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Estremo superiore e inferiore – Esercizio 12

Estremo superiore e inferiore

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Estremo superiore e inferiore – Esercizio 12

In questo dodicesimo articolo della raccolta Esercizi su estremo superiore e inferiore presentiamo il calcolo dell’estremo superiore e inferiore di un insieme di numeri reali. Segnaliamo anche il precedente Estremo superiore e inferiore – Esercizio 11 e il successivo Estremo superiore e inferiore – Esercizio 13 per ulteriore materiale sul medesimo tema.

 

Esercizio 12.   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{x\in[0;\pi]\,:\, |2\sin x-1|<\sin x\right\}.\]

 

Richiami teorici.

Consigliamo Concetti Fondamentali della Retta Reale: Sintesi Teorica per una lettura veloce, mentre per del materiale più approfondito segnaliamo L’insieme dei numeri reali: costruzione e applicazioni e Teoria sulle funzioni (sezione sulla limitatezza).

Svolgimento.

Se x\in A si ha:

    \begin{equation*} \begin{cases} x \in [0,\pi];\\ |2\sin x-1|<\sin x. \end{cases} \end{equation*}

Grazie allo studio del modulo otteniamo i due sistem i

    \begin{equation*} \begin{cases} \sin x\geq \dfrac{1}{2}\\\\ 2\sin x-1<\sin x \end{cases}\vee\quad \begin{cases} \sin x< \dfrac{1}{2}\\\\ -2\sin x+1<\sin x \end{cases} \end{equation*}

    \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle \frac{\pi}{6}\leq x\leq \frac{5}{6}\pi\\ \sin x<1 \end{cases}\,\vee\quad \begin{cases} \displaystyle 0<x<\frac{\pi}{6}\quad\vee\quad\frac{5}{6}\pi<x<\pi \\\\ \sin x>\dfrac{1}{3} \end{cases} \end{equation*}

Per il primo sistema osserviamo che \sin x<1 per ogni x\in[0;\pi] con x\neq \dfrac{\pi}{2}; quindi la soluzione del primo sistema è

    \begin{equation*} \mathcal{S}_1=\left\{x \in [0,\pi]:\,\frac{\pi}{6}\leq x<\frac{\pi}{2}\quad \vee\quad\frac{\pi}{2}<x\leq \frac{5}{6}\pi.\right\} \end{equation*}

Per il secondo sistema abbiamo

    \begin{equation*} \sin x>\frac{1}{3}\quad \Leftrightarrow \quad \arcsin \frac{1}{3}<x<\pi-\arcsin\frac{1}{3} \end{equation*}

quindi sarà soddisfatto per

    \begin{equation*} \mathcal{S}_2=\left\{x\in[0,\pi]:\,\arcsin\frac{1}{3}<x<\frac{\pi}{6}\quad \vee \quad\frac{5}{6}<x<\pi-\arcsin\frac{1}{3}.\right\} \end{equation*}

Quindi

    \begin{equation*} A=\mathcal{S}_1\cup \mathcal{S}_2=\left\{x\in[0;\pi]\,\bigg\vert\, |2\sin x-1|<\sin x\right\}=\left(\arcsin\frac{1}{3};\pi-\arcsin\frac{1}{3}\right). \end{equation*}

Concludiamo quindi

    \[\boxcolorato{analisi}{\inf A=\arcsin\frac{1}{3};\qquad\sup A=\pi-\arcsin\frac{1}{3}.}\]

 
 

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Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.





 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
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