Numero di Nepero: esercizi sul limite notevole

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In questa raccolta proponiamo 30 esercizi su limiti di successioni da affrontare mediante l’utilizzo del limite notevole che definisce il numero di Nepero. Gli esercizi sono completamente risolti e offrono quindi una panoramica ampia delle casistiche possibile e delle tecniche da utilizzare, costituendo quindi una parte essenziale del pool di strumenti da cui lo studente può attingere nella soluzione di esercizi più complessi.

Oltre alle raccolte di esercizi

segnaliamo anche il materiale teorico di riferimento nell’articolo Definizione e proprietà del numero di Nepero e nella cartella di Teoria sulle successioni.
Buona lettura!

Sia

$b_n:\mathbb{N}\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb{R}$

la successione definita da

$b_n=\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n.$

Si definisce numero di Nepero

$\begin{equation*} e=\lim_{n \rightarrow +\infty}b_n \end{equation*}$

con $2<e<3$ .
In generale vale quanto segue: data una successione ${c_n}$ infinita per $n \rightarrow +\infty$ , vale che

(1) $\begin{equation*} e=\lim_{n \rightarrow +\infty }\left(1+\dfrac{1}{c_n} \right)^{c_n} \end{equation*}$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(2) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{2}{n}\right) ^n. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risoviamo (2) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{2}{n}\right) ^n & = \lim_{n \to +\infty} \left[ \left( 1+\dfrac{1}{\frac{n}{2}}\right) ^{\frac{n}{2}}\right]^2 = e^2. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{2}{n}\right) ^n=e^2.}$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(3) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{n^2}\right) ^n. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (29) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{n^2}\right) ^n & = \lim_{n \to +\infty} \left( \left( 1+\dfrac{1}{n^2}\right) ^{n^2}\right) ^{\frac{1}{n}}=e^0=1. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{n^2}\right) ^n =1.}$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(4) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( 1-\dfrac{3}{n}\right) ^n. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (30) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left( 1-\dfrac{3}{n}\right) ^n & = \lim_{n \to +\infty} \left( \left( 1+\dfrac{1}{-\dfrac{n}{3}}\right) ^{-\dfrac{n}{3}}\right) ^{-3}=e^{-3}=\dfrac{1}{e^3}. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{n \to +\infty} \left( 1-\dfrac{3}{n}\right) ^n=\dfrac{1}{e^3}.}$

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(5) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( 1-\dfrac{1}{n^2}\right) ^n. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (31) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left( 1-\dfrac{1}{n^2}\right) ^n & = \lim_{n \to +\infty} \left(\left( 1+\dfrac{1}{-n^2}\right) ^{-n^2}\right) ^{-\frac{1}{n}}=e^0=1 \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{n \to +\infty} \left( 1-\dfrac{1}{n^2}\right) ^n=1 .}$

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(6) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n^2}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (32) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n^2} & = \lim_{n \to +\infty} \left( \underbrace{\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n}}_{\to_{e}}\right) ^{\underbrace{n}_{\to{+\infty}}}=+\infty. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n^2}= +\infty. }$

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(7) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( 1-\dfrac{1}{n}\right) ^{n^2}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (28) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left( 1-\dfrac{1}{n}\right) ^{n^2} & = \lim_{n \to +\infty} \left( \left( 1+\dfrac{1}{-n}\right) ^{-n} \right) ^{-n}=e^{-\infty}=0. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty} \left( 1-\dfrac{1}{n}\right) ^{n^2}=0.}$

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(8) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{n+2}\right) ^n. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (29) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{n+2}\right) ^n & = \lim_{n \to +\infty} \left( \left( 1+\dfrac{1}{n+2}\right) ^{n+2}\right) ^{\frac{n}{n+2}}=\lim_{n \to +\infty} \left( \left( 1+\dfrac{1}{n+2}\right) ^{n+2}\right) ^{\frac{1}{\left(1+\frac{2}{n}\right)}}=e. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{n+2}\right) ^n =e.}$

