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Estremo superiore e inferiore – Esercizio 12

Estremo superiore e inferiore

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In questo dodicesimo articolo della raccolta Esercizi su estremo superiore e inferiore presentiamo il calcolo dell’estremo superiore e inferiore di un insieme di numeri reali. Segnaliamo anche il precedente Estremo superiore e inferiore – Esercizio 11 e il successivo Estremo superiore e inferiore – Esercizio 13 per ulteriore materiale sul medesimo tema.

 

Esercizio 12 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{x\in[0;\pi]\,:\, |2\sin x-1|<\sin x\right\}.\]

Richiami teorici.

Consigliamo Concetti Fondamentali della Retta Reale: Sintesi Teorica per una lettura veloce, mentre per del materiale più approfondito segnaliamo L’insieme dei numeri reali: costruzione e applicazioni e Teoria sulle funzioni (sezione sulla limitatezza).

Svolgimento.

Se x\in A si ha:

    \begin{equation*} \begin{cases} x \in [0,\pi];\\ |2\sin x-1|<\sin x. \end{cases} \end{equation*}

Grazie allo studio del modulo otteniamo i due sistem i

    \begin{equation*} \begin{cases} \sin x\geq \dfrac{1}{2}\\\\ 2\sin x-1<\sin x \end{cases}\vee\quad \begin{cases} \sin x< \dfrac{1}{2}\\\\ -2\sin x+1<\sin x \end{cases} \end{equation*}

    \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle \frac{\pi}{6}\leq x\leq \frac{5}{6}\pi\\ \sin x<1 \end{cases}\,\vee\quad \begin{cases} \displaystyle 0<x<\frac{\pi}{6}\quad\vee\quad\frac{5}{6}\pi<x<\pi \\\\ \sin x>\dfrac{1}{3} \end{cases} \end{equation*}

Per il primo sistema osserviamo che \sin x<1 per ogni x\in[0;\pi] con x\neq \dfrac{\pi}{2}; quindi la soluzione del primo sistema è

    \begin{equation*} \mathcal{S}_1=\left\{x \in [0,\pi]:\,\frac{\pi}{6}\leq x<\frac{\pi}{2}\quad \vee\quad\frac{\pi}{2}<x\leq \frac{5}{6}\pi.\right\} \end{equation*}

Per il secondo sistema abbiamo

    \begin{equation*} \sin x>\frac{1}{3}\quad \Leftrightarrow \quad \arcsin \frac{1}{3}<x<\pi-\arcsin\frac{1}{3} \end{equation*}

quindi sarà soddisfatto per

    \begin{equation*} \mathcal{S}_2=\left\{x\in[0,\pi]:\,\arcsin\frac{1}{3}<x<\frac{\pi}{6}\quad \vee \quad\frac{5}{6}<x<\pi-\arcsin\frac{1}{3}.\right\} \end{equation*}

Quindi

    \begin{equation*} A=\mathcal{S}_1\cup \mathcal{S}_2=\left\{x\in[0;\pi]\,\bigg\vert\, |2\sin x-1|<\sin x\right\}=\left(\arcsin\frac{1}{3};\pi-\arcsin\frac{1}{3}\right). \end{equation*}

Concludiamo quindi

    \[\boxcolorato{analisi}{\inf A=\arcsin\frac{1}{3};\qquad\sup A=\pi-\arcsin\frac{1}{3}.}\]

 

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Ottieni il documento contenente 40 esercizi risolti per migliorare la tua comprensione del calcolo dell’estremo superiore e inferiore di un insieme.

 
 

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    3. Equazioni non-lineari
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  26. Complementi
    1. Curiosità e approfondimenti
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  27. Funzioni Convesse

 
 

Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.


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Geometria analitica.


Geometria differenziale.


 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
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