Esercizio 2. Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme
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Soluzione. Osserviamo preliminarmente che la successione è maggiore uguale a 0 per ogni
. Inoltre
per ogni
; infatti
e ovviamente l’ultima disuguaglianza è valida per ogni .
Allora
L’elemento appartiene all’insieme
ed è un maggiorante di esso, quindi
Osserviamo che tale che
. Vogliamo dimostrare che
, dobbiamo cioè verificare che:
pertanto
A questo punto dobbiamo distinguere due casi:
se
la quantità
è minore o uguale a zero, quindi
per ogni
se
, allora possiamo scegliere
dove con si intende la parte intera di
.
Dunque e l’insieme non ammette minimo.
Fonte: Qui Si Risolve