos(b-a)=\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b.\]

Per quanto riguarda il prodotto \bar{z} w si ha

    \[\bar{z}w =|w| \cos(\beta-\vartheta) + \imath |w|\sin(\beta-\vartheta),\]

da cui segue immediatamente che

    \[\begin{aligned} |1-\bar{z}w|^2 &= \left[ 1 - |w| \cos(\beta-\vartheta) \right]^2+ |w|^2\sin^2(\beta-\vartheta) \\ & = 1 + |w|^2 \left[ \cos^2 (\beta-\vartheta) + \sin^2 (\beta-\vartheta) \right] - 2 |w| \cos(\beta-\vartheta) \\ & = 1 + |w|^2 - 2 |w| \cos(\beta-\vartheta), \end{aligned}\]

e questo conclude.


 
 

Esercizio 20 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Si dimostri che

    \[\left| \frac{\mathrm{e}^{\imath xy} - 1}{y} \right| \le |x|\]

per ogni x,y \in \mathbb{R} con y \neq 0.

Suggerimento.

Si può utilizzare la formula di Eulero (5) oppure la definizione di esponenziale complesso.

Svolgimento.

Per la formula di Eulero (5) si ha

    \[\mathrm{e}^{\imath xy} = \cos xy + \imath \sin xy,\]

per cui possiamo riscrivere il termine a sinistra come segue:

    \[\frac{\mathrm{e}^{\imath xy} - 1}{y} = \frac{ (\cos xy - 1) + \imath \sin xy }{ y }.\]

Il modulo è dato da

    \[\begin{aligned} \left| \frac{\mathrm{e}^{\imath xy} - 1}{y} \right| & =\frac{1}{|y|}\sqrt{ \cos^2 xy + 1 - 2 \cos xy + \sin^2 xy } \\ & = \frac{1}{|y|} \sqrt{2 - 2 \cos xy}, \end{aligned}\]

per cui, utilizzando la formula di sdoppiamento del coseno,

    \[1 - \cos \alpha = \sin^2 \frac{\alpha}{2},\]

si arriva all’espressione seguente:

    \[\left| \frac{\mathrm{e}^{\imath xy} - 1}{y} \right| = \frac{1}{|y|}2 \left| \sin \frac{xy}{2} \right|.\]

Di conseguenza, per concludere l’esercizio è sufficiente verificare che

    \[\left| \sin \frac{xy}{2} \right| \le \frac{|x||y|}{2}\]

vale per ogni x,y \in \mathbb{R} con y \neq 0. A questo punto però ci ricordiamo di una disuguaglianza notevole1

secondo cui vale

    \[| \sin \alpha | \le |\alpha| \quad \text{per ogni } \alpha \in \mathbb{R}.\]

Applicandola al nostro caso si conclude dato che vale

    \[\left| \sin \frac{xy}{2} \right| \le \frac{|xy|}{2} = \frac{|x||y|}{2},\]

dove abbiamo sfruttato la proprietà del modulo |x||y|=|xy|.  

    \[\]

  1. Per verificare questa disuguaglianza si può utilizzare, ad esempio, il teorema del valore intermedio nell’intervallo \alpha \in (0,1), mentre è banale per \alpha = 0 e \alpha \ge 1. Il caso \alpha < 0 segue immediatamente sfruttando la simmetria. ↩

 
 

Esercizio 21 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Si dimostri che per ogni z \in \mathbb{C} \setminus \{1\} di modulo unitario esiste t \in \mathbb{R} tale per cui si può scrivere

    \[z = \frac{t+\imath}{t-\imath}.\]

Suggerimento.

Si razionalizza e poi si considera l’uguaglianza ottenuta

    \[(t+\imath)^2 = (t^2+1)z\]

come una equazione nella variabile reale t, sfruttando eventualmente la forma algebrica di z.

Svolgimento.

Il primo passo è quello di studiare il numero complesso

    \[\frac{t+\imath}{t-\imath}\]

al variare di t \in \mathbb{R}, esplicitando se possibile parte reale e immaginaria. Un semplice calcolo ci mostra che

    \[\frac{t+ \imath}{t- \imath} = \frac{(t+\imath)^2}{t^2 + 1} = \frac{1}{t^2+1} \left(t^2 - 1 + \imath 2t \right),\]

da cui segue immediatamente che

    \[\mathfrak{Re} \left[\frac{t+\imath}{t-\imath}\right] = \frac{t^2-1}{t^2+1}, \quad \text{e} \quad \mathfrak{Im}\left[\frac{t+\imath}{t-\imath}\right] = \frac{2 t}{t^2+1}.\]

Di conseguenza, se scriviamo z = u + \imath v dobbiamo far vedere che esiste almeno una soluzione reale t al seguente sistema:

    \[\begin{cases} t^2 - 1 = u(t^2+1), \\ 2t = v(t^2+1). \end{cases}\]

La seconda equazione ci da

    \[t^2 - \frac{2}{v} t + 1 = 0,\]

dove abbiamo diviso per v dato che per ipotesi z \neq 1 (quindi ha parte immaginaria non zero). Se ora andiamo a sostituire nella prima otteniamo

    \[\frac{2}{v}t - 2 = u \frac{2}{v}t \implies t = \frac{v}{1-u},\]

che è ben definito perché, per ipotesi, si ha u \in [0,1).


 
 

Esercizio 22 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Si dimostri che per ogni n \in \mathbb{N} si ha

    \[(-1+\imath \sqrt{3})^n + (-1 - \imath \sqrt{3})^n = \begin{cases} 2^{n+1} & \text{se $n$ è divisibile per $3$}, \\ - 2^n & \text{altrimenti.}\end{cases}\]

Suggerimento.

Utilizzare la forma trigonometrica ricordando che

    \[\left( \cos \vartheta + \imath \sin \vartheta \right)^n = \cos n \vartheta + \imath \sin n \vartheta.\]

Svolgimento.

In coordinate trigonometriche abbiamo

    \[- 1 \pm \imath \sqrt{3} = 2 \left[ \cos \left(\pm \frac{2}{3} \pi \right) + \imath \sin \left(\pm \frac{2}{3} \pi \right)\right],\]

dato che sono l’uno il coniugato dell’altro. Per (6) si ha

    \[(- 1 \pm \imath \sqrt{3})^n = 2^n \left[ \cos \left(\pm \frac{2}{3}n \pi \right) + \imath \sin \left(\pm \frac{2}{3}n \pi \right)\right],\]

per ogni n \in \mathbb{N}. Se n è divisibile per 3, diciamo n = 3k, allora

    \[(-1 \pm \imath \sqrt{3})^n = 2^n \left[ \cos \left( \pm 2k \pi \right) + \imath \sin \left( \pm 2k \pi \right) \right] =2^n,\]

da cui prendendo la somma si ottiene il risultato desiderato:

    \[(- 1 + \imath \sqrt{3})^n + (- 1 - \imath \sqrt{3})^n = 2^n + 2^n = 2^{n+1}.\]

Se n non è divisibile per 3, sfruttando il fatto che il coseno (seno) è una funzione pari (dispari), otteniamo l’uguaglianza

    \[(- 1 + \imath \sqrt{3})^n + (- 1 - \imath \sqrt{3})^n = 2^{n+1} \cos \frac{2}{3} n \pi,\]

e questo conclude osservando che

    \[\cos\left( \frac{2}{3} \pi + 2k \pi \right) = -\frac12 \quad \text{e} \quad \cos \left( \frac{4}{3} \pi + 2k \pi \right) = - \frac12.\]


 
 

Esercizio 23 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Dato z \in \mathbb{C} qualsiasi, si dimostri che il prodotto della radici n-esime di z è uguale a (-1)^{n+1}z.

Suggerimento.

Scrivere le radici n-esime in forma polare e poi calcolare esplicitamente il prodotto.

Svolgimento.

Abbiamo visto che le radici n-esime di z non sono altro che le n soluzioni distinte dell’equazione z = w^n, ovvero

    \[w_k = |z|^{\frac1n} \mathrm{e}^{\imath \frac{\text{Arg }z + 2k \pi}{n}}, \quad k = 0, \ldots, n-1.\]

Notiamo che facendo variare k in questo modo c’è il rischio che da un certo punto in poi si arrivi ad avere

    \[\frac{ \text{Arg }z + 2k \pi }{n} \ge \pi,\]

ma in questo caso è meglio rinunciare alla convenzione di rimanere in [-\pi,\pi) a favore della chiarezza dato che si dovrebbe prendere

    \[w_k = |z|^{\frac1n} \mathrm{e}^{\imath \frac{\text{Arg }z + 2k \pi}{n}}, \quad k = -\ell_1, \ldots, \ell_2\]

con \ell_2+\ell_1= n-1 e in modo tale che

    \[- \pi \le \frac{ \text{Arg }z + 2k \pi }{n} < \pi \quad \text{per ogni } k \in \{-\ell_1,\ldots,\ell_2\}.\]

In ogni caso, il prodotto è dato da

    \[\prod_{k = 0}^{n-1} |z|^{\frac1n} \mathrm{e}^{ \imath \frac{\text{Arg }z + 2k \pi}{n}} = |z| \prod_{k = 0}^{n-1} \mathrm{e}^{\imath \frac{\text{Arg }z + 2k \pi}{n}},\]

e, sfruttando la proprietà della funzione esponenziale, la produttoria si trasforma in una sommatoria all’esponente:

    \[\prod_{k = 0}^{n-1} |z|^{\frac1n} \mathrm{e}^{ \imath \frac{\text{Arg }z + 2k \pi}{n}} = |z| \mathrm{e}^{\imath \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{\text{Arg }z + 2k \pi}{n}}.\]

Ricordando la formula per la somma dei primi n-1 numeri interi si calcola esplicitamente l’esponente

    \[\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{\text{Arg }z + 2k \pi}{n} & = n \frac{\text{Arg }z}{n} + \frac{2 \pi }{n} \sum_{k = 0}^{n-1}k \\ & = \text{Arg } z + \frac{2\pi}{n} \frac{(n-1)n}{2} \\ & = \text{Arg }z + (n-1) \pi, \end{aligned}\]

da cui segue che

    \[\prod_{k = 0}^{n-1} |z|^{\frac1n} \mathrm{e}^{\imath \frac{\text{Arg }z + 2k \pi}{n}} = \underbrace{|z| \mathrm{e}^{ \imath \text{Arg }z}}_{=z} \underbrace{\mathrm{e}^{\imath (n-1)\pi}}_{=(-1)^{n-1}} = (-1)^{n-1}z,\]

e questo conclude.


 
 

Equazioni e sistemi nei complessi

 

Esercizio 24 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere per x \in \mathbb R le seguenti equazioni nel campo dei numeri complessi:

 

  1. x^2-4x+5=0;
  2. 2x^2-2x+1=0;
  3. x^2-5x+7=0;
  4. \imath x^2 -2x - 2 \imath = 0.

Suggerimento.

Si può applicare la formula risolutiva per equazioni di secondo grado facendo attenzione al segno del \Delta.

Svolgimento punto 1.

Ricordiamo che per una equazione generica del secondo ordine

(12)   \begin{equation*} x^2 + bx + c=0, \end{equation*}

la formula risolutiva è data da

    \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta} }{2}, \quad \text{con } \Delta = b^2 - 4c.\]

Per la prima equazione abbiamo \Delta = 16-20 = -4, per cui \sqrt{-4} non è definita nei numeri reali. Detto questo, sfruttiamo l’unità immaginaria per scrivere

    \[x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = 2 \pm \imath,\]

quindi le soluzioni sono complesse e coniugate1.

 

    \[\]

  1. Questo è un fatto valido in generale, ovvero ogni polinomio p(x) (di qualsiasi grado) a coefficienti reali soddisfa la seguente proprietà:

        \[p(z) = 0 \iff p(\bar z)=0.\]

    ↩

Svolgimento punto 2.

