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Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 7

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 7.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{y=3|x-2|+|1+3x|\,:\,x\in[-2,4]\right\}.\]

 

Svolgimento. Studiamo l’andamento della funzione f(x)=3|x-2|+|1+3x| nell’intervallo chiuso e limitato [-2; 4].
Dallo studio dei moduli otteniamo che

    \begin{equation*} f(x)=\begin{cases} -3(x-2)-1-3x\qquad &\text{per $-2\leq x< -\dfrac{1}{3}$};\\\\ -3(x-2)+1+3x&\text{per $-\dfrac{1}{3}\leq x< 2$};\\\\ 3(x-2)+1+3x&\text{per $2\leq x\leq 4$} \end{cases} \Longrightarrow f(x)=\begin{cases} -6x+5 &\text{per $-2\leq x< -\dfrac{1}{3}$}\\\\ 7&\text{per $-\dfrac{1}{3}\leq x< 2$};\\\\ 6x-5&\text{per $2\leq x\leq 4$}. \end{cases} \end{equation*}

Graficamente si ha

 

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Nell’intervallo \left[-2,-\dfrac{1}{3}\right) il grafico di f è una retta con coefficiente angolare negativo quindi è decrescente in tutto l’intervallo; allora

    \begin{equation*} \begin{split} &\sup_{\left[-2,-\frac{1}{3}\right)}f=\max_{\left[-2,-\frac{1}{3}\right)}f=f(-2)=-6\cdot(-2)+5=17\\ &\inf_{\left[-2,-\frac{1}{3}\right)}f=\min_{\left[-2,-\frac{1}{3}\right)}f=f\left(-\frac{1}{3}\right)=7. \end{split} \end{equation*}

Nell’intervallo \left[-\frac{1}{3},2\right) il grafico di f è una retta orizzontale quindi il massimo e il minimo coincidono con il valore assunto dalla funzione

    \begin{equation*} \sup_{\left[-\frac{1}{3},2\right)}f=\max_{\left[-\frac{1}{3},2\right)}f=\inf_{\left[-\frac{1}{3},2\right)}f=\min_{\left[-\frac{1}{3},2\right)}f=7. \end{equation*}

Infine, nell’intervallo [2,4] il grafico di f è una retta con coefficiente angolare positivo quindi è crescente in tutto l’intervallo; allora

    \begin{equation*} \begin{split} &\sup_{[2,4]}f=\max_{[2,4]}f=f(4)=6\cdot 4-5=19\\ &\inf_{[2,4]}f=\min_{[2,4]}f=f(2)=6\cdot (2)-5=7 \end{split} \end{equation*}

Possiamo concludere che

    \[\boxcolorato{analisi}{\sup A=\max A=\max_{[-2,4]}f=19\qquad \text{ e }\qquad \inf A=\min A=\min_{[-2,4]}f=7.}\]

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