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Estremo superiore e inferiore – Esercizio 8

Estremo superiore e inferiore

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In questo ottavo articolo della raccolta Esercizi su estremo superiore e inferiore presentiamo il calcolo dell’estremo superiore e inferiore di un insieme di numeri reali. Segnaliamo anche il precedente Estremo superiore e inferiore – Esercizio 7 e il successivo Estremo superiore e inferiore – Esercizio 9 per ulteriore materiale sul medesimo tema.
ù
 

Esercizio 8  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

\[A=\left\{x\in\mathbb{R}\,:\,\sqrt{4-x^2}>2x+4\right\}.\]

 

Richiami teorici.

Consigliamo Concetti Fondamentali della Retta Reale: Sintesi Teorica per una lettura veloce, mentre per del materiale più approfondito segnaliamo L’insieme dei numeri reali: costruzione e applicazioni e Teoria sulle funzioni (sezione sulla limitatezza).

Presentiamo due diverse soluzioni: la prima, più meccanica e analitica, richiede la risoluzione di una disequazione irrazionale; la seconda, decisamente meno laboriosa, richiede l’utilizzo di rudimenti di geometria analitica.

Svolgimento.

Gli elementi dell’insieme A sono tutti i numeri reali che soddisfano la disequazione irrazionale

\begin{equation*} \sqrt{4-x^2}>2x+4 \end{equation*}

che è equivalente alla risoluzione dei due sistemi

\begin{equation*} \underbrace{\begin{cases} 4-x^2\geq 0\\ 2x+4<0 \end{cases}}_{\mathcal{S}_1}\vee\quad \underbrace{\begin{cases} 2x+4>0\\ 4-x^2>(2x+4)^2 \end{cases}}_{\mathcal{S}_2}. \end{equation*}

Risolviamo la prima disequazione del sistema \mathcal{S}_1, cioè

\begin{equation*} 4-x^2\geq 0\,\Longleftrightarrow\, -2\leq x\leq 2 \end{equation*}

e la seconda

\[2x+4<0\,\Longleftrightarrow\, x<-2,\]

da cui si deduce che \mathcal{S}_1 è impossibile. In modo analogo per \mathcal{S}_2 si ha

\[x+4>0\,\Longleftrightarrow\, x>-2\]

e

\[4-x^2>(2x+4)^2\,\Longleftrightarrow\,4-x^2>4x^2+16+16x\,\Longleftrightarrow\, 5x^2+16x+12<0\,\Longleftrightarrow\,-2 <x<-\frac{6}{5}\]

da cui si deduce che \mathcal{S}_2 ha soluzione \{x \in\mathbb{R}:\,-2 <x<-{6}/{5} \}. Quindi, unendo le soluzioni di \mathcal{S}_1 e \mathcal{S}_2, si ottiene

\begin{equation*} A=\left\{x\in\R\,\bigg|\,\sqrt{4-x^2}>2x+4\right\}=\left(-2; -\dfrac{6}{5}\right). \end{equation*}

Si conclude che

\[\boxcolorato{analisi}{ \sup A=-\frac{6}{5}\quad \text{e}\quad \inf A=-2.}\]

Inoltre si osserva che l’insieme non ammette né massimo né minimo.

Svolgimento alternativo.

Si consideri le due curve

\begin{equation*} f(x)=\sqrt{4-x^2}\,\,\text{ per } -2\leq x\leq 2\quad\text{e} \quad g(x)=2x+4 \end{equation*}

dove f è una semicirconferenza avente centro nell’origine e avente grafico nel semipiano positivo delle y e g è una retta. Graficamente si ha

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Per determinare i punti A e B di intersezione delle due curve basterà risolvere il sistema

\begin{equation*} \begin{cases} -2\leq x\leq 2\\\\y=\sqrt{4-x^2}\\\\y=2x+4 \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} -2\leq x\leq 2\\\\2x+4=\sqrt{4-x^2}\\\\y=2x+4 \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} -2\leq x\leq 2\\\\(2x+4)^2=4-x^2\\\\y=2x+4 \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} -2\leq x\leq 2\\\\x=-2\quad \vee \quad x=-\dfrac{6}{5}\\\\y=2x+4 \end{cases} \end{equation*}

e troviamo i due punti A=(-2,0) e B=\left(-\dfrac{6}{5},\dfrac{8}{5}\right), entrambi accettabili. Graficamente si osserva che nell’intervallo \left(-2,-\dfrac{6}{5}\right) si ha g<f e nell’intervallo \left(-\dfrac{6}{5},0\right) si ha g>f. Pertanto, siccome si richiedere di determinare x\in\mathbb{R} tale che f(x)>g(x), si conclude che che la soluzione della disequazione è l’intervallo \left(-2; -\dfrac{6}{5}\right) e quindi

\[A=\left(-2; -\dfrac{6}{5}\right),\]

da cui

\[\boxcolorato{analisi}{ \sup A=-\frac{6}{5}\quad \text{e}\quad \inf A=-2.}\]

 

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Ottieni il documento contenente 40 esercizi risolti per migliorare la tua comprensione del calcolo dell’estremo superiore e inferiore di un insieme.

 
 

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Tutti gli esercizi di geometria

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Strutture algebriche.


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Geometria analitica.


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Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
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  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
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