Per la seconda dividiamo per riportarla alla forma (12), ottenendo

    \[2x^2-2x+1=0 \iff x^2 - x + \frac12 = 0.\]

Si ha

    \[x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 2}}{2} = \frac{1}{2} \pm \frac{\imath}{2},\]

ovvero anche in questo caso le soluzioni sono complesse e coniugate.

Svolgimento punto 3.

Analogamente per la terza equazione abbiamo le due soluzioni

    \[x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25-28}}{2} = \frac{5}{2} \pm \imath \frac{\sqrt{3}}{2}.\]

Svolgimento punto 4.

L’ultima equazione deve essere prima riportata nella forma (12), quindi dividiamo per \imath ed otteniamo

    \[\imath x^2 -2x - 2 \imath = 0 \iff x^2 - \frac2\imath x - 2 = 0.\]

Sfruttando l’identità \imath^2 = -1 il delta della equazione è dato da

    \[\Delta = \frac{4}{\imath^2} + (-4)(-2) = - 4 +8 = 4,\]

da cui le soluzioni della equazione sono

    \[x_{1,2} = \frac{\frac{2}{\imath} \pm 2}{2} = \frac1\imath \pm 1,\]

e questo conclude.

Osservazione.

È interessante notare che le soluzioni della quarta non sono coniugate. Il motivo è che l’equazione

    \[\imath x^2 - 2x - 2 \imath = 0\]

è a coefficienti complessi, ed è facile vedere che applicando il coniugio si ottiene una equazione non equivalente alla precedente, ovvero

    \[- \imath x^2 - 2x + 2 \imath = 0,\]

dato che non è possibile ottenerla dalla prima tramite nessuna manipolazione algebrica (ad esempio, moltiplicare per -1 o simili).


 
 

Esercizio 25 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere le seguenti equazioni nei complessi:

 

  1. | |z|-2\imath|^2 = 4;
  2. |z|^2=12-|z|;
  3. \mathfrak{Im}(z^2)=|z|^2;

Suggerimento.

Nella prima e nella terza conviene sviluppare il modulo e poi, se necessario, passare alla forma algebrica di z Nel secondo caso, invece,

    \[|z|^2+|z|-12 = 0\]

si può inizialmente trattare come una equazione nella variabile reale |z|.

Svolgimento punto 1.

Per la prima equazione osserviamo che |z| è un numero reale, perciò il modulo a sinistra si calcola facilmente come

    \[||z|-2\imath|^2 = |z|^2 + 4.\]

Ne segue immediatamente che

    \[|z|^2 + 4 = 4 \iff |z|^2 = 0,\]

e questa ha come unica soluzione z = 0 (per definizione di modulo).

Svolgimento punto 2.

La seconda si può risolvere considerando |z| come una variabile reale; si trova

    \[|z|^2 + |z| - 12 = 0 \iff |z| = \frac{-1 \pm 7}{2},\]

ma solo |z|=3 è ammissibile perché |z|\ge0. Dunque

    \[\{ z \in \mathbb{C} \: : \: |z|=3\}\]

è l’insieme delle soluzioni dell’equazione e coincide con il bordo della palla di centro l’origine e raggio 3.

Svolgimento punto 3.

Per la terza introduciamo la forma algebrica

    \[z = a + \imath b \implies z^2 = a - b + \imath(2ab),\]

da cui segue che

    \[2ab = \mathfrak{Im}(z^2)=|z|^2 = a^2+b^2.\]

Questa è ovviamente soddisfatta se e solo se a=b, ovvero la retta di coefficiente angolare uno e passante per l’origine

    \[\{ a(1+\imath) \in \mathbb{C} \: : \: a \in \mathbb{R} \}\]

è l’insieme delle soluzioni dell’equazione.


 
 

Esercizio 26 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere le seguenti equazioni nei complessi:

 

  1. z^2+z+1=0,
  2. z^3+2z=0,
  3. z^4-2z^2-8=0,
  4. z^6+z^3+1=0,
  5. |z|=z+1,
  6. z+\bar{z}=z^2,
  7. z^2+2\imath z-3=0,
  8. \imath z^3 = \bar z,
  9. z^2 + (1-\imath)z - \imath = 0,
  10. \imath \mathfrak{Re}(z) + z^2 = |z|^2 + 1,
  11. \bar z^4 = |z|,
  12. z+3 \imath + \mathfrak{Re}(z) \left[ \imath + (\mathfrak{Im}(z))^2 \right] = 0,
  13. 2 |z|^2 = z^3,
  14. z-z/|z| + 1= 0,
  15. z^4 + 2 \imath |z| = 0

Suggerimento.

Le prime si possono risolvere con la formula risolutiva per equazioni del secondo grado, eventualmente introducendo una variabile ausiliaria quando la potenza è più grande di due, ad esempio

    \[ z^4 - 2z^2 - 8 = 0 \xrightarrow{ w := z^2 } w^2 - 2w - 8 = 0. \]

Le altre si possono, invece, risolvere utilizzando opportunamente la forma algebrica o quella esponenziale.

Svolgimento punto 1.

Risolviamo le equazioni nell’ordine presentato nel testo dell’esercizio:

L’equazione z^2+z+1=0 si può risolvere con la formula risolutiva di secondo grado; in particolare, si ha

    \[ z_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = - \frac12 \pm \imath \frac{\sqrt3}{2}. \]

Svolgimento punto 2.

L’equazione z^3 + 2z = 0 si può risolvere come fatto per la precedente, a patto però di raccogliere z così da ridurre il grado. In particolare, si ha

    \[ z(z^2+2)=0 \iff z_1 = 0 \text{ oppure } z^2 + 2 = 0, \]

ed è facile vedere che la seconda ha come soluzioni z_{2,3} = \pm \imath \sqrt 2.

Svolgimento punto 3.

L’equazione z^4 - 2z^2 - 8 = 0 è quadratica rispetto a z^2, perciò si introduce la variabile ausiliaria w := z^2 e si sostituisce all’equazione ottenendo

    \[ w^2 - 2w - 8 = 0. \]

Con la formula risolutiva per equazioni del secondo grado si ottiene

    \[ w_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}. \]

Di conseguenza, tornando alla variabile iniziale dobbiamo risolvere

    \[ z^2 = w_1 = -2 \quad \text{e} \quad z^2 = w_2 = 4, \]

da cui otteniamo z_{1,2} = \pm \imath \sqrt2 e z_{3,4} = \pm 2.

Svolgimento punto 4.

In questo caso, l’equazione è quadratica rispetto a z^3. Perciò, come sopra, si introduce la variabile ausiliaria w := z^3 e si arriva a

    \[ w^2+w+1=0. \]

La formula risolutiva per equazione del secondo grado ci dice che

    \[ w_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = - \frac12 \pm \imath \frac{\sqrt 3}{2} \]

sono le due soluzioni nel campo complesso; per comodità, si scrivono in forma trigonometrica come segue:

    \[ w_1=\cos \left(-\frac{2\pi}{3}\right) +\imath \sin\left(-\frac{2\pi}{3} \right) \quad \text{e} \quad w_2=\cos\frac{2\pi}{3}+\imath \sin\frac{2\pi}{3}. \]

In conclusione, per trovare le soluzioni dell’equazione di partenza è sufficiente risolvere

    \[ z^3 = w_1 \qquad \text{e} \qquad z^3 = w_2, \]

ovvero trovare le radici terze di w_1 e w_2.

Questo si può fare seguendo la strategia già proposta negli esercizi precedenti sulle radici (ad esempio, Esercizio 13 o Esercizio 14).

Svolgimento punto 5.

Il membro di sinistra dell’equazione (|z|) è un numero reale, perciò lo stesso deve essere vero per il membro di destra z+1; adesso

    \[ z+1 \in \mathbb R \iff z \in \mathbb R \iff z = x + 0 \imath, \]

quindi l’esercizio si riduce a risolvere l’equazione reale

    \[ |x| = x+1, \]

che ha come unica soluzione x = -1/2.

Svolgimento punto 6.

Si può fare un ragionamento analogo a sopra. Infatti, se z = a + \imath b, si ha

    \[ z + \bar z = a + \imath b + a - \imath b = 2a \quad \text{e} \quad z^2= (a^2-b^2) + \imath (2ab). \]

Eguagliando parte reale e immaginaria rispettivamente si ottiene l’equivalente sistema di equazioni reali

    \[ \begin{cases} 2a = a^2 - b^2, \\ ab = 0. \end{cases} \]

Dalla seconda otteniamo a = 0 (e nel qual caso la prima ci dà b = 0) oppure b = 0. Se andiamo a sostituire nella prima equazioni otteniamo

    \[ 2a = a^2 \iff a(a-2)= 0 \iff a = 0 \text{ o } a = 2, \]

quindi concludiamo che le uniche soluzioni del sistema sono (a,b) =(0,0) e (a,b)=(2,0) che corrispondono a

    \[ z_1 = 0 \quad \text{e} \quad z_2 = 2. \]

Svolgimento punto 7.

Per quanto riguarda

    \[ z^2+2\imath z-3=0 \]

si può applicare la formula risolutiva per equazioni del secondo grado, come fatto già in precedenza. Il risultato che si ottiene è

    \[ z_{1,2} = -\imath \pm \sqrt2. \]

Svolgimento punto 8.

Utilizziamo la forma esponenziale: posto z=\rho \mathrm{e}^{\imath\vartheta} e \imath = \mathrm{e}^{\imath \pi/2} si ha

    \[ \rho^3 \mathrm{e}^{\imath (3\vartheta + \pi/2)}=\rho e^{-\imath\vartheta}, \]

da cui eguagliando modulo ed argomento si ottiene il sistema reale

    \[ \begin{cases} \rho^3 = \rho, \\ 3 \vartheta + \pi/2 = - \vartheta + 2k\pi & \vartheta\in[-\pi,\pi). \end{cases} \]

La prima equazione ammette due soluzioni, ovvero \rho = 0 (che corrisponde alla soluzione z = 0) e \rho = 1, mentre la seconda equazione ci da

    \[ 4 \vartheta = 2k\pi - \frac\pi2 \implies \vartheta_k = \frac{k}{2}\pi - \frac\pi8, \]

perciò per rimanere nell’intervallo [-\pi,\pi) i valori ammissibili di k sono

    \[ k \in \{-1,0,1,2\}. \]

In particolare, le soluzioni dell’equazione di partenza sono

    \[ z = 0 \quad \text{e} \quad z_k = \mathrm{e}^{\imath\vartheta_k }. \]

Svolgimento punto 9.

Il primo passo è di sviluppare il prodotto in modo da riorganizzare i termini in modo opportuno successivamente:

    \[ z^2 + z - \imath z - \imath = 0. \]

A questo punto si può raccogliere z per i primi due termini e \imath per gli ultimi due, ottenendo

    \[ z(z+1) - \imath(z+1) = 0, \]

da cui segue che

    \[ (z-\imath)(z+1) = 0 \implies z_1 = \imath \text{ e } z_2 = -1, \]

e queste sono le due soluzioni dell’equazione di partenza.

Svolgimento punto 10.

Possiamo portare la parte reale di z a destra

    \[ z^2 = |z|^2 + 1 - \mathfrak{Re}(z), \]

quindi anche il termine a sinistra deve essere reale. Se scriviamo z=a+\imath b, allora otteniamo subito la relazione

    \[ 0 = \mathfrak{Im}(z^2) = 2ab, \]

il che significa che a = 0 oppure b = 0. Nel primo caso abbiamo z=\imath b, che sostituito nell’equazione iniziale ci da

    \[ -b^2 = b^2 + 1 \implies -2b^2 = 1, \]

e questa non ha soluzioni perché b è un numero reale. Nel secondo caso, invece, abbiamo z = a e sostituendo nell’equazione iniziale si arriva a

    \[ a^2 = a^2 + 1 - a \implies a = 1, \]

quindi l’unica soluzione è data proprio da z = 1.

