Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 3

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 3.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme

    \[A=\left\{x\in\mathbb{R}\,:\,1\leq 3x^2-2x+1\leq 6\right\}.\]

 

Svolgimento.  L’insieme proposto è formato da tutti i numeri reali tale che

    \begin{equation*} 1\leq 3x^2-2x+1\leq 6\Rightarrow\begin{cases} 3x^2-2x+1\geq 1\\\\ 3x^2-2x+1\leq 6. \end{cases} \end{equation*}

Risolvendo le due disequazioni separatamente otteniamo

    \[3x^2-2x+1\geq 1\,\Longleftrightarrow \,x\leq 0\,\vee\, x\geq \frac{2}{3}\]

e

    \[3x^2-2x+1\leq 6\,\Longleftrightarrow\, -1\leq x\leq \frac{5}{2}.\]

Allora

    \begin{equation*} A=\left\{x\in\R\,\bigg\vert\,1\leq 3x^2-2x+1\leq 6\right\}= A_1\cap A_2 \end{equation*}

dove A_1=\left(-\infty; 0\right]\cup\left[\frac{2}{3}; +\infty\right) e A_2=\left[-1;\frac{5}{2}\right] sono rispettivamente gli insiemi che contengono le soluzioni della prima e della seconda disequazione. Riportiamo i risultati ottenuti in un unico grafico

 

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e dal grafico si osserva che

    \begin{equation*} A=\left\{x\in\R\,\bigg\vert\,1\leq 3x^2-2x+1\leq 6\right\}= \left[-1; 0\right]\cup \left[\frac{2}{3}; \frac{5}{2}\right], \end{equation*}

e quindi

      \[\boxcolorato{analisi}{\begin{split} &\inf A=\min A= -1\\&\sup A=\max A = \frac{5}{2}. \end{split}}\]

 

Fonte: Qui Si Risolve