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(9) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( 1-\dfrac{1}{n+\frac{1}{n}}\right) ^{n+1}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (30) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left( 1-\dfrac{1}{n+\frac{1}{n}}\right) ^{n+1} & = \lim_{n \to +\infty} \left( \left(1+\dfrac{1}{-\left( n+\frac{1}{n}\right) }\right)^{-\left( n+\frac{1}{n}\right)}\right)^{\dfrac{n+1}{-\left( n+\frac{1}{n}\right)}}=\\\\ & =\lim_{n \to +\infty} \left( \left(1+\dfrac{1}{-\left( n+\frac{1}{n}\right) }\right)^{-\left( n+\frac{1}{n}\right)}\right)^{\dfrac{n\left( 1+\frac{1}{n}\right) }{-n\left( 1+\frac{1}{n^2}\right) }}=e^{-1}=\dfrac{1}{e}. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{n \to +\infty} \left( 1-\dfrac{1}{n+\frac{1}{n}}\right) ^{n+1}=\dfrac{1}{e}.}$

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando(1):

(10) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{n^2}\right) ^{n^4}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (31) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{n^2}\right) ^{n^4} & = \lim_{n \to +\infty} \left( \left( 1+\dfrac{1}{n^2}\right) ^{n^2}\right) ^{n^2}=e^{+\infty}=+\infty. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{n^2}\right) ^{n^4}=+\infty .}$

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(11) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( 1-\dfrac{1}{n^3}\right) ^{n^2}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (32) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left( 1-\dfrac{1}{n^3}\right) ^{n^2} & = \lim_{n \to +\infty} \left( \left( 1+\dfrac{1}{-n^3}\right) ^{-n^3}\right) ^{\dfrac{n^2}{-n^3}}=e^{0}=1. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty} \left( 1-\dfrac{1}{n^3}\right) ^{n^2} =1 .}$

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 30 esercizi risolti sui limiti notevoli principalmente dedicati al numero di Nepero.

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(12) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{n^2}\right) ^{2n^2+5}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (28) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{n^2}\right) ^{2n^2+5} & = \lim_{n \to +\infty} \left( \left( 1+\dfrac{1}{n^2}\right) ^{n^2}\right) ^{\dfrac{2n^2\left( 1+\frac{5}{2n^2}\right) }{n^2}}=e^{2}. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{n^2}\right) ^{2n^2+5}=e^2.}$

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(13) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{7}{n}\right)^{\frac{3n^2+5}{4n+1}}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (29) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{7}{n}\right) ^{\dfrac{3n^2+5}{4n+1}} & = \lim_{n \to +\infty} \left( \left( 1+\dfrac{1}{\frac{n}{7}}\right) ^{\dfrac{n}{7}}\right) ^{\dfrac{7}{n}\cdot\dfrac{3n^2\left( 1+\frac{5}{3n^2}\right) }{4n\left( 1+\frac{1}{4n}\right) }}=e^{\frac{21}{4}}=\sqrt[4]{e^{21}}. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{7}{n}\right) ^{\frac{3n^2+5}{4n+1}} =\sqrt[4]{e^{21}}.}$

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(14) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( 1-\dfrac{1}{n^2}\right) ^{\frac{n^4+n+1}{n^2+7}}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (30) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left( 1-\dfrac{1}{n^2}\right) ^{\dfrac{n^4+n+1}{n^2+7}} & = \lim_{n \to +\infty} \left( \left( 1+\dfrac{1}{-n^2 }\right) ^{-n^2} \right)^{\dfrac{n^4\left( 1+\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n^4}\right) }{-n^4\left( 1+\frac{7}{n^2}\right) }}=e^{-1}=\dfrac{1}{e}. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{n \to +\infty} \left( 1-\dfrac{1}{n^2}\right) ^{\frac{n^4+n+1}{n^2+7}}=\dfrac{1}{e}.}$

