Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 10

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Esercizio 10. $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

$A=\left\{n\in\mathbb{N}\,:\,a_n=\sin\left(\frac{\pi}{2}\cdot \frac{n^2}{n^2+1}\right)\right\}.$

Svolgimento. Riscriviamo

$b_n=\dfrac{\pi n^2}{2\left(n^2+1\right)}=\dfrac{\pi (n^2+1-1)}{2\left(n^2+1\right)}=\dfrac{\pi}{2}\left(1-\dfrac{1}{n^2+1}\right).$

Osservando che $\left\{-1/(n^2+1)\right\}_n$ è monotona crescente si ha che $\left\{b_n\right\}_n$ è monotona crescente.
Inoltre

$0\leq \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2(n^2+1)}< \frac{\pi}{2}$

perché

$-\frac{\pi}{2(n^2+1)}<0$

per ogni $n\in\mathbb{N}$ . Abbiamo ottenuto che $\{b_n\}_n\subset [0; \pi/2 )$ . Poiché in questo intervallo la funzione $y=\sin t$ è strettamente crescente si ha

$\begin{equation*} 0=\sin (0)=a_0\leq \sin\left(\frac{\pi}{2}\cdot \frac{n^2}{n^2+1}\right)< \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=1. \end{equation*}$

Possiamo concludere che

$\begin{equation*} \inf A=\min A=0. \end{equation*}$

Si osservi che abbiamo dimostrato solo che la successione $\{a_n\}$ è limitata e non che il $\sup a_n=1.$ [1].

Per la ricerca dell’estremo superiore dobbiamo dimostrare che $1$ è il minimo dei maggioranti applicando definizione, ovvero

$\begin{equation*} \forall\varepsilon>0\,\exists\,n_\varepsilon>0\, :\, \sin\left(\frac{\pi}{2}\cdot \frac{n_\varepsilon^2}{n_\varepsilon^2+1}\right)>1-\varepsilon. \end{equation*}$

Infatti

$\begin{equation*} \begin{split} &\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2(n_\varepsilon^2+1)}\right)>1-\varepsilon\,\Longleftrightarrow \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2(n_\varepsilon^2+1)}>\arcsin(1-\varepsilon)\Longleftrightarrow \\&\,\Longleftrightarrow\,\frac{1}{n_\varepsilon^2+1}<1-\frac{2}{\pi}\arcsin(1-\varepsilon)\Longleftrightarrow\,n_\varepsilon^2+1>\frac{1}{1-\frac{2}{\pi}\arcsin(1-\varepsilon)} \end{split} \end{equation*}$

e l’ultima disuguaglianza vale per ogni $\displaystyle n_\varepsilon> \sqrt{\frac{1}{1-\frac{2}{\pi}\arcsin(1-\varepsilon)}-1}$ . Possiamo dunque concludere che

$\sup A=1.$

Si osservi che non esiste un valore di $n\in\mathbb{N}$ tale che $a_n=1$ ; dunque l’insieme $A$ non ha massimo.

1. Osserviamo che in generale non è detto che l’estremo superiore sia $1$ ma potrebbe essere un qualsiasi numero minore di 1 e maggiore di zero. ↩