Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 5

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 5.   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme

    \[A=\left\{x\in\mathbb{R}\,:\,\frac{-x^2+2}{7x^2-x-6}\geq 0\right\}.\]

 

Svolgimento. L’insieme proposto è formato da tutti i numeri reali tale che

    \begin{equation*} \frac{-x^2+2}{7x^2-x-6}\geq 0. \end{equation*}

Studiamo il segno del numeratore e del denominatore

    \begin{equation*} \begin{split} &N(x)\geq 0\,\Longleftrightarrow \,-x^2+2\geq 0\,\Longleftrightarrow \, -\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2},\\ &D(x)>0 \,\Longleftrightarrow \,7x^2-x-6>0\,\Longleftrightarrow \, x<-\frac{6}{7}\,\vee\,x>1 \end{split} \end{equation*}

da cui si ha il seguente studio del segno

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Quindi

    \begin{equation*} A=\left\{x\in\R\,\bigg\vert\,\frac{-x^2+2}{7x^2-x-6}\geq 0\right\}=\left[-\sqrt{2};-\frac{6}{7}\right)\cup \left(1;+\sqrt{2}\right] \end{equation*}

pertanto

    \[\boxcolorato{analisi}{\begin{split} &\inf A=\min A= -\sqrt{2}\\&\sup A=\max A=\sqrt{2}. \end{split}}\]

 

Fonte: Qui Si Risolve