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(15) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n+9}{n+5}\right) ^{3n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (31) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n+9}{n+5}\right) ^{3n} & = \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n+5+4}{n+5}\right) ^{3n} =\lim_{n \to +\infty}\left( 1+\dfrac{4}{n+5}\right) ^{3n}=\\\\ & =\lim_{n \to +\infty} \left(\left( 1+\dfrac{1}{\dfrac{n+5}{4}}\right) ^{\dfrac{n+5}{4}}\right)^{\dfrac{12n}{n\left( 1+\frac{5}{n}\right) }}=e^{12}. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n+9}{n+5}\right) ^{3n}=e^{12} .}$

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(16) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n+5}{n+8}\right) ^{\frac{n}{4}} \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (32) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n+5}{n+8}\right)^{\frac{n}{4}} & = \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n+8-3}{n+8}\right) ^{\frac{n}{4}}= \lim_{n \to +\infty} \left( 1-\dfrac{3}{n+8}\right)^{\frac{n}{4}}=\\\\ & =\lim_{n \to +\infty} \left(\left( 1+\dfrac{1}{-\dfrac{n+8}{3}}\right) ^{-\dfrac{n+8}{3}}\right)^{-\dfrac{3n}{4n\left( 1+\frac{8}{n}\right) }}=e^{-\frac{3}{4}}=\dfrac{1}{\sqrt[4]{e^3}}. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n+5}{n+8}\right) ^{\frac{n}{4}}=\dfrac{1}{\sqrt[4]{e^3}} .}$

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1:

(17) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n^2+2n+8}{n^2-3n+7}\right) ^{n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (28) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n^2+2n+8}{n^2-3n+7}\right) ^{n} & = \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n^2-3n+7+3n-7+2n+8}{n^2-3n+7}\right) ^{n}=\\\\ &=\lim_{n \to +\infty} \left( \left( 1+\dfrac{1}{\dfrac{n^2-3n+7}{5n+1}}\right) ^{\dfrac{n^2-3n+7}{5n+1}}\right) ^{\dfrac{5n^2\left( 1+\frac{1}{5n}\right) }{n^2\left( 1-\frac{3}{n}+\frac{7}{n^2}\right) }}=e^{5}. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n^2+2n+8}{n^2-3n+7}\right) ^{n}=e^5 .}$

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando(1:

(18) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n^2+n-6}{n^2+n+7}\right) ^{n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (29) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n^2+n-6}{n^2+n+7}\right) ^{n} & = \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n^2+n+7-7-6}{n^2+n+7}\right) ^{n}=\\\\ & =\lim_{n \to +\infty} \left(\left( 1+\dfrac{1}{-\dfrac{n^2+n+7}{13}}\right) ^{-\dfrac{n^2+n+7}{13}}\right) ^{-\dfrac{13n}{n^2\left(1+\frac{1}{n}+\frac{7}{n^2} \right) }}=\\\\ & = e^{0}=1. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n^2+n-6}{n^2+n+7}\right) ^{n}= 1.}$

Esercizio 18 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1:

(19) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n^2-2n+1}{n^2-4n+7}\right) ^{\frac{n^4-n+3}{2n^2+5}}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (30) applicando (1):

$\begin{aligned} &\lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n^2-2n+1}{n^2-4n+7}\right) ^{\dfrac{n^4-n+3}{2n^2+5}} = \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n^2-4n+7+4n-7-2n+1}{n^2-4n+7}\right) ^{\dfrac{n^4-n+3}{2n^2+5}}=\\\\ &=\lim_{n \to +\infty} \left( \left( 1+\dfrac{1}{\dfrac{n^2-4n+7}{2n-6} }\right) ^{\dfrac{n^2-4n+7}{2n-6} } \right) ^{\dfrac{2n-6}{n^2-4n+7}\cdot\dfrac{n^4-n+3}{2n^2+5}}=e^{+\infty}=+\infty. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n^2-2n+1}{n^2-4n+7}\right) ^{\frac{n^4-n+3}{2n^2+5}}=+\infty.}$

