Esercizio 8. Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:
Presentiamo due diverse soluzioni: la prima, più meccanica e analitica, richiede la risoluzione di una disequazione irrazionale; la seconda, decisamente meno laboriosa, richiede l’utilizzo di rudimenti di geometria analitica.
Svolgimento 1. Gli elementi dell’insieme sono tutti i numeri reali che soddisfano la disequazione irrazionale
che è equivalente alla risoluzione dei due sistemi
Risolviamo la prima disequazione del sistema , cioè
e la seconda
da cui si deduce che è impossibile.
In modo analogo per si ha
e
da cui si deduce che ha soluzione
.
Quindi, unendo le soluzioni di e
, si ottiene
Si conclude che
Inoltre si osserva che l’insieme non ammette né massimo né minimo.
Soluzione 2. Si consideri le due curve
dove è una semicirconferenza avente centro nell’origine e avente grafico nel semipiano positivo delle
e
è una retta. Graficamente si ha
Per determinare i punti e
di intersezione delle due curve basterà risolvere il sistema
e troviamo i due punti e
, entrambi accettabili. Graficamente si osserva che nell’intervallo
si ha
e nell’intervallo
si ha
. Pertanto, siccome si richiedere di determinare
tale che
, si conclude che che la soluzione della disequazione è l’intervallo
e quindi
da cui