Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 8

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Esercizio 8. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

$A=\left\{x\in\mathbb{R}\,:\,\sqrt{4-x^2}>2x+4\right\}.$

Presentiamo due diverse soluzioni: la prima, più meccanica e analitica, richiede la risoluzione di una disequazione irrazionale; la seconda, decisamente meno laboriosa, richiede l’utilizzo di rudimenti di geometria analitica.

Svolgimento 1. Gli elementi dell’insieme $A$ sono tutti i numeri reali che soddisfano la disequazione irrazionale

$\begin{equation*} \sqrt{4-x^2}>2x+4 \end{equation*}$

che è equivalente alla risoluzione dei due sistemi

$\begin{equation*} \underbrace{\begin{cases} 4-x^2\geq 0\\ 2x+4<0 \end{cases}}_{\mathcal{S}_1}\vee\quad \underbrace{\begin{cases} 2x+4>0\\ 4-x^2>(2x+4)^2 \end{cases}}_{\mathcal{S}_2}. \end{equation*}$

Risolviamo la prima disequazione del sistema $\mathcal{S}_1$ , cioè

$\begin{equation*} 4-x^2\geq 0\,\Longleftrightarrow\, -2\leq x\leq 2 \end{equation*}$

e la seconda

$2x+4<0\,\Longleftrightarrow\, x<-2,$

da cui si deduce che $\mathcal{S}_1$ è impossibile.
In modo analogo per $\mathcal{S}_2$ si ha

$x+4>0\,\Longleftrightarrow\, x>-2$

$4-x^2>(2x+4)^2\,\Longleftrightarrow\,4-x^2>4x^2+16+16x\,\Longleftrightarrow\, 5x^2+16x+12<0\,\Longleftrightarrow\,-2 <x<-\frac{6}{5}$

da cui si deduce che $\mathcal{S}_2$ ha soluzione $\{x \in\mathbb{R}:\,-2 <x<-{6}/{5} \}$ .
Quindi, unendo le soluzioni di $\mathcal{S}_1$ e $\mathcal{S}_2$ , si ottiene

$\begin{equation*} A=\left\{x\in\R\,\bigg|\,\sqrt{4-x^2}>2x+4\right\}=\left(-2; -\dfrac{6}{5}\right). \end{equation*}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{ \sup A=-\frac{6}{5}\quad \text{e}\quad \inf A=-2.}$

Inoltre si osserva che l’insieme non ammette né massimo né minimo.

Soluzione 2. Si consideri le due curve

$\begin{equation*} f(x)=\sqrt{4-x^2}\,\,\text{ per } -2\leq x\leq 2\quad\text{e} \quad g(x)=2x+4 \end{equation*}$

dove $f$ è una semicirconferenza avente centro nell’origine e avente grafico nel semipiano positivo delle $y$ e $g$ è una retta. Graficamente si ha

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Per determinare i punti $A$ e $B$ di intersezione delle due curve basterà risolvere il sistema

$\begin{equation*} \begin{cases} -2\leq x\leq 2\\\\y=\sqrt{4-x^2}\\\\y=2x+4 \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} -2\leq x\leq 2\\\\2x+4=\sqrt{4-x^2}\\\\y=2x+4 \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} -2\leq x\leq 2\\\\(2x+4)^2=4-x^2\\\\y=2x+4 \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} -2\leq x\leq 2\\\\x=-2\quad \vee \quad x=-\dfrac{6}{5}\\\\y=2x+4 \end{cases} \end{equation*}$

e troviamo i due punti $A=(-2,0)$ e $B=\left(-\dfrac{6}{5},\dfrac{8}{5}\right)$ , entrambi accettabili. Graficamente si osserva che nell’intervallo $\left(-2,-\dfrac{6}{5}\right)$ si ha $g<f$ e nell’intervallo $\left(-\dfrac{6}{5},0\right)$ si ha $g>f$ . Pertanto, siccome si richiedere di determinare $x\in\mathbb{R}$ tale che $f(x)>g(x)$ , si conclude che che la soluzione della disequazione è l’intervallo $\left(-2; -\dfrac{6}{5}\right)$ e quindi

$A=\left(-2; -\dfrac{6}{5}\right),$

da cui

$\boxcolorato{analisi}{ \sup A=-\frac{6}{5}\quad \text{e}\quad \inf A=-2.}$