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1:

(20) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n^2-n-6}{n^2-n+2}\right) ^{\frac{n^4+n+3}{n^2-1}}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (31) applicando (1):

$\begin{aligned} & \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n^2-n-6}{n^2-n+2}\right) ^{\dfrac{n^4+n+3}{n^2-1}} = \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n^2-n+2-2-6}{n^2-n+2}\right) ^{\dfrac{n^4+n+3}{n^2-1}}=\\\\ &=\lim_{n \to +\infty} \left(\left( 1+\dfrac{1}{-\dfrac{n^2-n+2}{8} }\right) ^{-\dfrac{n^2-n+2}{8} } \right) ^{-\dfrac{8}{n^2-n+2}\cdot\dfrac{n^4+n+3}{n^2-1}}=e^{-8}=\dfrac{1}{e^8}. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n^2-n-6}{n^2-n+2}\right) ^{\frac{n^4+n+3}{n^2-1}}=\dfrac{1}{e^8}.}$

Esercizio 20 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1:

(21) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left(1+\log_n 2 \right) ^{\ln n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Ricordiamo

(22) $\begin{equation*} \log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a} \qquad \text{con } \; a,c>0 \; \wedge \; a,c \neq 1 \; \wedge \; b>0 \end{equation*}$

e risolviamo (32) applicando (22) e (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left(1+\log_n 2 \right) ^{\ln n} & = \lim_{n \to +\infty} \left(1+\dfrac{\ln 2}{\ln n} \right) ^{\ln n}= \\\\ &=\lim_{n \to +\infty} \left(\left( 1+\dfrac{1}{\dfrac{\ln n}{\ln 2}}\right) ^{\dfrac{\ln n}{\ln 2}}\right)^{\dfrac{\ln 2\cdot\ln n}{\ln n}}=e^{\ln 2}=2. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty} \left(1+\log_n 2 \right) ^{\ln n}=2.}$

Esercizio 21 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(23) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{n!}\right) ^{n^n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (28) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{n!}\right) ^{n^n} & = \lim_{n \to +\infty} \left( \left( 1+\dfrac{1}{n!}\right) ^{n!}\right) ^{\dfrac{n^n}{n!}}=e^{+\infty}=+\infty. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{n \to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{n!}\right) ^{n^n}=+\infty. }$

Esercizio 22 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(24) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{n^n}\right) ^{(n+1)^n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (29) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{n^n}\right) ^{(n+1)^n} & = \lim_{n \to +\infty}\left( \left( 1+\dfrac{1}{n^n}\right) ^{n^n}\right) ^{\dfrac{(n+1)^n}{n^n}}=\\\\ &=\lim_{n \to +\infty}\left(\left( 1+\dfrac{1}{n^n}\right) ^{n^n}\right) ^{\dfrac{n^n\cdot\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^n}{n^n}}=e^e. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{n^n}\right) ^{(n+1)^n}=e^e.}$

Esercizio 23 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(25) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{\ln(n^n)}\right) ^{\ln(n!)}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Riscriviamo (30) come segue :

$\lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{\ln(n^n)}\right) ^{\ln(n!)}= \lim_{n \to +\infty} \left(\left( 1+\dfrac{1}{\ln(n^n)}\right) ^{\ln(n^n)}\right) ^{\dfrac{\ln(n!)}{\ln(n^n)}}$

e notiamo che per $n \rightarrow +\infty$ si ha [1]