Svolgimento punto 11.

Poniamo z = \rho \mathrm{e}^{\imath \vartheta}. L’equazione si può riscrivere come

    \[ \rho^4 \mathrm{e}^{-\imath 4 \vartheta} = \rho, \]

da cui si ottiene il seguente sistema di equazioni reali

    \[ \begin{cases} \rho^4 = \rho, \\ - 4 \vartheta = 2k \pi & \vartheta \in [-\pi,\pi).\end{cases} \]

La prima ha come soluzioni \rho = 0 (che corrisponde a z = 0) e \rho = 1, mentre la seconda ci da

    \[ \vartheta_k = - \frac{k}{2} \pi, \quad k = -1,\ldots,2 \]

dove i valori di k sono gli unici per cui \vartheta è ammissibile nel senso che appartiene a [-\pi,\pi). In particolare, le soluzioni sono

    \[ z = 0 \quad \text{e} \quad z_{0,2} = \pm 1 \quad \text{e} \quad z_{-1,1} = \pm \imath. \]

Svolgimento punto 12.

Sia z = a+\imath b. L’equazione si può riscrivere come

    \[ a+\imath b + 3 \imath + a \left( \imath + b^2 \right) = 0. \]

Raccogliendo parte reale e immaginaria, ovvero

    \[ a + ab^2 + \imath(b + 3 + a) = 0, \]

questa corrisponde al seguente sistema di equazioni reali:

    \[ \begin{cases} a + ab^2 = 0, \\ b + 3 +a = 0. \end{cases} \]

Possiamo ricavare una variabile dalla seconda, ad esempio a = -b-3, e sostituire nella prima ottenendo

    \[ -b-3 + (-b-3)b^2 = 0 \implies -b^3 - 3b^2 -b -3 = 0. \]

È facile vedere che b=-3 è una soluzione e se dividiamo per b+3 arriviamo a

    \[ 0=-b^3 - 3b^2 -b -3 = (b+3)(b^2+1), \]

per cui b = -3 è l’unica soluzione reale di questa equazione. In particolare, l’equazione iniziale ha come unica soluzione complessa

    \[ z = -3 \imath. \]

Svolgimento punto 13.

Sia z = \rho \mathrm{e}^{\imath \vartheta}. L’equazione si può riscrivere come

    \[ 2 \rho^2 = \rho^3 \mathrm{e}^{\imath 3 \vartheta}, \]

e questa sappiamo essere equivalente al sistema di equazioni reali

    \[ \begin{cases} \rho^3 = 2 \rho^2, \\ 3 \vartheta = 2k \pi & \vartheta \in [-\pi,\pi). \end{cases} \]

La prima equazione ha soluzioni \rho = 0 (con molteplicità due), che corrisponde a z = 0, e \rho = 2; la seconda, invece,

    \[ \vartheta_k = \frac23 k \pi \quad \text{con } k = -1,0,1, \]

dove i valori di k sono scelti in modo che il vincolo \vartheta_k \in [-\pi,\pi) sia soddisfatto. In particolare, le soluzioni sono

    \[ z= 0 \text{ con molteplicità due e } z_k = 2\mathrm{e}^{\imath \vartheta_k} \text{ con } k \in \{-1,0,1\}. \]

Svolgimento punto 14.

Osserviamo che, essendo |z| al denominatore, stiamo cercando le soluzioni di questa equazione in \mathbb C \setminus \{0\}. Di conseguenza, si ha

    \[ z - \frac{z}{|z|} + 1 = 0 \iff \frac{ z|z| - z + |z| }{|z|} = 0 \iff z |z| - z + |z| = 0. \]

Possiamo sfruttare la forma algebrica z = a +\imath b e riscrivere l’equazione come

    \[ (a+\imath b)\sqrt{a^2+b^2} - (a+\imath b) + \sqrt{a^2+b^2} = 0, \]

e ponendo parte reale e immaginaria uguale a zero si arriva al sistema equivalente di equazioni reali

    \[ \begin{cases} a \sqrt{a^2+b^2} - a + \sqrt{a^2+b^2}=0, \\ b \sqrt{a^2+b^2} - b = 0. \end{cases} \]

Se raccogliamo i fattori comuni nella seconda equazione, otteniamo

    \[ b \left( \sqrt{a^2 + b^2} - 1 \right)= 0. \]

Un prodotto è zero se e solo se uno dei fattori è zero, quindi consideriamo i due casi possibili:

 

  • Se b = 0, la prima equazione si riduce a

        \[ a\sqrt{a^2} - a + \sqrt{a^2} = 0, \]

    che ha come uniche soluzioni a = 0 e a = -2. Tuttavia, la soluzione (a,b)=(0,0) corrisponde a z = 0 e non è dunque ammissibile.

    •  

  • Se b \neq 0, allora necessariamente

        \[ \sqrt{a^2 + b^2} = 1. \]

    Sostituendo questa identità nella prima equazione ci porta a

        \[ a - a + 1 = 0 \iff -1 = 0, \]

    che ovviamente non ammette alcuna soluzione.

Questo significa che l’equazione iniziale è soddisfatta dall’unica soluzione ammissibile (a,b)=(-2,0), che corrisponde a

    \[ z=-2. \]

Svolgimento punto 15.

In questo caso è conveniente utilizzare la forma esponenziale ponendo z = \rho \mathrm{e}^{\imath \vartheta}, osservando che

    \[ \imath = \mathrm{e}^{\imath \pi/2}. \]

Sostituendo nella equazione si trova

    \[ \rho^4 \mathrm{e}^{\imath 4 \vartheta} = 2 \rho \mathrm{e}^{-\imath \pi/2}, \]

che corrisponde al sistema di equazioni reali

    \[ \begin{cases} \rho^4 = 2\rho, \\ 4 \vartheta = - \frac\pi2 + 2k \pi, & \vartheta \in [-\pi,\pi). \end{cases} \]

La prima equazione ha soluzioni \rho = 0 (che corrisponde a z = 0) e \rho = \sqrt[3]{2}, mentre la seconda equazione ci da

    \[ \vartheta_k = - \frac\pi8 + \frac{k}{2} \pi, \quad k = -1,\ldots,2. \]

In particolare, le soluzioni dell’equazione iniziale sono

    \[ z=0 \quad \text{e} \quad z_k = \sqrt[3]{2} \mathrm{e}^{\imath \vartheta_k} \text{ con } k=-1,\ldots,2. \]


 
 

Esercizio 27 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare per quali z \in \mathbb{C} si ha

    \[\imath z^2 + \mathfrak{Im}\left(z+\frac{17}{7}\right) = 21.\]

Suggerimento.

Sfruttare la forma algebrica di z.

Svolgimento.

Sia z = a + \imath b. Sostituendo nell’equazione si ottiene

    \[\imath(a^2 - b^2 + \imath 2ab) + b = 21,\]

e questa è equivalente (ponendo uguali a zero parte reale e immaginaria rispettivamente) al seguente sistema di equazioni reali:

    \[\begin{cases}-2ab + b = 21, \\ a^2-b^2=0.\end{cases}\]

La seconda equazione ci dice che a=b oppure a=-b.

  1. Sostituendo a = b nella prima equazione si ottiene

        \[-2a^2 + a = 21,\]

    ma questa ha discriminante dato da \Delta = 1 - 4 \cdot 42 < 0, quindi non ammette soluzioni reali.

    2.  

  2. Se a = -b, invece, si trova l’equazione

        \[2a^2-a = 21,\]

    ed è facile vedere con la formula risolutiva che questa ha due soluzioni reali e distinte, ovvero a_1 = -3 e a_2 = \frac72.

Di conseguenza l’equazione di partenza ha due soluzioni complesse, ovvero

    \[z_1 = -3 + 3 \imath \quad \text{e} \quad z_2=\frac72 - \frac72 \imath.\]


 
 

Esercizio 28 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare per quali z \in \mathbb{C} si ha

    \[\frac{z^2}{4+|z^2|} + \frac{9}{13} = 0.\]

Suggerimento.

Sfruttare la forma algebrica di z.

Svolgimento.

Se z=a+\imath b allora il suo quadrato è dato da

    \[z^2 = (a^2-b^2) + \imath (2ab).\]

Quindi, tenendo conto che |z^2|=|z|^2, l’equazione si può riscrivere come

    \[\frac{a^2-b^2 + \imath 2ab}{4 + a^2+b^2} + \frac{9}{13}=0.\]

Di nuovo poniamo uguali a zero parte reale e immaginaria rispettivamente, ottenendo il seguente sistema di equazioni reali:

    \[\begin{cases} 13(a^2-b^2) = - 9(4+a^2+b^2) , \\ 2ab = 0.\end{cases}\]

Dalla seconda equazione otteniamo immediatamente a = 0 oppure b = 0. Nel primo caso, sostituendo si arriva a

    \[-13b^2 = - 36 - 9b^2 \implies 4b^2 = 36,\]

e questa ammette due soluzioni reali b = \pm 3. D’altra parte, se b = 0 l’equazione

    \[13a^2 = - 36 - 9a^2\]

non ammette soluzioni reali (discriminante negativo), perciò l’equazione iniziale ammette due soluzioni puramente immaginarie che sono date da

    \[z_1 = 3 \imath \quad \text{e} \quad z_2 = - 3 \imath.\]


 
 

Esercizio 29 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare per quali z \in \mathbb{C} si ha

    \[z^2 + |z^2| + 2 \imath \bar{z}=0.\]

Suggerimento.

Sfruttare la forma algebrica di z.

Svolgimento.

Se z=a+\imath b abbiamo già mostrato che z^2 = (a^2-b^2) + \imath (2ab) per cui l’equazione si può riscrivere come

    \[a^2-b^2 + \imath 2ab + a^2+b^2 + 2 \imath(a-\imath b)=0.\]

Ponendo uguali a zero parte reale e immaginaria del termine a sinistra ci porta al seguente sistema di equazioni reali:

    \[\begin{cases} a^2+b=0,\\ ab +a = 0. \end{cases}\]

Dalla seconda equazione si ricava a = 0 oppure b = -1. Nel primo caso l’altra equazione ci dà b = 0 come unica soluzione, mentre nel secondo caso

    \[a^2-1 = 0 \iff a = \pm 1,\]

perciò l’equazione iniziale ha tre soluzioni complesse date da

    \[z_1=0, \quad z_2 = 1 - \imath, \quad z_1 = -1-\imath.\]


 
 

Esercizio 30 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare per quali z \in \mathbb{C} si ha

    \[\frac{1+z^2}{|z^2|} = 10.\]

Suggerimento.

Come sopra.

Svolgimento.

Come fatto negli esercizi precedenti, se scriviamo z = a + \imath b l’equazione di partenza è del tutto equivalente a

    \[\frac{1+(a^2-b^2)+\imath 2ab}{a^2+b^2}=10,\]

e, portando tutto a sinistra, si arriva a

    \[\frac{1+(a^2-b^2) - 10(a^2+b^2) + \imath 2ab}{a^2+b^2}=0.\]

Poniamo parte reale e immaginaria uguali a zero rispettivamente per ottenere il seguente sistema di equazioni reali:

    \[\begin{cases} 1-9a^2-11b^2=0, \\ ab=0. \end{cases}\]

Il prodotto ab è uguale a zero se e solo se uno dei fattori è nullo, ovvero a=0 oppure b = 0. E’ importante osservare che il caso a=b=0 va escluso dato che annulla il denominatore.

