Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 11

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Esercizio 11. $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

$A=\left\{x\in \mathbb{R}\,:\, x=x_n=\frac{\cos (n\pi)+n^3}{n^3}\,,\,n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\right\}.$

Svolgimento. Si osserva che se $n$ è pari $\cos (n\pi)=1$ e se $n$ è dispari $\cos (n\pi)=-1$ .
Dunque

$\cos \left(\pi n\right)=(-1)^n$

da cui

$\begin{equation*} x_n=\frac{(-1)^n+n^3}{n^3}=\begin{cases} \displaystyle\frac{1}{n^3}+1&\text{ per }n \text{ pari};\\\\ -\displaystyle\frac{1}{n^3}+1&\text{ per }n \text{ dispari}.\\ \end{cases} \end{equation*}$

Quindi l’insieme può essere riscritto come segue

$\begin{aligned} &A=\left\{x\in \mathbb{R}\,:\, x=x_n=\frac{\cos (n\pi)+n^3}{n^3}\,,\,n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\right\}=\\ &=\underbrace{\left\{x\in \mathbb{R}\,:\, x=x_n=1-\frac{1}{n^3}\,,\text{$n=2k+1$ con $k\in\mathbb{N}$}\right\}}_{B}\cup \underbrace{\left\{x\in \mathbb{R}\,:\,x= x_n=1+\frac{1}{n^3}\,,\text{$n=2k$ con $k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$}\right\}}_{C}. \end{aligned}$

Per $n$ dispari si ha $x_n=1-\displaystyle\frac{1}{n^3}$ è strettamente crescente, quindi

$\begin{equation*} x_n= 1-\frac{1}{n^3}\geq x_1=-\frac{1}{1}+1=0. \end{equation*}$

Allora

$\begin{equation*} \inf B=\min B=0. \end{equation*}$

Per $n$ pari osserviamo che la successione $\displaystyle x_n=1+\frac{1}{n^3}$ è strettamente decrescente, quindi

$\begin{equation*} \frac{1}{n^3}+1\leq x_2=\frac{1}{8}+1=\frac{9}{8}. \end{equation*}$

Allora

$\begin{equation*} \sup B=\max B=\frac{9}{8}. \end{equation*}$

Si osservi che

$\forall n\in\mathbb{N}\setminus\{0\},\, 1-\dfrac{1}{n^3}<1+\dfrac{1}{n^3}$

quindi tutti gli elementi dell’insieme $C$ sono maggiori di tutti gli elementi dell’insieme $B$ .
Si conclude che

$\inf A=0\quad \text{e}\quad \sup A=\dfrac{9}{8}.$

Approfondimento. Si osserva che sia nel caso di $n$ pari che $n$ dispari gli elementi assunti dalla successione per $n$ grande si vanno ad addensare in prossimità di $1$ . Questo ci fa dedurre che $\inf B=1$ e che il $\sup C=1$ . Dobbiamo verificare che

(1) $\begin{equation*} \forall \varepsilon>0\,\,\exists\, n_{1,\varepsilon}>0:\,1+\dfrac{1}{n_{1,\varepsilon}^3}-\varepsilon<\inf B=1 \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} \quad \,\,\forall\varepsilon>0\,\,\exists\, n_{2,\varepsilon}>0:\,-\dfrac{1}{n_{2,\varepsilon}^3}+1+\varepsilon>\sup C=1. \end{equation*}$

La (1) è vera se

$n_{1,\varepsilon}>\sqrt[3]{\dfrac{1}{\varepsilon}};$

analogamente per (2)

$n_{2,\varepsilon}>\sqrt[3]{\dfrac{1}{\varepsilon}}.$

Pertanto

$\sup C=\inf B=1.$