Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 4

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 4.   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme

    \[A=\left\{a_n=(-1)^n\frac{3n+1}{n} \,\,:\,\, n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\right\}.\]

 

Svolgimento. Osserviamo che

    \begin{equation*} a_n=\begin{cases} \displaystyle \frac{3n+1}{n} &\text{ per } n \text{ pari}\\\\ \displaystyle -\frac{3n+1}{n} &\text{ per } n \text{ dispari} \end{cases} \end{equation*}

ovvero che la sottosuccessione dei numeri pari risulta sempre positiva e quella dei numeri dispari sempre negativa; perciò per lo studio dell’estremo superiore analizzeremo la successione definita sugli n pari e per l’estremo inferiore la successione definita sugli n dispari.

Per la proprietà distributiva della divisione possiamo riscrivere la successione \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} come segue:

    \begin{equation*}a_n= \begin{cases} 3+\dfrac{1}{n}& \text{ per }n\text{ pari }\\\\ -3-\dfrac{1}{n}& \text{ per }n\text{ dispari }, \end{cases} \end{equation*}

e utilizzando le proprietà della successione \left\{\dfrac{1}{n}\right\}_{n>0}, cioè

\bullet \left\{\dfrac{1}{n}\right\}_{n>0} è monotona decrescente;

\bullet \left\{\dfrac{1}{n}\right\}_{n>0} è limitata;

\bullet 0<\dfrac{1}{n}\leq 1 per ogni n>0;

 

si ha che

    \[\begin{aligned} &3<a_n\leq 4\quad \text{per ogni  $n$ pari}, \end{aligned}\]

e

    \[-4\leq a_n<-3\quad \text{per $n$ dispari},\]

da cui

    \[\boxcolorato{analisi}{\begin{split} &\sup A=\max A=a_2=3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2},\\ &\inf A=\min A=a_1=-3-1=-4. \end{split}}\]

Fonte: Qui Si Risolve