 

  1. Se a = 0 allora la prima equazione ci dà 1-11b^2=0, da cui si trovano le due soluzioni b=\pm 1/\sqrt{11}.

    2.  

  2. Se b = 0 allora 1-9a^2=0 ci dà le due soluzioni a = \pm 1/3.

In particolare, l’equazione iniziale ha quattro soluzioni, due reali e due puramente immaginarie, date da

    \[z_{1,2} = \pm \frac13 \quad \text{e} \quad z_{3,4} = \pm \frac{1}{\sqrt{11}} \imath.\]


 
 

Esercizio 31 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare per quali z \in \mathbb{C} si ha

    \[\frac{|z^4|}{z^2} = - 4.\]

Suggerimento.

Ricordiamo che il modulo soddisfa la seguente proprietà:

    \[|z|^2 = z \bar z \quad \text{per ogni } z \in \mathbb C.\]

Svolgimento.

Per risolvere questo esercizio è sufficiente sfruttare una proprietà del modulo, ovvero

    \[|z|^2 = z \bar{z} \implies |z^4|=|z|^4 = z^2 \bar{z}^2.\]

L’equazione si può riscrivere come

    \[\bar{z}^2 = -4,\]

e questa ha due soluzioni \bar{z}_{1,2}= \pm 2 \imath o, rispetto alla variabile z,

    \[z_{1,2}=\mp 2 \imath.\]


 
 

Esercizio 32 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare per quali z \in \mathbb{C} si ha

    \[\frac{|z^5|}{z^2} = - 27.\]

Suggerimento.

Si può sfruttare il trucco dell’esercizio precedente e poi la forma esponenziale oppure trigonometrica.

Svolgimento.

Dalle proprietà del modulo si vede che

    \[|z|^2 = z \bar{z} \implies |z^5|=|z|^5 = |z||z|^4= |z| z^2 \bar{z}^2,\]

perciò l’equazione di partenza si può riscrivere come

    \[\bar{z}^2 |z| = -27.\]

Dato che -1 = \mathrm{e}^{\imath \pi}, per risolvere è conveniente passare alla forma esponenziale entrambi i membri dell’equazione, ottenendo

    \[|z|^3 \mathrm{e}^{-2\imath \text{Arg }z} = 27 \mathrm{e}^{\imath \pi},\]

che è equivalente al sistema di equazioni reali

    \[\begin{cases} |z|^3 = 27 \\ -2 \text{Arg }z = \pi + 2k \pi, & \text{Arg }z \in [-\pi,\pi). \end{cases}\]

La prima ha come unica soluzione |z| = 3 mentre la seconda ammette due soluzioni nell’intervallo ammissibile, ovvero

    \[\text{Arg }z = - \frac\pi2 \quad \text{e} \quad \text{Arg }z = \frac\pi2,\]

che corrispondono quindi alle due soluzioni complesse dell’equazione iniziale

    \[z_1 = 3 \mathrm{e}^{\imath \frac\pi2} = 3 \imath \quad \text{e} \quad z_2 = 3 \mathrm{e}^{-\imath \frac\pi2} = - 3 \imath.\]


 
 

Esercizio 33 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare per quali z \in \mathbb{C} si ha

    \[z^2 = (\bar{z})^2(25 |z^2|-1).\]

Suggerimento.

Si può scrivere z in forma algebrica oppure osservare che passando l’equazione ai moduli si ottiene

    \[|z|^2 = |z|^2 (25 |z|^2 - 1),\]

da cui |z| = 0 oppure |z|=\sqrt2/5.

Svolgimento.

Se z = a + \imath b allora l’equazione si riscrive come

    \[(a^2-b^2)+2\imath ab = \left[ (a^2-b^2) - 2 \imath ab \right] \left( 25(a^2+b^2) - 1 \right)\]

da cui, ponendo uguali a zero parte reale e immaginaria, si ottiene il seguente sistema equivalente di equazioni reali:

    \[\begin{cases} 2(a^2-b^2) = 25 (a^2-b^2)(a^2+b^2), \\ 50ab(a^2+b^2) = 0. \end{cases}\]

Dalla seconda equazione si ricava a = 0 oppure b = 0 quindi discutiamo separatamente queste due possibilità:

 

  1. Se a = 0, la prima equazione ci da

        \[-2b^2=-25b^4 \iff b^2(25b^2-2) = 0\]

    che ha come soluzioni b = 0 e b=\pm \sqrt{2}/5.

    2.  

  2. Se b = 0, invece, si trova

        \[2a^2 = 25a^4 \iff a^2(25a^2-2)=0,\]

    che ha come soluzioni a = 0 (già trovata in precedenza) e a = \pm \sqrt{2}/5.

In particolare, l’equazione di partenza ammette cinque soluzioni distinte (tre reali e due puramente immaginarie) che sono date da

    \[z_1 = 0, \quad z_{2,3} = \pm \frac{\sqrt{2}}{5}, \quad z_{4,5} = \pm \imath \frac{\sqrt{2}}{5}.\]


 
 

Esercizio 34 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare per quali z \in \mathbb{C} si ha

    \[|z^2|(1+z^2) = 2.\]

Suggerimento.

Usare la parte immaginaria per dedurre informazioni sulle soluzioni dell’equazione.

Svolgimento.

Iniziamo osservando che se si prende la parte immaginaria dei due termini l’uguaglianza diventa

    \[\mathfrak{Im}(z^2) = 0.\]

Di conseguenza, se z=a+\imath b allora

    \[0 = \mathfrak{Im}(z^2) = 2ab,\]

e questa è soddisfatta se e solo se a = 0 oppure b = 0. È chiaro che z = 0 non è soluzione quindi supponiamo z = \imath b per b \neq 0 e sostituiamo:

    \[b^2(1-b^2)=2 \iff b^4 - b^2 + 2 = 0.\]

Poniamo t = b^2 per ridurre il grado ed osserviamo che

    \[t^2 - t + 2 = 0\]

non ammette soluzioni reali perché ha discriminante negativo (\Delta=-3). Supponiamo ora z = a per a \neq 0 e sostituiamo, ottenendo l’equazione

    \[a^2(1+a^2)=2 \iff a^4 + a^2 - 2 = 0.\]

Come sopra introduciamo una variabile ausiliaria t = a^2 ed osserviamo che

    \[t^2+t-2=0\]

ha due soluzioni reali e distinte, ovvero t_1 = 1 e t_2 = -2. La seconda non porta a nulla perché a^2 = -2 non è risolvibile in \mathbb{R}, mentre dalla prima si trova

    \[a^2 = 1 \iff a = \pm 1,\]

e quindi l’equazione di partenza ha come uniche due soluzioni z_1 = 1 e z_2=-1.


 
 

Esercizio 35 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare per quali z \in \mathbb{C} si ha

    \[(\mathrm{e}^{2z}+4)^2 = (\imath \mathrm{e}^{2z} - 4)^2.\]

Suggerimento.

L’esponenziale complesso non si può invertire in maniera immediata come in \mathbb R, ma può essere utile sfruttare la seguente uguaglianza tra insiemi:

    \[\log z = \left\{ \text{Log }z + 2k \pi \: : \: k \in \mathbb Z\right\}.\]

Svolgimento.

Sviluppando i quadrati e portando tutto dallo stesso lato dell’equazione, si ottiene

    \[\begin{aligned} 0 & = \mathrm{e}^{4z} + 16 + 8 \mathrm{e}^{2z} - \left( \imath^2 \mathrm{e}^{4z} + 16 - 8 \imath \mathrm{e}^{2z} \right) \\ & = 2 \mathrm{e}^{4z} + 8(1+\imath)\mathrm{e}^{2z}. \end{aligned}\]

Possiamo semplificare un fattore \mathrm{e}^{2z} perché questo non è uguale a zero per alcun valore di z \in \mathbb C e dunque ci basta risolvere l’equazione

    \[\mathrm{e}^{2z} =- 4(1+\imath).\]

Poiché il logaritmo complesso è a più valori, non possiamo semplicemente invertire come in \mathbb R. Tuttavia vale la seguente uguaglianza tra insiemi:

    \[\left\{ z \in \mathbb C \: : \: \mathrm{e}^{2z} = - 4 (1+\imath)\right\} = \frac12 \log (-4 - 4 \imath).\]

Di conseguenza, ne concludiamo immediatamente che l’equazione di partenza ammette infinite soluzioni della forma

    \[z = \frac12 \Log (-4-4\imath) + k\pi \imath, \quad k \in \mathbb Z,\]

dove \text{Log } indica il valore principale del logaritmo.


 
 

Esercizio 36 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare per quali z \in \mathbb{C} si ha

    \[- \sin z \cos z + \cos^2 z = 1.\]

Suggerimento.

Basta applicare l’identità fondamentale della trigonometria, ovvero

    \[\sin^2 z + \cos^2 z = 1.\]

Svolgimento.

Portiamo tutto a sinistra ed utilizziamo l’identità fondamentale della trigonometria

    \[\sin^2 z + \cos^2 z = 1\]

per riscrivere l’equazione come segue:

    \[- \sin z \cos z - \sin^2 z = -\sin z (\cos z + \sin z) = 0.\]

Il prodotto di due fattori è zero quando lo è almeno uno dei due, perciò discutiamo separatamente i due casi:

 

  1. Il primo fattore si annulla per tutti gli z \in \mathbb C tali che

        \[\sin z = 0,\]

    ma è facile vedere che questi sono dati da

        \[z = \pi k, \quad k \in \mathbb Z.\]

    2.  

  2. Per quanto riguarda il secondo fattore si può procedere direttamente, ma c’è un trucco che la semplifica notevolmente ovvero

        \[\sin \left(z+\frac\pi4\right)= \sin z \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4 \cos z = \frac{\sqrt 2}{2} \left( \sin z + \cos z \right),\]

    perciò si ha l’equivalenza

        \[\sin z + \cos z = 0 \iff \sin \left(z + \frac\pi4 \right)= 0.\]

    La nuova equazione è immediata da risolvere perché, come fatto nel punto precedente, le soluzioni sono date da

        \[z + \frac\pi4 = h \pi, \quad h \in \mathbb Z\]

In conclusione, l’equazione di partenza ammette infinite soluzioni della forma

    \[z = k \pi \quad \text{e} \quad z = -\frac\pi4 + h \pi\]

al variare di k, h \in \mathbb Z.


 
 

Esercizio 37 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare per quali z \in \mathbb{C} si ha

    \[(1-2\imath) \cos z + (-2+\imath) \sin z = - \sqrt{2}+\sqrt{2}\imath.\]

Suggerimento.

Sfruttare la sostituzione w:=\tan\frac{z}{2}.

Svolgimento.

Se portiamo tutto a sinistra e dividiamo per - \imath si arriva ad avere una “forma” più gestibile:

    \[(1+\imath)\sqrt{2} + (2 + \imath) \cos z - (1+2\imath) \sin z = 0.\]

A questo punto si sfrutta una sostituzione molto utile nella risoluzione delle equazioni trigonometriche (reali o complesse), ovvero

    \[w := \tan \frac{z}{2},\]

in modo tale che seno e coseno si possano riscrivere, rispettivamente, come

    \[\sin z = \frac{2w}{1+w^2} \quad \text{e} \quad \cos z = \frac{1-w^2}{1+w^2}.\]

Queste sono note in letteratura come shape formule parametriche. Sostituendo si trova

    \[(1+\imath)\sqrt{2} + (2+\imath) \frac{1-w^2}{1+w^2} - (1+2\imath) \frac{2w}{1+w^2} = 0,\]

da cui, imponendo la condizione w^2 \neq -1, si arriva ad avere una equazione di secondo grado nella variabile complessa w piuttosto complicata, ovvero

    \[w^2\left(-2-\imath + (1+\imath)\sqrt{2} \right) +w \left( -2(1+2\imath) \right) + \left((1+\imath)\sqrt{2} + 2 + \imath \right)=0.\]

A questo punto è sufficiente risolvere per w ottenendo due soluzioni distinte w_1 e w_2 di cui si può trovare l’espressione esplicita. Allora si ha

    \[\tan \frac{z}{2} = w_j \implies \frac{z}{2} = \arctan w_j + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]

per j=1,2, e quindi l’equazione iniziale ha infinite soluzioni della forma

    \[z = 2\arctan w_1 + 2 \pi k \quad \text{e} \quad z = 2\arctan w_1 + 2 \pi h\]

al variare di k, h \in \mathbb Z.


