Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 12

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 12.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{x\in[0;\pi]\,:\, |2\sin x-1|<\sin x\right\}.\]

 

Svolgimento.  Se x\in A si ha:

    \begin{equation*} \begin{cases} x \in [0,\pi];\\ |2\sin x-1|<\sin x. \end{cases} \end{equation*}

Grazie allo studio del modulo otteniamo i due sistem i

    \begin{equation*} \begin{cases} \sin x\geq \dfrac{1}{2}\\\\ 2\sin x-1<\sin x \end{cases}\vee\quad \begin{cases} \sin x< \dfrac{1}{2}\\\\ -2\sin x+1<\sin x \end{cases} \end{equation*}

    \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle \frac{\pi}{6}\leq x\leq \frac{5}{6}\pi\\ \sin x<1 \end{cases}\,\vee\quad \begin{cases} \displaystyle 0<x<\frac{\pi}{6}\quad\vee\quad\frac{5}{6}\pi<x<\pi \\\\ \sin x>\dfrac{1}{3} \end{cases} \end{equation*}

Per il primo sistema osserviamo che \sin x<1 per ogni x\in[0;\pi] con x\neq \dfrac{\pi}{2}; quindi la soluzione del primo sistema è

    \begin{equation*} \mathcal{S}_1=\left\{x \in [0,\pi]:\,\frac{\pi}{6}\leq x<\frac{\pi}{2}\quad \vee\quad\frac{\pi}{2}<x\leq \frac{5}{6}\pi.\right\} \end{equation*}

Per il secondo sistema abbiamo

    \begin{equation*} \sin x>\frac{1}{3}\quad \Leftrightarrow \quad \arcsin \frac{1}{3}<x<\pi-\arcsin\frac{1}{3} \end{equation*}

quindi sarà soddisfatto per

    \begin{equation*} \mathcal{S}_2=\left\{x\in[0,\pi]:\,\arcsin\frac{1}{3}<x<\frac{\pi}{6}\quad \vee \quad\frac{5}{6}<x<\pi-\arcsin\frac{1}{3}.\right\} \end{equation*}

Quindi

    \begin{equation*} A=\mathcal{S}_1\cup \mathcal{S}_2=\left\{x\in[0;\pi]\,\bigg\vert\, |2\sin x-1|<\sin x\right\}=\left(\arcsin\frac{1}{3};\pi-\arcsin\frac{1}{3}\right). \end{equation*}

Concludiamo quindi

    \[\boxcolorato{analisi}{\inf A=\arcsin\frac{1}{3};\qquad\sup A=\pi-\arcsin\frac{1}{3}.}\]