Esercizio 10. Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:
Svolgimento. Riscriviamo
Osservando che è monotona crescente si ha che
è monotona crescente.
Inoltre
perché
per ogni . Abbiamo ottenuto che
. Poiché in questo intervallo la funzione
è strettamente crescente si ha
Possiamo concludere che
Si osservi che abbiamo dimostrato solo che la successione è limitata e non che il
[1].
Per la ricerca dell’estremo superiore dobbiamo dimostrare che è il minimo dei maggioranti applicando definizione, ovvero
Infatti
e l’ultima disuguaglianza vale per ogni . Possiamo dunque concludere che
Si osservi che non esiste un valore di tale che
; dunque l’insieme
non ha massimo.
1. Osserviamo che in generale non è detto che l’estremo superiore sia ma potrebbe essere un qualsiasi numero minore di 1 e maggiore di zero. ↩