 
 

Esercizio 38 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare per quali z \in \mathbb{C} si ha

    \[z^5 + \mathfrak{Re}(\bar{z} - 7 \imath) + 4 = 0.\]

Suggerimento.

Si può scrivere z in forma algebrica e poi porre uguali a zero parte reale e immaginaria rispettivamente.

Svolgimento.

Iniziamo osservando che togliere 7 \imath alla parte reale di un numero non cambia il risultato, perciò

    \[\mathfrak{Re}(\bar{z}-7\imath)=\mathfrak{Re}(\bar{z}) = \mathfrak{Re}(z).\]

Se z = a+\imath b allora il termine a sinistra si può riscrivere come

    \[(a+\imath b)^5 + a + 4 = (a^5 - 10a^3b^2 + 5 ab^4 + a + 4) + \imath( 5 a^4 b - 10 a^2 b^3 + b^5 ),\]

e dunque l’equazione di partenza è equivalente al sistema reale

    \[\begin{cases} a^5 - 10a^3b^2 + 5ab^4 + a + 4 = 0, \\ 5a^4b - 10a^2b^3 + b^5 = 0.\end{cases}\]

Nella seconda equazione possiamo raccogliere un fattore b ottenendo

    \[b(5a^4 - 10a^2b^2 + b^4) = 0.\]

Per trovare una decomposizione soddisfacente del secondo fattore poniamo b^2 = t, consideriamo a come un parametro ed osserviamo che

    \[t^2 - 10a^2 t + 5a^4 = 0 \implies t_{1,2} = 5a^2 \pm 2\sqrt{5}a^2,\]

da cui si trova che la seconda equazione ha cinque soluzioni:

    \[b_1 = 0, \quad b_{2,3} = \pm \sqrt{5a^2 + 2\sqrt{5}a^2}, \quad b_{4,5} = \pm \sqrt{5a^2-2\sqrt{5}a^2}.\]

Notiamo che la prima equazione del sistema dipende solo da b^2 e b^4 quindi in realtà ci son solo tre casi da discutere dato che b_3^2 = b_2^2 e b_5^2=b_4^2.

 

  • Se b = 0 allora dobbiamo risolvere l’equazione

        \[a^5 + a+4 = 0.\]

    La funzione f(a)=a^5+a+4 ha derivata positiva, perciò f è strettamente crescente crescente. Inoltre, si ha

        \[\lim_{a \to - \infty}f(a)=-\infty \quad \text{e} \quad \lim_{a\to+\infty} f(a)=+\infty,\]

    e,di conseguenza, esiste unico a_1 \in (-3/2,-1) tale che f(a_1) = 0.

    •  

  • Se b = \pm \sqrt{5a^2 + 2\sqrt{5}a^2} allora si ha

        \[a^5 - 10 a^3 (5a^2 + 2 \sqrt{5}a^2) + 5a (5a^2 + 2 \sqrt{5}a^2)^2 + a + 4 = 0 ,\]

    che, ragionando come nel punto precedente, si vede ammettere un’unica soluzione a_2 \in (-1/2,0).

    •  

  • Se b = \pm \sqrt{5a^2 - 2\sqrt{5}a^2} allora si ha

        \[a^5 - 10 a^3 (5a^2 - 2 \sqrt{5}a^2) + 5a (5a^2 - 2 \sqrt{5}a^2)^2 + a + 4 = 0 ,\]

    e, come già detto sopra, si vede avere una soluzione unica a_4 \in (1,3/2).

Riassumendo, l’equazione complessa di partenza ammette cinque soluzioni che sono date da

    \[z_1 = a_1, \quad z_{2,3} =a_2 + \imath b_{2,3}, \quad z_{4,5} = a_4 + \imath b_{4,5}.\]


 
 

Esercizio 39 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare il numero di soluzioni dell’equazione

    \[\bar{z}^9 = z^3 |z|^5.\]

Suggerimento.

Utilizzare la forma esponenziale.

Svolgimento.

Sia z = \rho \mathrm{e}^{\imath \vartheta}. Allora l’equazione si riscrive come

    \[\rho^9 \mathrm{e}^{-9 \imath \vartheta} = \rho^3 \mathrm{e}^{3 \imath \vartheta} \rho^5,\]

e questa è del tutto equivalente al seguente sistema di equazioni reali:

    \[\begin{cases} \rho^9 = \rho^8, \\ -9 \vartheta= 3 \vartheta + 2k \pi. \end{cases}\]

Ovviamente z = 0 è soluzione dell’equazione di partenza, perciò se supponiamo z \neq 0 la prima ha come unica soluzione \rho = 1 e la seconda ci da

    \[12 \vartheta = 2k \pi \implies \vartheta = k \frac\pi6, \quad k \in \mathbb{Z}.\]

È facile vedere che questa ha 12 soluzioni distinte nell’intervallo [-\pi,\pi) quindi l’equazione iniziale ammette un totale di 13 soluzioni che sono date da

    \[z_0 = 0 \quad \text{e} \quad z_k = \mathrm{e}^{\imath k \frac\pi6} \text{ con }k = -6, \ldots, 5.\]


 
 

Esercizio 40 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere le seguenti equazioni nei complessi:

 

  1. 2z-4\bar{z}+|z|^2+6\imath=0;
  2. z^2\bar{z} + z \bar{z}^2 - (3+\imath)|z|^2 - 3z^2=0.

Suggerimento.

Utilizzare la forma algebrica.

Svolgimento punto 1.

Per la prima equazione scriviamo z in forma algebrica come a + \imath b e sostituiamo, ottenendo

    \[2(a+\imath b)-4(a-\imath b) + a^2+b^2 + 6 \imath = 0.\]

Ponendo uguale a zero parte reale e immaginaria si ottiene il seguente sistema di equazioni reali:

    \[\begin{cases}-2a+a^2+b^2 = 0, \\ 6b + 6 = 0. \end{cases}\]

Dalla seconda si trova b = -1 come unica soluzione, perciò sostituendo nella prima si trova

    \[a^2-2a + 1 = 0,\]

e questo è il quadrato di un binomio, perciò ha soluzione a=1 con molteplicità due. In particolare, l’unica soluzione di (1) è data da

    \[z = 1 - \imath.\]

Svolgimento punto 2.

Per la seconda equazione osserviamo che z \bar{z}=|z|^2 perciò si riscrive come

    \[z|z|^2 + \bar{z}|z|^2 - (3+\imath)|z|^2 - 3z^2 = 0.\]

Se z = a + \imath b si ha

    \[(a^2+b^2)(a+\imath b + (a - \imath b) - (3 + \imath)) - 3(a^2-b^2 + 2 \imath ab) = 0,\]

da cui facendo come sopra si trova il sistema

    \[\begin{cases} (2a- 3)(a^2+b^2) - 3(a^2-b^2)=0, \\ -(a^2+b^2) - 6ab = 0. \end{cases}\]

Le soluzioni di questo sistema sono (a,b)=(0,0) e

    \[ (a,b) = \left( \frac32 - \sqrt2, - \frac12 \right) \quad \text{e} \quad (a,b)= \left( \frac32 + \sqrt2, -\frac12\right). \]

Ne segue immediatamente che le soluzioni della seconda equazione sono z_1= 0,

    \[z_2 = \left( \sqrt2 + \frac32 \right) - \imath \frac12 \quad \text{e} \quad z_3 = \left( -\sqrt2 + \frac32 \right) - \imath \frac12.\]


 
 

Esercizio 41 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare il numero di soluzioni del sistema

    \[\begin{cases}z^{10}=3+8\imath, \\ z^5 = 8 - 3 \imath. \end{cases}\]

Suggerimento.

Non servono conti.

Svolgimento.

Poiché z^{10}=z^5 z^5 = (z^5)^2, il sistema ammette una soluzione se e solo se la seguente uguaglianza è verificata:

    \[3 + 8 \imath = (8-3\imath)^2.\]

Tuttavia, un semplice calcolo mostra che i due numeri complessi sono diversi, e conseguentemente il sistema non ammette soluzioni.


 
 

Esercizio 42 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Si trovino tutte le soluzioni complesse dell’equazione

    \[|\cos (\imath z) + \sinh z| = \mathrm{e}^{\imath z}.\]

Suggerimento.

Sfruttare le definizioni di seno e coseno iperbolico per riscrivere il termine a sinistra.

Svolgimento.

Iniziamo osservando che

    \[\cos(\imath z) = \mathfrak{Re}(\imath z) = \frac{\mathrm{e}^{z} + \mathrm{e}^{-z}}{2} = \cosh z,\]

e di conseguenza il termine a sinistra dentro il modulo si può riscrivere come

    \[\cosh z + \sinh z = \frac{\mathrm{e}^{z} + \mathrm{e}^{-z}}{2} + \frac{\mathrm{e}^{z} - \mathrm{e}^{-z}}{2} = \mathrm{e}^z.\]

A questo punto, ricordando che |\mathrm{e}^z|=\mathrm{e}^{\mathfrak{Re}(z)}, l’equazione da cui siamo partiti è equivalente a

    \[\mathrm{e}^{\mathfrak{Re}(z)} = \mathrm{e}^{\imath z}.\]

Se z=x+\imath y, l’equazione si può riscrivere come

    \[ \mathrm{e}^x = \mathrm{e}^{-y + \imath x}, \]

che è del tutto equivalente al sistema reale

    \[\begin{cases} \mathrm{e}^x = \mathrm{e}^{-y}, \\ \mathrm{e}^{ix} = 1. \end{cases}\]

La prima equazione ha come soluzione x = -y, mentre la seconda equazione ha infinite soluzioni della forma

    \[ x = 2 \pi k \quad \text{per } k \in \mathbb Z. \]

Chiaramente, queste due soluzioni sono compatibili se e solo se y è un multiplo di 2\pi; in particolare, il sistema ha infinite soluzioni della forma

    \[ (x,y) = (2 \pi k, - 2 \pi k), \qquad \text{per } k \in \mathbb Z. \]

L’equazione iniziale ha infinite soluzioni

    \[ z_k = 2 \pi k(1 - \imath), \qquad \text{per } k \in \mathbb Z \]

e, di conseguenza, possiamo concludere che l’unica soluzione intera è data da z = 0.


 
 

Esercizio 43 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). L’equazione z^6 + z^3 + 1 = 0 ha (una o più) radici complesse con argomento \vartheta compreso tra \pi/2 e \pi. Determinare i valori di \vartheta.

Suggerimento.

Introdurre la variabile w := z^3.

Svolgimento.