$\begin{aligned} \dfrac{\ln(n!)}{\ln(n^n)}=&\dfrac{\ln\left(\sqrt{2\pi n}\cdot \left( \dfrac{n}{e}\right) ^n\left(1+o\left(1\right) \right) \right) }{\ln(n^n)}=\dfrac{\ln\sqrt{2\pi n}+n\ln n-n+\ln\left(1+o\left(1\right)\right)}{n\ln n}=\\\\ &=\dfrac{\ln\sqrt{2\pi n}}{n\ln n}+\dfrac{n\ln n}{n\ln n}-\dfrac{n}{n\ln n}+o\left(1\right) =1+o\left(1 \right) . \end{aligned}$

Quindi, tornando ad (30) e applicando (1), otteniamo

$\lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{\ln(n^n)}\right) ^{\ln(n!)}= \lim_{n \to +\infty} \left(\left( 1+\dfrac{1}{\ln(n^n)}\right) ^{\ln(n^n)}\right) ^{\dfrac{\ln(n!)}{\ln(n^n)}}=e.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\dfrac{1}{\ln(n^n)}\right) ^{\ln(n!)}=e.}$

1. Si ricordi l’approsimazione di Stirling.} $n!=\sqrt{2\pi n}\cdot\dfrac{n^n}{e^n}\left(1+o(1) \right)$ per $n\to+\infty$ . ↩

Esercizio 24 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando(1):

(26) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n^{n+1}+n}{n^{n+1}+\sqrt{n}}\right) ^{(n+1)^n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (31) applicando (1):

$\begin{aligned} & \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n^{n+1}+n}{n^{n+1}+\sqrt{n}}\right) ^{(n+1)^n}= \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n^{n+1}+n-\sqrt{n}+\sqrt{n}}{n^{n+1}+\sqrt{n}}\right)^{(n+1)^n}=\\\\ &= \lim_{n \to +\infty}\left[ \left( 1+\dfrac{1}{\dfrac{n^{n+1}+\sqrt{n}}{n-\sqrt{n}}}\right) ^{\dfrac{n^{n+1}+\sqrt{n}}{n-\sqrt{n}}}\right] ^{\dfrac{\left( n-\sqrt{n}\right) \cdot(n+1)^n}{n^{n+1}+\sqrt{n}}}=\\\\ &= \lim_{n \to +\infty}\left[ \left( 1+\dfrac{1}{\dfrac{n^{n+1}+\sqrt{n}}{n-\sqrt{n}}}\right) ^{\dfrac{n^{n+1}+\sqrt{n}}{n-\sqrt{n}}}\right] ^{\dfrac{n\cdot n^n\cdot\left( 1-\dfrac{\sqrt{n}}{n}\right) \cdot \left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^n}{n^{n}\cdot n\left( 1+\dfrac{\sqrt{n}}{n^{n+1}}\right) }}=e^e. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n^{n+1}+n}{n^{n+1}+\sqrt{n}}\right) ^{(n+1)^n}=e^e.}$

Esercizio 25 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando(1):

(27) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\left( 2^n\cdot n!+n^n\right) ^2}{(2n)!+(n+1)^{2n}}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (32) applicando (1) e notando che [2]

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\left( 2^n\cdot n!+n^n\right) ^2}{(2n)!+(n+1)^{2n}}= \lim_{n \to +\infty}\dfrac{n^{2n}\left( 1+\dfrac{2^n\cdot n!}{n^n}\right) ^2}{n^{2n}\left( \left( \left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^n\right) ^2+\dfrac{(2n)!}{n^{2n}}\right) }=\dfrac{1}{e^2}.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\left( 2^n\cdot n!+n^n\right) ^2}{(2n)!+(n+1)^{2n}}=\dfrac{1}{e^2}.}$

2. Sia

$\lim_{n \to +\infty}\dfrac{b^n\cdot n!}{n^n} \quad\text{con}\quad b>0\;\wedge b\neq 1$

e ricordando l’approsimazione di Stirling

$n!=\sqrt{2\pi n}\cdot\dfrac{n^n}{e^n}\left(1+o(1) \right)$

otteniamo:

