Esercizio 11. Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:
Svolgimento. Si osserva che se è pari
e se
è dispari
.
Dunque
da cui
Quindi l’insieme può essere riscritto come segue
Per dispari si ha
è strettamente crescente, quindi
Allora
Per pari osserviamo che la successione
è strettamente decrescente, quindi
Allora
Si osservi che
quindi tutti gli elementi dell’insieme sono maggiori di tutti gli elementi dell’insieme
.
Si conclude che
Approfondimento. Si osserva che sia nel caso di pari che
dispari gli elementi assunti dalla successione per
grande si vanno ad addensare in prossimità di
. Questo ci fa dedurre che
e che il
. Dobbiamo verificare che
(1)
(2)
La (1) è vera se
analogamente per (2)
Pertanto