Per semplificare introduciamo la variabile ausiliaria w = z^3 e sostituiamo, ottenendo la seguente equazione di secondo grado:

    \[w^2 + w + 1 = 0.\]

Le soluzioni sono w_{1,2} = - 1/2 \pm \sqrt{3}/2 \imath, che possiamo riscrivere (per esplicitare l’argomento) in forma esponenziale come

    \[w_1 = \mathrm{e}^{\imath \frac23 \pi}\quad \text{e} \quad w_2 = \mathrm{e}^{-\imath \frac23 \pi}.\]

A questo punto possiamo trovare le soluzioni di z^3 = w_1 (per w_2 è analogo) utilizzando la forma esponenziale di z, ottenendo il sistema

    \[\begin{cases}|z|^3 = 1, \\ 3\arg z = \frac23 \pi + 2k \pi, & \text{Arg }z \in [-\pi,\pi). \end{cases}\]

La prima equazione ha soluzione |z|=1, mentre la seconda ha tre soluzioni nell’intervallo di ammissibilità che sono date da

    \[\text{Arg }z = \frac29 \pi, \quad \text{Arg }z = \frac89 \pi, \quad \text{Arg }z = - \frac49 \pi,\]

che corrispondono quindi alle soluzioni complesse

    \[z_1 = \mathrm{e}^{\imath \frac29 \pi}, \quad z_2 = \mathrm{e}^{\imath \frac89 \pi}, \quad z_3=\mathrm{e}^{-\imath \frac49\pi}.\]

Si può fare un ragionamento analogo con w_2 oppure osservare che w_2 = \bar w_1, da cui segue che le soluzioni sono date da

    \[z_4 = \bar z_1 = \mathrm{e}^{-\imath \frac29 \pi}, \quad z_5 = \bar z_2 = \mathrm{e}^{-\imath \frac89 \pi}, \quad z_6 = \bar z_3=\mathrm{e}^{\imath \frac49\pi}.\]

A questo punto è facile verificare che z_2 è l’unica soluzione che soddisfa la condizione richiesta, dunque l’unico valore di \vartheta ammissibile è 8/9 \pi.


 
 

Esercizio 44 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Mostrare che si possono trovare a,b \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} tali che l’equazione

    \[x^2 - ax + b= 0\]

ammetta almeno una radice reale. Si dica poi se è possibile trovare a e b come sopra in modo che entrambe le radici siano reali.

Suggerimento.

La prima parte dell’esercizio si risolve semplicemente calcolando le soluzioni con la formula per equazioni del secondo grado e imponendo opportune condizioni su a,b.

Svolgimento.

Il discriminante è dato da

    \[\Delta = a^2 - 4b,\]

perciò le soluzioni dell’equazione sono

    \[x_{1,2} = \frac{a \pm \sqrt{a^2-4b}}{2}.\]

Supponiamo di voler trovare a,b \in \mathbb C in modo tale che la soluzione con il – sia reale, ovvero vogliamo che si abbia

(13)   \begin{equation*} \mathfrak{Im} \left[ a - \sqrt{a^2-4b}\right] = 0. \end{equation*}

Scriviamo a = u_a + \imath v_a e b = u_b + \imath v_b ed osserviamo subito che

    \[a^2 - 4b = (u_a^2-v_a^2 - 4 u_b) + \imath(2 u_av_a - 4 v_b).\]

Avendo bisogno della radice di questo numero, per semplificare i calcoli successivi è sensato porre la parte immaginaria uguale a zero:

    \[u_av_a = 2 v_b.\]

Segue immediatamente che

    \[\sqrt{a^2-4b}=\sqrt{u_a^2-v_a^2-4u_b},\]

ed è facile vedere che la quantità dentro la radice deve essere negativa dato che dalla condizione (13) abbiamo

    \[\mathfrak{Im} \left[ \sqrt{u_a^2-v_a^2-4u_b} \right] = \mathfrak{Im}(a) = v_a.\]

Una possibilità è quindi quella di scegliere u_a^2=4u_b (eventualmente entrambi uguali a zero, ma non è importante) e v_a > 0 così che

    \[\sqrt{a^2-4b} = \sqrt{-v_a^2} = \imath |v_a| = \imath v_a,\]

che è proprio ciò che volevamo. In particolare, segue facilmente che

    \[\frac{a - \sqrt{a^2-4b}}{2} = \frac{u_a+\imath v_a - \imath v_a}{2} = \frac{u_a}{2} \in \mathbb{R},\]

e questo conclude la prima parte dell’esercizio. Per la seconda parte supponiamo per assurdo di avere entrambe le radici reali, ovvero

    \[\frac{a + \sqrt{a^2-4b}}{2}, \frac{a - \sqrt{a^2-4b}}{2} \in \mathbb{R}.\]

Allora anche la loro somma deve essere un numero reale, ma è facile vedere che

    \[\frac{a + \sqrt{a^2-4b}}{2} + \frac{a - \sqrt{a^2-4b}}{2} = \frac{2a}{2} = a \in \mathbb{R},\]

contro l’ipotesi da cui siamo partiti, ovvero che sia a che b devono essere numeri non reali.


 
 

Esercizio 45 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere al variare di a,b \in \mathbb R il seguente sistema di equazioni complesse:

    \[\begin{cases}|z|=|w|, \\ z+w = a, \\ z^2+w^2 = b. \end{cases}\]

Suggerimento.

Distinguere il caso a^2=b dal caso a^2 \neq b e, per quest’ultimo, utilizzare la forma esponenziale.

Svolgimento.

Iniziamo mostrando che nel caso a^2=b il sistema non ammette soluzioni. Infatti, eleviamo al quadrato la seconda equazione,

    \[a^2 = (z+w)^2=z^2+w^2+2zw,\]

e andiamo a sostituirla nella terza, ottenendo la relazione seguente:

    \[a^2 = b + 2zw \implies 2zw = a^2-b = 0 \implies zw = 0.\]

In particolare, uno dei due deve essere uguale a zero. Tuttavia, è facile vedere che se w=0 dalla prima equazione si trova

    \[|z|=|w| = 0 \implies z = 0,\]

e quindi

    \[a = z+ w = 0 \quad \text{e} \quad b=z^2+w^2=0,\]

contro le ipotesi che a,b \in \mathbb C sono non-nulli.

Passiamo quindi al caso a^2\neq b. La prima equazione ci suggerisce di utilizzare la forma esponenziale e, ponendo \rho = |z|=|w|, possiamo scrivere

    \[z = \rho \mathrm{e}^{\imath \alpha} \quad \text{e} \quad w = \rho \mathrm{e}^{\imath \beta}.\]

Abbiamo già utilizzato la prima informazione, perciò si ottiene un nuovo sistema con soltanto le ultime due equazioni, ovvero

    \[\begin{cases} \mathrm{e}^{\imath \alpha} + \mathrm{e}^{\imath \beta} = \frac{a}{\rho}, \\ \mathrm{e}^{\imath 2\alpha}+\mathrm{e}^{\imath 2\beta} = \frac{b}{\rho^2}. \end{cases}\]

Elevando al quadrato la prima equazione e sostituendo nella seconda, come fatto nel caso b=a^2, si trova la relazione

    \[\mathrm{e}^{\imath(\alpha+\beta)} =\frac{a^2-b}{2\rho^2}.\]

Possiamo allora rimpiazzare una delle due equazioni con l’ultima condizione ottenuta, ricavando il nuovo sistema

    \[\begin{cases} \mathrm{e}^{\imath \alpha} + \mathrm{e}^{\imath \beta} = \frac{a}{\rho}, \\ \mathrm{e}^{\imath(\alpha+\beta)} =\frac{a^2-b}{2\rho^2}. \end{cases}\]

Questo è un sistema di secondo grado omogeneo nelle variabili \mathrm{e}^{\imath \alpha} e \mathrm{e}^{\imath \beta}, perciò per risolverlo consideriamo l’equazione ausiliaria

    \[t^2-\frac{a}{\rho} t+\frac{a^2-b}{2\rho^2}=0.\]

È semplice verificare che se t_1 e t_2 sono le due soluzioni di questa equazione ausiliaria, allora le due coppie

    \[(\mathrm{e}^{\imath \alpha},\mathrm{e}^{\imath \beta})= (t_1,t_2) \quad \text{e} \quad (\mathrm{e}^{\imath \alpha},\mathrm{e}^{\imath \beta})= (t_2,t_1)\]

sono le uniche soluzioni del sistema omogeneo. Il discriminante dell’equazione si calcola facilmente come segue:

    \[\Delta=\frac{a^2}{\rho^2}-\frac{2a^2-2b}{\rho^2}=\frac{2b-a^2}{\rho^2}.\]

Per ipotesi a e b sono numeri complessi, perciò quando prendiamo la radice del discriminante \sqrt \Delta, ci sono due possibili valori che sono le soluzioni di

    \[z^2 = \Delta.\]

È tuttavia facile mostrare che, se indichiamo con \omega una delle due soluzioni, allora l’altra sarà esattamente -\omega. Di conseguenza, si ha

    \[t_{1,2} = \frac12 \left[ \frac{a}{\rho} \pm \frac{\omega}{\rho} \right] = \frac{a \pm \omega}{2\rho},\]

il che significa che le due soluzioni del sistema sono

    \[\mathrm{e}^{\imath \alpha} = \frac{a \pm \omega}{2\rho} \quad \text{e} \quad \mathrm{e}^{\imath \beta} = \frac{a \mp \omega}{2\rho}.\]

Affinché queste soluzioni siano accettabili dobbiamo verificare che i termini a destra dell’uguale abbiano modulo uguale ad uno o, in altre parole, che

    \[\rho=\frac{|a\pm\omega|}{2}.\]

Se moltiplichiamo le due condizioni si ottiene

    \[\rho^2=\frac{|a+\omega|\cdot|a-\omega|}{4}=\frac{|a^2-\omega^2|}{4}=\frac{|a^2-2b+a^2|}{4}=\frac{|a^2-b|}{2},\]

mentre, osservando che \rho = \rho, si ha anche l’ulteriore condizione

    \[\frac{|a+\omega|}{2}=\frac{|a-\omega|}{2} \implies |a+\omega|=|a-\omega|.\]

Elevando al quadrato quest’ultima uguaglianza e ricordando che |z|=z\bar z per ogni z \in \mathbb C, segue immediatamente che

    \[(a+\omega)(\bar a + \bar \omega) = (a-\omega)(\bar a - \bar \omega),\]

e svolgendo le moltiplicazioni e semplificando i termini comuni porta a

    \[a \bar \omega + \bar a \omega = 0.\]

Elevando al quadrato quest’ultima condizione si trova

    \[a^2 \bar \omega^2 + 2 |a|^2 |\omega|^2 + \bar a^2 \omega^2 = 0\]

e, ricordando che \omega^2 = 2b - a^2, otteniamo

(14)   \begin{equation*} a^2(2 \bar b - \bar a^2) + 2|a|^2 |2b-a|^2 + \bar a^2 (2b - a^2)=0. \end{equation*}

Ne segue perciò che il sistema di partenza ammette due soluzioni

    \[(z,w) = \left( \frac{a+\omega}{2}, \frac{a-\omega}{2}\right) \quad \text{e} \quad (z,w) = \left( \frac{a-\omega}{2}, \frac{a+\omega}{2}\right),\]

con \omega = \sqrt{2b-a^2} da intendere come detto sopra e sotto la condizione (14).


 
 

Disuguaglianze, \sup/\inf e insiemi

 

Esercizio 46 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente disuguaglianza

    \[\mathfrak{Re} \left( (z-1)(z-2\imath)\right) \ge \mathfrak{Re}(z-1) \mathfrak{Re}(z-2\imath).\]

Suggerimento.

Usare la forma algebrica.

Svolgimento.

Sia z = a + \imath b. I due numeri complessi si scrivono in forma algebrica come

    \[z-1 = (a-1) + \imath b \quad \text{e} \quad z - 2 \imath = a + (b-2)\imath,\]

perciò il prodotto è dato da

    \[(z-1)(z-2\imath) = a(a-1) - b(b-2) + \imath \left((a-1)(b-2) + ab \right).\]

Di conseguenza la disuguaglianza si riscrive in termini di a e b come

    \[a^2 - a - b^2 + 2b=a(a-1) - b(b-2) \ge (a-1)a = a^2 - a\]

e portando tutto a sinistra si trova

    \[-b^2+2b \ge 0.\]

La soluzione di questa disequazione è 0 \le b \le 2 perciò, considerando che

    \[ b = \mathfrak{Im}(z), \]

la disequazione di partenza è soddisfatta da tutti i numeri complessi z tali che \mathfrak{Im}(z) \in [0,2]. Graficamente si può rappresentare come una “striscia” orizzontale di spessore due.


