Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 13

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 13.   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{x_n=\arctan\left(\frac{2n}{n+5}\right)\,:\, n\in\{0,1,2,3,4,5,6,7\}\right\}.\]

 

Svolgimento.  Si ha

    \begin{equation*} a_n=\dfrac{2n}{n+5}=2\left(\dfrac{n+5-5}{n+5}\right)=2\left(1-\dfrac{1}{n+5}\right). \end{equation*}

Osservando che \{-1/(n+5)\}_{n} è una successione monotona crescente si ha che \{a_n\} è monotona crescente.
Pertanto

    \begin{equation*} 0=a_0\leq\frac{2n}{n+5}\leq a_7=\frac{14}{7+5}=\frac{7}{6}. \end{equation*}

Poiché la funzione y=\arctan t è strettamente crescente vale che

    \begin{equation*} 0\leq \arctan\left(\frac{2n}{n+5}\right)\leq \arctan\left( \frac{7}{6}\right). \end{equation*}

Possiamo quindi concludere che

    \[\boxcolorato{analisi}{\begin{split} & \inf A=\min A=0;\\ &\sup A=\max A=\arctan\frac{7}{6}. \end{split}}\]