Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 9

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 9.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{x\in\mathbb{R}^+\,:\,\cos\left(\frac{1}{x}\right)=0\right\}.\]

 

Svolgimento. Si ha

    \begin{equation*} \cos\left(\frac{1}{x}\right)=0\quad \Leftrightarrow\quad \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad \Leftrightarrow\quad \frac{1}{x}=\frac{\pi+2k\pi}{2}\quad \Leftrightarrow\quad x=\frac{2}{\pi(2k+1)}\qquad \text{con }k\in\mathbb{Z}, \end{equation*}

da cui

    \begin{equation*} A=\left\{x\in\mathbb{R}^+\,:\,\cos\left(\frac{1}{x}\right)=0\right\}=\left\{x\in \mathbb{R}^+\,: x=\frac{2}{\pi(2k+1)},\,k\in\mathbb{Z}\right\}. \end{equation*}

Possiamo studiare il grafico qualitativo della funzione omografica \displaystyle x(t)=\frac{2}{\pi(2t+1)} per t\geq 0.
La funzione ammette un asintoto orizzontale di equazione x=0. Inoltre, x è sempre positiva per t\geq0, quindi

    \[\inf A=0\]

e non esiste il minimo; infatti l’equazione

    \begin{equation*} x(t)=\frac{2}{\pi(2t+1)}=0 \end{equation*}

è impossibile. Di seguito un grafico qualitativo della funzione omografica

 

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Risulta chiaro che la funzione x è monotona decrescente per t\geq 0. Allora, essendo 0\in \mathbb{N}, si ha che

    \begin{equation*} \sup A=\max A=x(0)=x(k)=\frac{2}{\pi(2\cdot 0+1)}=\frac{2}{\pi}. \end{equation*}

Possiamo concludere con la seguente soluzione:

    \[\boxcolorato{analisi}{ \sup A=\max A=\frac{2}{\pi}\quad \text{e}\quad \inf A=0.}\]