 
 

Esercizio 47 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente disuguaglianza

    \[|z-2\imath|^2 - 8 > |z|^2 - |z+2\imath|^2.\]

Suggerimento.

Usare la forma algebrica.

Svolgimento.

Sia z = a + \imath b. Il termine a sinistra è dato da

    \[|z-2\imath|^2 - 8 = a^2 + (b-2)^2 - 8 = a^2 + b^2 - 4b -4,\]

mentre quello a destra

    \[|z|^2 - |z+2\imath|^2 = a^2+b^2 - a^2 - (b+2)^2 = -4b - 4.\]

La disuguaglianza si può riscrivere come

    \[a^2+b^2-4b-4 > -4b-4,\]

e se portiamo tutto a sinistra otteniamo

    \[a^2+b^2 > 0.\]

Questa è ovviamente verificata per ogni a,b \in \mathbb{R} con a,b entrambi non nulli. In altre parole, la disuguaglianza di partenza è verificata per ogni z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}.


 
 

Esercizio 48 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’estremo superiore e inferiore dell’insieme

    \[A = \left\{ |z-w| \: : \: |z-2| \le 1, \, \mathfrak{Re}(w-\imath \bar{w})=0 \right\}.\]

Suggerimento.

Identificare sul piano complesso le due figure geometriche date dalle condizioni per trovare z e w.

Svolgimento.

Innanzitutto osserviamo che

    \[0=\mathfrak{Re}(w-\imath\bar w) = \mathfrak{Re}(w) + \imath^2 \mathfrak{Im}(\bar w) = \mathfrak{Re}(w) - \mathfrak{Im}(w),\]

per cui w si può scrivere in forma algebrica come w = a(1+\imath), ovvero

    \[w \in \left\{ (a,b) \in \mathbb{R}^2 \: : \: a = b \right\},\]

che è esattamente la retta di coefficiente angolare uno e passante per l’origine nel piano complesso. Analogamente, la condizione

    \[|z-2| \le 1\]

ci dice che z appartiene alla palla di centro (2,0) e raggio uno nel piano complesso, quindi da un punto di vista geometrico la quantità

    \[|z-w|\]

che dobbiamo calcolare altro non è che la distanza tra due punti, uno sulla circonferenza e uno sulla retta in esame.

 

  1. L’estremo superiore dell’insieme è + \infty dato che la retta è illimitata. Infatti, dati

        \[z = 2 + 0 \imath \quad \text{e} \quad w_a := a(1+\imath),\]

    allora si ha

        \[|z-w_a|^2 = (a-2)^2 + a^2 = 2a^2 + 4 - 4a.\]

    Se prendiamo il limite per a \to +\infty, si ottiene esattamente +\infty.

    2.  

  2. Per trovare l’estremo inferiore, prendiamo un punto della retta e uno sul bordo della circonferenza, ovvero

        \[z = a + \imath \sqrt{1-(a-2)^2} \quad \text{e} \quad w = c(1+\imath).\]

    La distanza tra i due è data da

        \[|z-w|^2 = (a-c)^2 + (\sqrt{1-(a-2)^2} - c)^2\]

    ed è dunque sufficiente minimizzare rispetto ad a e c, con a\in (0,4) e c qualsiasi.

    Un approccio alternativo è il seguente. Consideriamo la famiglia di rette perpendicolari alla bisettrice del primo e terzo settore, ovvero

        \[b = - a + \kappa, \quad \kappa \in \mathbb{R},\]

    e scegliamo \kappa tale che questa passi per il centro della circonferenza:

        \[b = - a +2.\]

    Questa interseca la retta b = a nel punto w_0=1+\imath e la circonferenza nei punti che sono soluzione del sistema

        \[\begin{cases}b = - a + 2, \\ (a-2)^2+b^2=1. \end{cases}\]

    È facile vedere che le due soluzioni sono

        \[z_1 = 2 - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}\imath \quad \text{e} \quad z_2 = 2 + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}\imath,\]

    ma a noi interessa solo z_1 perché siamo interessati alla distanza minima tra circonferenza e retta. Si ha

        \[|z_1-w_0|^2 = \left(2 - \frac{1}{\sqrt{2}}-1\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}-1\right)^2 = 3 - 2 \sqrt{2},\]

    da cui segue che

        \[\inf A = \min A = \sqrt{3-2\sqrt{2}}.\]


 
 

Esercizio 49 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’estremo superiore e inferiore dell’insieme

    \[B = \left\{ |z-w| \: : \: |z+2-3\imath| \le 3, \, |w-4-4\imath|\le 4 \right\}.\]

Suggerimento.

Identificare \mathbb C con \mathbb{R}^2 ed osservare che z e w variano all’interno di due dischi per calcolare \sup ed \inf.

Svolgimento.

Come fatto nell’esercizio precedente, possiamo identificare \mathbb{C} con \mathbb{R}^2 tramite la solita corrispondenza

    \[\mathbb{C}\ni z = a+ \imath b \mapsto (a,b) \in \mathbb{R}^2.\]

Trovare l’estremo inferiore/superiore di B equivale a minimizzare/massimizzare la funzione distanza tra due palle in \mathbb{R}^2, ovvero

    \[\mathcal{C}_1 : (a+2)^2+(b-3)^2 \le 9 \quad \text{e} \quad \mathcal{C}_2 : (a-4)^2+(b-4)^2 \le 16.\]

Le due circonferenze si intersecano perciò l’estremo inferiore, che è anche un minimo, è uguale a zero. Ad esempio, il punto (a,b)=(1,3) soddisfa

    \[\begin{aligned}& (1+2)^2+(3-3)^2 = 9 \le 9 \implies (1,3) \in \mathcal{C}_1, \\ & (1-4)^2+(3-4)^2 = 10 \le 16 \implies (1,3) \in \mathcal{C}_2, \end{aligned}\]

e quindi appartiene ad entrambe le circonferenze. Per trovare l’estremo superiore consideriamo la retta che passa per entrambi i centri, ovvero

    \[r : b = \frac{a}{6}+\frac{10}{3}.\]

Vogliamo trovare i punti di intersezione di questa retta con le due circonferenze (escludendo poi quelli più vicini) perciò iniziamo con il risolvere il sistema

    \[\begin{cases} b = \frac{a}{6}+\frac{10}{3}, \\ (a+2)^2+(a-3)^2=9. \end{cases}\]

Questa ha come soluzioni

    \[z_1 = \frac{18}{\sqrt{37}} - 2 + \left(3 + \frac{3}{\sqrt{37}}\right)\imath \quad \text{e} \quad z_2= -\frac{18}{\sqrt{37}} - 2 + \left(3 - \frac{3}{\sqrt{37}}\right)\imath,\]

ma è facile vedere (facendo il grafico, ad esempio) che a noi interessa soltanto z_2 per massimizzare la distanza. In maniera analoga, il sistema di equazioni

    \[\begin{cases}b = \frac{a}{6}+\frac{10}{3}, \\ (a-4)^2+(b-4)^2=16, \end{cases}\]

ha come soluzioni

    \[w_1 = 4 - \frac{24}{\sqrt{37}} + \left(4-\frac{4}{\sqrt{37}} \right)\imath \quad \text{e} \quad w_2 = 4 + \frac{24}{\sqrt{37}} + \left(4+\frac{4}{\sqrt{37}} \right)\imath,\]

ma per gli stessi motivi sopra consideriamo w_2. Allora

    \[|z_2-w_2|^2 = (7+\sqrt{37})^2,\]

da cui segue che

    \[\sup B = \max B = 7 + \sqrt{37}.\]


 
 

Esercizio 50 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare il luogo dei punti del piano dato dalle seguenti relazioni

    \[\begin{aligned} & A_1 = \left\{ z \in \mathbb C \: : \: |z| = |z+\imath|\right\}, \\ & A_2 = \left\{ z \in \mathbb C \: : \: \mathfrak{Re}(z^2)>2 \right\}, \\ & A_3 = \left\{ z \in \mathbb C \: : \: \mathfrak{Im}(1/z)=-1\right\}. \end{aligned}\]

Suggerimento.

Risolvere le equazioni/disequazioni per determinare il luogo dei punti che le soddisfano e poi verificare se si tratta di una figura geometrica nota.

Svolgimento punto 1.

Per trovare gli elementi di A_1 usiamo la forma algebrica z = a + \imath b così da ottenere la seguente equazione:

    \[|a+\imath b| = |a+\imath(b+1)|.\]

Possiamo elevare entrambi i termini al quadrato e calcolare il modulo

    \[a^2 + b^2 = a^2 + (b+1)^2\]

da cui sviluppando e semplificando i termini comuni si arriva all’equazione

    \[0 = 2b + 1.\]

Di conseguenza, un numero complesso z = a + \imath b appartiene ad A_1 se e solo se è della forma

    \[z = a + -\frac 12 \imath,\]

quindi A_1 è la retta parallela all’asse reale che passa per (0,-1/2). In alternativa, si può scrivere

    \[A_1 = \left\{ z \in \mathbb C \: : \: \mathfrak{Im}(z) = - \frac12 \right\}.\]

Svolgimento punto 2.

Per determinare A_2 utilizziamo ancora la forma algebrica z = a + \imath b. E’ immediato verificare che

    \[z^2 = a^2 - b^2 + \imath 2ab \implies \mathfrak{Re}(z^2)=a^2-b^2,\]

per cui la condizione di appartenenza ad A_2 si riscrive come

    \[a^2-b^2 > 2.\]

In particolare, A_2 è l’insieme complementare della iperbole x^2+y^2 \le 2 e si può scrivere come segue:

    \[ A_2 = \left\{ z \in \mathbb C \: : \: \pm \mathfrak{Re}(z) > \sqrt2 \text{ e } -\sqrt{\mathfrak{Re}(z)^2 -2} < \mathfrak{Im}(z) < \sqrt{\mathfrak{Re}(z)^2 +2} \right\} \]

Svolgimento punto 3.

Infine, nel terzo caso abbiamo

    \[\frac1z = \frac{1}{a+\imath b} = \frac{a}{a^2+b^2} - \imath \frac{b}{a^2+b^2},\]

da cui segue che

    \[\mathfrak{Im}(1/z)=-1 \iff \frac{b}{a^2+b^2} = 1.\]

Moltiplicando per a^2+b^2 (diverso da zero, altrimenti 1/z non è definito) otteniamo

    \[a^2 + b^2 - b = 0,\]

e questa è l’equazione della circonferenza di centro (0,1/2) e raggio 1/2.


 
 

Esercizio 51 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Si mostri che il seguente sottoinsieme dei numeri complessi,

    \[D = \left\{ z \in \mathbb{C} \: : \: \left| \frac{z-1}{z+1} \right|= 2 \right\},\]

è una circonferenza, e se ne determini raggio e centro.

Suggerimento.

Sfruttare il fatto che il modulo di un rapporto è uguale al rapporto dei moduli.

Svolgimento.

