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Estremo superiore e inferiore – Esercizio 8

Estremo superiore e inferiore

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Estremo superiore e inferiore – Esercizio 8

In questo ottavo articolo della raccolta Esercizi su estremo superiore e inferiore presentiamo il calcolo dell’estremo superiore e inferiore di un insieme di numeri reali. Segnaliamo anche il precedente Estremo superiore e inferiore – Esercizio 7 e il successivo Estremo superiore e inferiore – Esercizio 9 per ulteriore materiale sul medesimo tema.
 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 40 esercizi risolti per migliorare la tua comprensione del calcolo dell’estremo superiore e inferiore di un insieme.

 

Esercizio 8  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{x\in\mathbb{R}\,:\,\sqrt{4-x^2}>2x+4\right\}.\]

 

Richiami teorici.

Consigliamo Concetti Fondamentali della Retta Reale: Sintesi Teorica per una lettura veloce, mentre per del materiale più approfondito segnaliamo L’insieme dei numeri reali: costruzione e applicazioni e Teoria sulle funzioni (sezione sulla limitatezza).

Presentiamo due diverse soluzioni: la prima, più meccanica e analitica, richiede la risoluzione di una disequazione irrazionale; la seconda, decisamente meno laboriosa, richiede l’utilizzo di rudimenti di geometria analitica.

Svolgimento.

Gli elementi dell’insieme A sono tutti i numeri reali che soddisfano la disequazione irrazionale

    \begin{equation*} \sqrt{4-x^2}>2x+4 \end{equation*}

che è equivalente alla risoluzione dei due sistemi

    \begin{equation*} \underbrace{\begin{cases} 4-x^2\geq 0\\ 2x+4<0 \end{cases}}_{\mathcal{S}_1}\vee\quad \underbrace{\begin{cases} 2x+4>0\\ 4-x^2>(2x+4)^2 \end{cases}}_{\mathcal{S}_2}. \end{equation*}

Risolviamo la prima disequazione del sistema \mathcal{S}_1, cioè

    \begin{equation*} 4-x^2\geq 0\,\Longleftrightarrow\, -2\leq x\leq 2 \end{equation*}

e la seconda

    \[2x+4<0\,\Longleftrightarrow\, x<-2,\]

da cui si deduce che \mathcal{S}_1 è impossibile. In modo analogo per \mathcal{S}_2 si ha

    \[x+4>0\,\Longleftrightarrow\, x>-2\]

e

    \[4-x^2>(2x+4)^2\,\Longleftrightarrow\,4-x^2>4x^2+16+16x\,\Longleftrightarrow\, 5x^2+16x+12<0\,\Longleftrightarrow\,-2 <x<-\frac{6}{5}\]

da cui si deduce che \mathcal{S}_2 ha soluzione \{x \in\mathbb{R}:\,-2 <x<-{6}/{5} \}. Quindi, unendo le soluzioni di \mathcal{S}_1 e \mathcal{S}_2, si ottiene

    \begin{equation*} A=\left\{x\in\R\,\bigg|\,\sqrt{4-x^2}>2x+4\right\}=\left(-2; -\dfrac{6}{5}\right). \end{equation*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \sup A=-\frac{6}{5}\quad \text{e}\quad \inf A=-2.}\]

Inoltre si osserva che l’insieme non ammette né massimo né minimo.

Svolgimento alternativo.

Si consideri le due curve

    \begin{equation*} f(x)=\sqrt{4-x^2}\,\,\text{ per } -2\leq x\leq 2\quad\text{e} \quad g(x)=2x+4 \end{equation*}

dove f è una semicirconferenza avente centro nell’origine e avente grafico nel semipiano positivo delle y e g è una retta. Graficamente si ha

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Per determinare i punti A e B di intersezione delle due curve basterà risolvere il sistema

    \begin{equation*} \begin{cases} -2\leq x\leq 2\\\\y=\sqrt{4-x^2}\\\\y=2x+4 \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} -2\leq x\leq 2\\\\2x+4=\sqrt{4-x^2}\\\\y=2x+4 \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} -2\leq x\leq 2\\\\(2x+4)^2=4-x^2\\\\y=2x+4 \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} -2\leq x\leq 2\\\\x=-2\quad \vee \quad x=-\dfrac{6}{5}\\\\y=2x+4 \end{cases} \end{equation*}

e troviamo i due punti A=(-2,0) e B=\left(-\dfrac{6}{5},\dfrac{8}{5}\right), entrambi accettabili. Graficamente si osserva che nell’intervallo \left(-2,-\dfrac{6}{5}\right) si ha g<f e nell’intervallo \left(-\dfrac{6}{5},0\right) si ha g>f. Pertanto, siccome si richiedere di determinare x\in\mathbb{R} tale che f(x)>g(x), si conclude che che la soluzione della disequazione è l’intervallo \left(-2; -\dfrac{6}{5}\right) e quindi

    \[A=\left(-2; -\dfrac{6}{5}\right),\]

da cui

    \[\boxcolorato{analisi}{ \sup A=-\frac{6}{5}\quad \text{e}\quad \inf A=-2.}\]

 
 

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    3. Equazioni non-lineari
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Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.


Algebra lineare.


Geometria analitica.


Geometria differenziale.


 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
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