Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 10

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 10.   (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{n\in\mathbb{N}\,:\,a_n=\sin\left(\frac{\pi}{2}\cdot \frac{n^2}{n^2+1}\right)\right\}.\]

 

Svolgimento.  Riscriviamo

    \[b_n=\dfrac{\pi n^2}{2\left(n^2+1\right)}=\dfrac{\pi (n^2+1-1)}{2\left(n^2+1\right)}=\dfrac{\pi}{2}\left(1-\dfrac{1}{n^2+1}\right).\]

Osservando che \left\{-1/(n^2+1)\right\}_n è monotona crescente si ha che \left\{b_n\right\}_n è monotona crescente.
Inoltre

    \[0\leq \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2(n^2+1)}< \frac{\pi}{2}\]

perché

    \[-\frac{\pi}{2(n^2+1)}<0\]

per ogni n\in\mathbb{N}. Abbiamo ottenuto che \{b_n\}_n\subset [0; \pi/2 ). Poiché in questo intervallo la funzione y=\sin t è strettamente crescente si ha

    \begin{equation*} 0=\sin (0)=a_0\leq \sin\left(\frac{\pi}{2}\cdot \frac{n^2}{n^2+1}\right)< \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=1. \end{equation*}

Possiamo concludere che

    \begin{equation*} \inf A=\min A=0. \end{equation*}

Si osservi che abbiamo dimostrato solo che la successione \{a_n\} è limitata e non che il \sup a_n=1.[1].

Per la ricerca dell’estremo superiore dobbiamo dimostrare che 1 è il minimo dei maggioranti applicando definizione, ovvero

    \begin{equation*} \forall\varepsilon>0\,\exists\,n_\varepsilon>0\, :\, \sin\left(\frac{\pi}{2}\cdot \frac{n_\varepsilon^2}{n_\varepsilon^2+1}\right)>1-\varepsilon. \end{equation*}

Infatti

    \begin{equation*} \begin{split} &\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2(n_\varepsilon^2+1)}\right)>1-\varepsilon\,\Longleftrightarrow \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2(n_\varepsilon^2+1)}>\arcsin(1-\varepsilon)\Longleftrightarrow \\&\,\Longleftrightarrow\,\frac{1}{n_\varepsilon^2+1}<1-\frac{2}{\pi}\arcsin(1-\varepsilon)\Longleftrightarrow\,n_\varepsilon^2+1>\frac{1}{1-\frac{2}{\pi}\arcsin(1-\varepsilon)} \end{split} \end{equation*}

e l’ultima disuguaglianza vale per ogni \displaystyle n_\varepsilon> \sqrt{\frac{1}{1-\frac{2}{\pi}\arcsin(1-\varepsilon)}-1}. Possiamo dunque concludere che

    \[\sup A=1.\]

Si osservi che non esiste un valore di n\in\mathbb{N} tale che a_n=1; dunque l’insieme A non ha massimo.

 

 

1. Osserviamo che in generale non è detto che l’estremo superiore sia 1 ma potrebbe essere un qualsiasi numero minore di 1 e maggiore di zero.