Dalla teoria sappiamo che il modulo di un rapporto è uguale al rapporto dei moduli, perciò (assumendo z \neq -1) si ha

    \[\left| \frac{z-1}{z+1} \right| = 2 \iff |z-1| = 2 |z+1|.\]

Sia z = a + \imath b. I due moduli sono dati da

    \[|z-1|=|(a-1) + \imath b| = \sqrt{(a-1)^2 + b^2} \quad \text{e} \quad |z+1|=\sqrt{(a+1)^2+b^2},\]

e sostituendo nell’equazione troviamo

    \[\sqrt{(a-1)^2+b^2} = 2 \sqrt{(a+1)^2+b^2}.\]

Dato che entrambi i termini sono positivi per ogni valore di x ed y, possiamo elevare al quadrato ottenendo

    \[(a-1)^2 + b^2 = 4(a+1)^2 + 4b^2.\]

Portando tutto a destra otteniamo la relazione

    \[3a^2 + 10a + 3b^2 + 3 = 0,\]

che è l’equazione della circonferenza di raggio \frac43 e centro (-\frac53,0).


 
 

Esercizio 52 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Si caratterizzi il luogo dei punti che descrive l’insieme

    \[D = \left\{ z \in \mathbb{C} \: : \: \text{Arg }\left( \frac{z-1}{z+1} \right)= \frac\pi2 \right\}.\]

Suggerimento.

Ricordare che dati z_1,z_2 \in \mathbb{C} con z_2\neq 0 si ha

    \[\text{Arg }(z_1/z_2) = \text{Arg }z_1 - \text{Arg }z_2 + 2 \pi N_.\]

Svolgimento.

Dalla teoria sappiamo che la funzione argomento principale soddisfa la seguente proprietà

    \[\text{Arg }(z_1/z_2) = \text{Arg }z_1 - \text{Arg }z_2 + 2 \pi N_-,\]

dove N_-(z_1,z_2) è già stato definito in (3). Di conseguenza, si può caratterizzare l’insieme D trovando le soluzioni dell’equazione

    \[\text{Arg }(z-1)-\text{Arg }(z+1) + 2 \pi N_- = \frac\pi2,\]

ma c’è un modo più semplice di procedere. Infatti, posto w:=(z-1)/(z+1), l’equazione si riduce a

    \[\text{Arg }w = \frac\pi2,\]

e questa è di immediata risoluzione dato che avere argomento uguale a \pi/2 equivale ad avere parte reale zero e parte immaginaria positiva; ovvero si ha

    \[\text{Arg }w = \frac\pi2 \iff w = \imath v, \quad v > 0.\]

Per concludere ci basta esprimere parte immaginaria e reale di w in termini di z = a+ \imath b. Razionalizzando si ottiene

    \[\begin{aligned} w = \frac{z-1}{z+1} & = \frac{(a-1) + \imath b}{(a+1) + \imath b} \cdot \frac{(a+1)-\imath b}{(a+1)-\imath b} \\ & = \frac{(a-1)(a+1) + b^2 + \imath (a+1)b - \imath (a-1)b }{(a+1)^2 + b^2} \\ & = \frac{a^2 - 1 + b^2 + \imath (2b)}{(a+1)^2+b^2}, \end{aligned}\]

da cui segue che parte reale e immaginaria di w sono rispettivamente date da

    \[\mathfrak{Re}(w) = \frac{a^2+b^2-1}{(a+1)^2 + b^2} \quad \text{e} \quad \mathfrak{Im}(w) = \frac{2b}{(a+1)^2 + b^2}.\]

Per concludere, imponiamo le due condizioni trovate in precedenza, ovvero \mathfrak{Re}(w) = 0 e \mathfrak{Im}(w)>0. Si ha

    \[a^2 + b^2 - 1= 0 \qquad \text{e} \qquad b >0,\]

da cui segue che

    \[ D = \left\{ z \in \mathbb C \: : \: -1 < \mathfrak{Re}(z) < 1 \text{ e } \mathfrak{Im}(z) = \sqrt{1 - \mathfrak{Re}(z)^2}\right\}. \]


 

Riferimenti bibliografici sugli esercizi sui numeri complessi

[1] S. L. Parsonson, Pure Mathematics Vol. 2, Cambridge University Press, 1970.

[2] C. Mantegazza, Problemi di Analisi I dal Corso del I Anno alla Scuola Normale Superiore di Pisa, MCM, 2016.

 
 

Tutta la teoria di analisi matematica

Leggi...

  1. Teoria Insiemi
  2. Il metodo della diagonale di Cantor
  3. Logica elementare
  4. Densità dei numeri razionali nei numeri reali
  5. Insiemi Numerici \left(\mathbb{N},\, \mathbb{Z},\, \mathbb{Q}\right)
  6. Il principio di induzione
  7. Gli assiomi di Peano
  8. L’insieme dei numeri reali: costruzione e applicazioni
  9. Concetti Fondamentali della Retta Reale: Sintesi Teorica
  10. Costruzioni alternative di \mathbb{R}
  11. Binomio di Newton
  12. Spazi metrici, un’introduzione
  13. Disuguaglianza di Bernoulli
  14. Disuguaglianza triangolare
  15. Teoria sulle funzioni
  16. Funzioni elementari: algebriche, esponenziali e logaritmiche
  17. Funzioni elementari: trigonometriche e iperboliche
  18. Funzioni goniometriche: la guida essenziale
  19. Teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni
  20. Criterio del rapporto per le successioni
  21. Definizione e proprietà del numero di Nepero
  22. Limite di una successione monotona
  23. Successioni di Cauchy
  24. Il teorema ponte
  25. Teoria sui limiti
  26. Simboli di Landau
  27. Funzioni continue – Teoria
  28. Il teorema di Weierstrass
  29. Il teorema dei valori intermedi
  30. Il teorema della permanenza del segno
  31. Il teorema di Heine-Cantor
  32. Il teorema di esistenza degli zeri
  33. Il metodo di bisezione
  34. Teorema ponte versione per le funzioni continue
  35. Discontinuità di funzioni monotone
  36. Continuità della funzione inversa
  37. Teorema delle contrazioni o Teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli
  38. Teoria sulle derivate
  39. Calcolo delle derivate: la guida pratica
  40. Teoria sulle funzioni convesse
  41. Il teorema di Darboux
  42. I teoremi di de l’Hôpital
  43. Teorema di Fermat
  44. Teoremi di Rolle e Lagrange
  45. Il teorema di Cauchy
  46. Espansione di Taylor: teoria, esempi e applicazioni pratiche
  47. Polinomi di Taylor nei limiti: istruzioni per l’uso
  48. Integrali definiti e indefiniti
  49. Teorema fondamentale del calcolo integrale (approfondimento)
  50. Integrali ricorsivi
  51. Formule del trapezio, rettangolo e Cavalieri-Simpson
  52. Teoria sugli integrali impropri
  53. Funzioni integrali – Teoria
  54. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di ingegneria — versione semplificata)
  55. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di matematica o fisica)
  56. Serie numeriche: la guida completa
  57. Successioni di funzioni – Teoria
  58. Teoremi sulle successioni di funzioni
    1. 58a. Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme
    2. 58b. Limite uniforme di funzioni continue
    3. 58c. Passaggio al limite sotto il segno di integrale
    4. 58d. Limite uniforme di funzioni derivabili
    5. 58e. Piccolo teorema del Dini
    6. 58f. Procedura diagonale e teorema di Ascoli-Arzela
  59. Serie di funzioni – Teoria
  60. Serie di potenze – Teoria
  61. Serie di Fourier – Teoria e applicazioni
  62. Integrali multipli — Parte 1 (teoria)
  63. Integrali multipli — Parte 2 (teoria e esercizi misti)
  64. Regola della Catena — Teoria ed esempi.
  65. Jacobiano associato al cambiamento di coordinate sferiche
  66. Guida ai Massimi e Minimi: Tecniche e Teoria nelle Funzioni Multivariabili
  67. Operatore di Laplace o Laplaciano
  68. Teoria equazioni differenziali
  69. Equazione di Eulero
  70. Teoria ed esercizi sulla funzione Gamma di Eulero
  71. Teoria ed esercizi sulla funzione Beta
  72. Approfondimento numeri complessi
  73. Diverse formulazioni dell’assioma di completezza
  74. Numeri di Delannoy centrali
  75. Esercizi avanzati analisi

 
 

Tutte le cartelle di Analisi Matematica

Leggi...

  1. Prerequisiti di Analisi
    1. Ripasso algebra biennio liceo
    2. Ripasso geometria analitica
    3. Ripasso goniometria e trigonometria
    4. Errori tipici da evitare
    5. Insiemi numerici N,Z,Q,R
    6. Funzioni elementari
    7. Logica elementare
    8. Insiemi
  2. Successioni
    1. Teoria sulle Successioni
    2. Estremo superiore e inferiore
    3. Limiti base
    4. Forme indeterminate
    5. Limiti notevoli
    6. Esercizi misti Successioni
    7. Successioni per ricorrenza
  3. Funzioni
    1. Teoria sulle funzioni
    2. Verifica del limite in funzioni
    3. Limite base in funzioni
    4. Forme indeterminate in funzioni
    5. Limiti notevoli in funzioni
    6. Calcolo asintoti
    7. Studio di funzione senza derivate
    8. Dominio di una funzione
    9. Esercizi misti Funzioni
    10. Esercizi misti sui Limiti
  4. Funzioni continue-lipschitziane-holderiane
    1. Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane
    2. Continuità delle funzioni
    3. Continuità uniforme
    4. Teorema degli zeri
    5. Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate
  5. Calcolo differenziale
    1. Derivate
    2. Calcolo delle derivate
    3. Retta tangente nel calcolo differenziale
    4. Punti di non derivabilità nel calcolo differenziale
    5. Esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate
    6. Studio di funzione completo nel calcolo differenziale
    7. Esercizi teorici nel calcolo differenziale
    8. Metodo di bisezione
    9. Metodo di Newton
  6. Teoremi del calcolo differenziale
    1. Teoria sui Teoremi del calcolo differenziale
    2. Teorema di Rolle
    3. Teorema di Lagrange
    4. Teorema di Cauchy
    5. Teorema di De L’Hôpital
  7. Calcolo integrale
    1. Integrale di Riemann
    2. Integrali immediati
    3. Integrale di funzione composta
    4. Integrali per sostituzione
    5. Integrali per parti
    6. Integrali di funzione razionale
    7. Calcolo delle aree
    8. Metodo dei rettangoli e dei trapezi
    9. Esercizi Misti Integrali Indefiniti
    10. Esercizi Misti Integrali Definiti
  8. Integrali impropri
    1. Teoria Integrali impropri
    2. Carattere di un integrale improprio
    3. Calcolo di un integrale improprio
  9. Espansione di Taylor
    1. Teoria Espansione di Taylor
    2. Limiti di funzione con Taylor
    3. Limiti di successione con Taylor
    4. Stime del resto
  10. Funzioni integrali (Approfondimento)
    1. Teoria Funzioni integrali (Approfondimento)
    2. Studio di funzione integrale
    3. Limiti con Taylor e De L’Hôpital
    4. Derivazione di integrali parametrici (Tecnica di Feynmann)
  11. Numeri Complessi
    1. Teoria Numeri complessi
    2. Espressioni con i numeri complessi
    3. Radice di un numero complesso
    4. Equazioni con i numeri complessi
    5. Disequazioni con i numeri complessi
    6. Esercizi misti Numeri complessi
  12. Serie numeriche
    1. Teoria Serie numeriche
    2. Esercizi Serie a termini positivi
    3. Esercizi Serie a termini di segno variabile
    4. Esercizi Serie geometriche e telescopiche
  13. Successioni di funzioni
    1. Teoria Successioni di funzioni
    2. Esercizi Successioni di funzioni
  14. Serie di funzioni
    1. Teoria Serie di funzioni
    2. Esercizi Serie di funzioni
  15. Serie di potenze
    1. Teoria Serie di potenze
    2. Esercizi Serie di potenze
  16. Serie di Fourier
    1. Teoria Serie di Fourier
    2. Esercizi Serie di Fourier
  17. Trasformata di Fourier
    1. Teoria Trasformata di Fourier
    2. Esercizi Trasformata di Fourier