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \dfrac{b^n\cdot n!}{n^n}=\lim_{n \to +\infty}\dfrac{b^n\cdot n^n\sqrt{2\pi n}}{e^n\cdot n^n}\left(1+o(1) \right)=\lim_{n \to +\infty}\dfrac{b^n\sqrt{2\pi n}}{e^n}\left(1+o(1) \right)=\begin{cases} +\infty\quad \text{se}\quad b\geq e\\ 0\quad \text{se}\quad 0<b<e\;\wedge b\neq 1, \end{cases} \end{aligned}$

posto $b=2$ si ha $\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{2^n\cdot n!}{n^n}=0$ .

Notiamo che

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \dfrac{(2n)!}{n^{2n}}& =\lim_{n \to +\infty}\dfrac{\sqrt{4\pi n}\left( \dfrac{2n}{e}\right) ^{2n}}{n^{2n}}\left(1+o(1) \right)=\lim_{n \to +\infty}\dfrac{\sqrt{4\pi n}\cdot 2^{2n}\cdot n^{2n}}{n^{2n}\cdot e^{2n}}\left(1+o(1) \right)=\\ & = \lim_{n \to +\infty}\sqrt{4\pi n}\left( \dfrac{2}{e}\right) ^{2n}\left(1+o(1) \right)=0.\end{aligned}.$

↩

Esercizio 26 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(28) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \dfrac{2^{n+\sin n}+3^{n-1}}{100^{\sqrt{n}}+\left( 3+\dfrac{1}{n}\right) ^n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (28) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \dfrac{2^{n+\sin n}+3^{n-1}}{100^{\sqrt{n}}+\left( 3+\dfrac{1}{n}\right) ^n} & = \lim_{n \to +\infty}\dfrac{2^{n+\sin n}+\dfrac{1}{3}\cdot 3^n}{100^{\sqrt{n}}+3^n\left(1+\dfrac{1}{3n} \right) ^n} =\\\\ &= \lim_{n \to +\infty}\dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{2^{n+\sin n}}{3^n}}{\left(1+\dfrac{1}{3n} \right)^n+\dfrac{100^{\sqrt{n}}}{3^n}} . \end{aligned}$

Osserviamo che

$\dfrac{2^{n+\sin n}}{3^n}\leq\dfrac{2^{n+1}}{3^n}=2\left(\dfrac{2}{3} \right) ^n \quad \text{per}\,\, n \geq 1,$

e siccome

$\lim_{n \rightarrow +\infty}\left(\dfrac{2}{3} \right) ^n=0,$

per il teorema del confronto[1], si ha

$\lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{2^{n+\sin n}}{3^n}=0.$

Inoltre, osserviamo che

$\dfrac{100^{\sqrt{n}}}{3^n}=\dfrac{e^{\sqrt{n}\ln100 }}{e^{n \ln3 }},$

dove

$\sqrt{n}\ln100\leq n \ln 3 \quad \text{per}\,\, n \rightarrow +\infty,$

quindi

$\lim_{n \rightarrow + \infty}\dfrac{100^{\sqrt{n}}}{3^n}=0.$

Torniamo ora al limite e tenendo conto dei risultati ottenuti e applicando (1), si ottiene

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty}\dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{2^{n+\sin n}}{3^n}}{\left(1+\dfrac{1}{3n} \right)^n+\dfrac{100^{\sqrt{n}}}{3^n}} =\dfrac{\frac{1}{3}}{e^{\frac{1}{3}}}=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{e}}. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{n \to +\infty} \dfrac{2^{n+\sin n}+3^{n-1}}{100^{\sqrt{n}}+\left( 3+\dfrac{1}{n}\right) ^n}=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{e}}. }$

1 Teorema del confronto. Siano $\{b_n\}_ {n\in \mathbb{N}}$ , $\{c_n\}_ {n\in \mathbb{N}}$ e $\{d_n\}_ {n\in \mathbb{N}}$ successioni in $\mathbb{R}$ . Si assuma che

