Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 11

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 11.  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{x\in \mathbb{R}\,:\, x=x_n=\frac{\cos (n\pi)+n^3}{n^3}\,,\,n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\right\}.\]

 

Svolgimento.   Si osserva che se n è pari \cos (n\pi)=1 e se n è dispari \cos (n\pi)=-1.
Dunque

    \[\cos \left(\pi n\right)=(-1)^n\]

da cui

    \begin{equation*} x_n=\frac{(-1)^n+n^3}{n^3}=\begin{cases} \displaystyle\frac{1}{n^3}+1&\text{ per }n \text{ pari};\\\\ -\displaystyle\frac{1}{n^3}+1&\text{ per }n \text{ dispari}.\\ \end{cases} \end{equation*}

Quindi l’insieme può essere riscritto come segue

    \[\begin{aligned} &A=\left\{x\in \mathbb{R}\,:\, x=x_n=\frac{\cos (n\pi)+n^3}{n^3}\,,\,n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\right\}=\\ &=\underbrace{\left\{x\in \mathbb{R}\,:\, x=x_n=1-\frac{1}{n^3}\,,\text{$n=2k+1$ con $k\in\mathbb{N}$}\right\}}_{B}\cup \underbrace{\left\{x\in \mathbb{R}\,:\,x= x_n=1+\frac{1}{n^3}\,,\text{$n=2k$ con $k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$}\right\}}_{C}. \end{aligned}\]

Per n dispari si ha x_n=1-\displaystyle\frac{1}{n^3} è strettamente crescente, quindi

    \begin{equation*} x_n= 1-\frac{1}{n^3}\geq x_1=-\frac{1}{1}+1=0. \end{equation*}

Allora

    \begin{equation*} \inf B=\min B=0. \end{equation*}

Per n pari osserviamo che la successione \displaystyle x_n=1+\frac{1}{n^3} è strettamente decrescente, quindi

    \begin{equation*} \frac{1}{n^3}+1\leq x_2=\frac{1}{8}+1=\frac{9}{8}. \end{equation*}

Allora

    \begin{equation*} \sup B=\max B=\frac{9}{8}. \end{equation*}

Si osservi che

    \[\forall n\in\mathbb{N}\setminus\{0\},\, 1-\dfrac{1}{n^3}<1+\dfrac{1}{n^3}\]

quindi tutti gli elementi dell’insieme C sono maggiori di tutti gli elementi dell’insieme B.
Si conclude che

    \[\inf A=0\quad \text{e}\quad \sup A=\dfrac{9}{8}.\]

 

 

 

Approfondimento. Si osserva che sia nel caso di n pari che n dispari gli elementi assunti dalla successione per n grande si vanno ad addensare in prossimità di 1. Questo ci fa dedurre che \inf B=1 e che il \sup C=1. Dobbiamo verificare che

(1)   \begin{equation*} \forall \varepsilon>0\,\,\exists\, n_{1,\varepsilon}>0:\,1+\dfrac{1}{n_{1,\varepsilon}^3}-\varepsilon<\inf B=1 \end{equation*}

e

(2)   \begin{equation*} \quad \,\,\forall\varepsilon>0\,\,\exists\, n_{2,\varepsilon}>0:\,-\dfrac{1}{n_{2,\varepsilon}^3}+1+\varepsilon>\sup C=1. \end{equation*}

La (1) è vera se

    \[n_{1,\varepsilon}>\sqrt[3]{\dfrac{1}{\varepsilon}};\]

analogamente per (2)

    \[n_{2,\varepsilon}>\sqrt[3]{\dfrac{1}{\varepsilon}}.\]

Pertanto

    \[\sup C=\inf B=1.\]