Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 8

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 8.   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{x\in\mathbb{R}\,:\,\sqrt{4-x^2}>2x+4\right\}.\]

 

Presentiamo due diverse soluzioni: la prima, più meccanica e analitica, richiede la risoluzione di una disequazione irrazionale; la seconda, decisamente meno laboriosa, richiede l’utilizzo di rudimenti di geometria analitica.

Svolgimento 1.  Gli elementi dell’insieme A sono tutti i numeri reali che soddisfano la disequazione irrazionale

    \begin{equation*} \sqrt{4-x^2}>2x+4 \end{equation*}

che è equivalente alla risoluzione dei due sistemi

    \begin{equation*} \underbrace{\begin{cases} 4-x^2\geq 0\\ 2x+4<0 \end{cases}}_{\mathcal{S}_1}\vee\quad \underbrace{\begin{cases} 2x+4>0\\ 4-x^2>(2x+4)^2 \end{cases}}_{\mathcal{S}_2}. \end{equation*}

Risolviamo la prima disequazione del sistema \mathcal{S}_1, cioè

    \begin{equation*} 4-x^2\geq 0\,\Longleftrightarrow\, -2\leq x\leq 2 \end{equation*}

e la seconda

    \[2x+4<0\,\Longleftrightarrow\, x<-2,\]

da cui si deduce che \mathcal{S}_1 è impossibile.
In modo analogo per \mathcal{S}_2 si ha

    \[x+4>0\,\Longleftrightarrow\, x>-2\]

e

    \[4-x^2>(2x+4)^2\,\Longleftrightarrow\,4-x^2>4x^2+16+16x\,\Longleftrightarrow\, 5x^2+16x+12<0\,\Longleftrightarrow\,-2 <x<-\frac{6}{5}\]

da cui si deduce che \mathcal{S}_2 ha soluzione \{x \in\mathbb{R}:\,-2 <x<-{6}/{5} \}.
Quindi, unendo le soluzioni di \mathcal{S}_1 e \mathcal{S}_2, si ottiene

    \begin{equation*} A=\left\{x\in\R\,\bigg|\,\sqrt{4-x^2}>2x+4\right\}=\left(-2; -\dfrac{6}{5}\right). \end{equation*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \sup A=-\frac{6}{5}\quad \text{e}\quad \inf A=-2.}\]

Inoltre si osserva che l’insieme non ammette né massimo né minimo.

 

Soluzione 2. Si consideri le due curve

    \begin{equation*} f(x)=\sqrt{4-x^2}\,\,\text{ per } -2\leq x\leq 2\quad\text{e} \quad g(x)=2x+4 \end{equation*}

dove f è una semicirconferenza avente centro nell’origine e avente grafico nel semipiano positivo delle y e g è una retta. Graficamente si ha

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Per determinare i punti A e B di intersezione delle due curve basterà risolvere il sistema

    \begin{equation*} \begin{cases} -2\leq x\leq 2\\\\y=\sqrt{4-x^2}\\\\y=2x+4 \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} -2\leq x\leq 2\\\\2x+4=\sqrt{4-x^2}\\\\y=2x+4 \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} -2\leq x\leq 2\\\\(2x+4)^2=4-x^2\\\\y=2x+4 \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} -2\leq x\leq 2\\\\x=-2\quad \vee \quad x=-\dfrac{6}{5}\\\\y=2x+4 \end{cases} \end{equation*}

e troviamo i due punti A=(-2,0) e B=\left(-\dfrac{6}{5},\dfrac{8}{5}\right), entrambi accettabili. Graficamente si osserva che nell’intervallo \left(-2,-\dfrac{6}{5}\right) si ha g<f e nell’intervallo \left(-\dfrac{6}{5},0\right) si ha g>f. Pertanto, siccome si richiedere di determinare x\in\mathbb{R} tale che f(x)>g(x), si conclude che che la soluzione della disequazione è l’intervallo \left(-2; -\dfrac{6}{5}\right) e quindi

    \[A=\left(-2; -\dfrac{6}{5}\right),\]

da cui

    \[\boxcolorato{analisi}{ \sup A=-\frac{6}{5}\quad \text{e}\quad \inf A=-2.}\]