$bn\leq c_n \leq d_n \quad \text{per}\,\, n \geq n_0$

e che

$\lim_{n \rightarrow +\infty}b_n=\lim_{n \rightarrow +\infty}d_n=l \in \mathbb{R}$

allora

$\lim_{n \rightarrow +\infty}c_n=l.$

↩

Esercizio 27 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(29) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \dfrac{2\cdot n^{3n}+7n\cdot(2n)!+1000^n}{10^{3n}-(2n+1)!+(n+1)^{3n}}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Riscriviamo (29) come segue

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \dfrac{2\cdot n^{3n}+7n\cdot(2n)!+1000^n}{10^{3n}-(2n+1)!+(n+1)^{3n}} & =\lim_{n \rightarrow +\infty }\dfrac{n^{3n}\left( 2+\frac{7n(2n)!}{n^{3n}}+\frac{1000^n}{n^{3n}}\right) }{10^{3n}-(2n+1)(2n)!+n^{3n}(1+\frac{1}{n})^{3n}}=\\\\ &=\lim_{n \rightarrow +\infty }\dfrac{\left( 2+\frac{7n(2n)!}{n^{3n}}+\frac{1000^n}{n^{3n}}\right) }{(1+\frac{1}{n})^{3n}+\frac{10^{3n}}{n^{3n}}-\frac{(2n+1)(2n)!}{n^{3n}}}. \end{aligned}$

Osserviamo che

$10^{3n}<n^{3n}\quad \text{per }\,\, n \rightarrow +\infty$

e quindi

$\lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{10^{3n}}{n^{3n}}=0.$

Ora notiamo che[2]

$\begin{aligned} &\lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{n(2n)!}{n^{3n}}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{n\sqrt{2\pi(2n)}(2n)^{2n}}{e^{2n}n^{3n}}\left(1+o\left(1\right)\right)=\lim_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{n2^{2n}n^{2n}\sqrt{4\pi n}}{e^{2n}n^{3n}}\left( 1+o(1)\right)=\\\\ &=2\sqrt{\pi }\lim_{n \rightarrow +\infty }\dfrac{2^{2n}}{e^{2n}}\cdot \dfrac{n^{\frac{3}{2}}}{n^{n}}\cdot \left(1+o(1)\right)=0 \end{aligned}$

e quindi tornando a (29) e applicando (1), tenendo conto dei risultati ottenuti, abbiamo

$\lim_{n \rightarrow +\infty }\dfrac{\left( 2+\frac{7n(2n)!}{n^{3n}}+\frac{1000^n}{n^{3n}}\right) }{(1+\frac{1}{n})^{3n}+\frac{10^{3n}}{n^{3n}}-\frac{(2n+1)(2n)!}{n^{3n}}}=\dfrac{2}{e^3}.$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty} \dfrac{2\cdot n^{3n}+7n\cdot(2n)!+1000^n}{10^{3n}-(2n+1)!+(n+1)^{3n}}=\dfrac{2}{e^3}}$

2 Si ricordi l’approsimazione di Stirling $n!=\sqrt{2\pi n}\cdot\dfrac{n^n}{e^n}\left(1+o(1) \right)$ per $n\to+\infty$ . ↩

Esercizio 28 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(30) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \dfrac{(n+1)^{n+\frac{1}{n}}+n!}{(n+2)^n-n^n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (30) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \dfrac{(n+1)^{n+\frac{1}{n}}+n!}{(n+2)^n-n^n} & = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{(n+1)^n\cdot (n+1)^{\frac{1}{n}}+n!}{n^n\cdot \left( 1+\frac{2}{n}\right) ^n-n^n}=\\\\ & \lim_{n \to +\infty}\dfrac{n^n\cdot\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^n\cdot e^{\frac{1}{n}\ln(n+1)}+n!}{n^n\left( \left( 1+\frac{2}{n}\right) ^n-1\right) }=\\\\ & =\lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot e^{\frac{1}{n}\ln \left( n+1 \right) }+\frac{n!}{n^n} }{\left(1+\frac{2}{n}\right)^n-1}=\dfrac{e}{e^2-1}. \end{aligned}$

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty} \dfrac{(n+1)^{n+\frac{1}{n}}+n!}{(n+2)^n-n^n}=\dfrac{e}{e^2-1}.}$

Esercizio 29 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(31) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\left( \sqrt{n^n}+n^{\sqrt{n}}+\left(\sqrt{n}\right) ^n \right) ^2}{(n+1)^n}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Risolviamo (31) applicando (1):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\left( \sqrt{n^n}+n^{\sqrt{n}}+\left(\sqrt{n}\right) ^n \right) ^2}{(n+1)^n} & =\lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{\left( n^{\frac{n}{2}}+n^{\sqrt{n}}+n^{\frac{n}{2}}\right)^2}{n^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{\left( 2\cdot n^{\frac{n}{2}}+n^{\sqrt{n}}\right)^2}{n^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}}=\\\\ &=\lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{n^n\left(2+\frac{n^{\sqrt{n}}}{n^{\frac{n}{2}}}\right)^2 }{n^n\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n}= \lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{\left(2+\frac{e^{\sqrt{n}\ln n }}{e^{\frac{n}{2}\ln n }} \right)^2 }{\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n}=\dfrac{4}{e}. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\left( \sqrt{n^n}+n^{\sqrt{n}}+\left(\sqrt{n}\right) ^n \right) ^2}{(n+1)^n}=\dfrac{4}{e}.}$

Esercizio 30 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar).$ Calcolare il seguente limite, applicando (1):

(32) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n!}+2^{n!}}{\left( 2-\dfrac{1}{n^2}\right) ^{n!}+\left(2+\dfrac{1}{n!} \right) ^{n!}}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Riscriviamo (32) come segue

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n!}+2^{n!}}{\left( 2-\dfrac{1}{n^2}\right) ^{n!}+\left(2+\dfrac{1}{n!} \right) ^{n!}} & =\lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1+\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\right)^{n!}}{\left(1-\frac{1}{2n^2}\right)^{n!}+\left( 1 +\frac{1}{2n!}\right)^{n!}}=\\ &=\lim_{n \to +\infty}\dfrac{1}{\left( \left(1+\frac{1}{2n!}\right)^{2n!}\right)^{\frac{1}{2}}}\cdot \dfrac{1+\frac{1}{2^{n!}}\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n!}}{1+\dfrac{\left(\left( 1-\frac{1}{2n^2}\right)^{-2n^2} \right)^{-\frac{n!}{2n^2}}}{\left(1+\frac{1}{2n!} \right)^{n!}}}. \end{aligned}$

Ora osserviamo che $\ln \left(1+\dfrac{1}{n} \right)\leq \ln 2$ per $n\geq 1$ , quindi $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n!}}{2^{n!}}=0.$ Tornando al limite e applicando (1) si ha che

$\lim_{n \to +\infty}\dfrac{1}{\left( \left(1+\frac{1}{2n!}\right)^{2n!}\right)^{\frac{1}{2}}}\cdot \dfrac{1+\frac{1}{2^{n!}}\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n!}}{1+\dfrac{\left(\left( 1-\frac{1}{2n^2}\right)^{-2n^2} \right)^{-\frac{n!}{2n^2}}}{\left(1+\frac{1}{2n!} \right)^{n!}}}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n!}+2^{n!}}{\left( 2-\dfrac{1}{n^2}\right) ^{n!}+\left(2+\dfrac{1}{n!} \right) ^{n!}}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}.}$

Tutta la teoria di analisi matematica

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Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

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Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
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Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
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