Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 2

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 2.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme

    \[A=\left\{a_n=\frac{1}{3n^2+5}\,:\,n\in\mathbb{N}\right\}.\]

 

Prima di procedere alla risoluzione dell’esercizio si consiglia una rapida lettura al ripasso dei prerequisiti. Per una lettura veloce clicca qui, altrimenti per una lettura più approfondita clicca qui

Soluzione.  Osserviamo preliminarmente che la successione \{a_n=\dfrac{1}{3n^2+5}\} è maggiore uguale a 0 per ogni n\in \mathbb{N}. Inoltre a_n\geq a_{n+1} per ogni n\in\mathbb{N}; infatti

    \begin{equation*} \frac{1}{3n^2+5}>\frac{1}{3(n+1)^2+5}\Longleftrightarrow 3n^2+5< 3(n^2+2n+1)+5\Longleftrightarrow 3n^2< 3n^2+6n+3\Longleftrightarrow 6n> -3 \end{equation*}

e ovviamente l’ultima disuguaglianza è valida per ogni n\in\mathbb{N}.

Allora

    \begin{equation*} 0< \frac{1}{3n^2+5}\leq a_0=\frac{1}{5}. \end{equation*}

L’elemento \dfrac{1}{5} appartiene all’insieme A ed è un maggiorante di esso, quindi

    \[\boxcolorato{analisi}{ \sup A=\max A=\frac{1}{5}. }\]

Osserviamo che \nexists\,n\in\mathbb{N} tale che a_n=0. Vogliamo dimostrare che \inf A=0, dobbiamo cioè verificare che:

    \begin{equation*} \forall\varepsilon>0\,\,\,\exists\,n_\varepsilon \in\mathbb{N}\,:\, \frac{1}{3n_\varepsilon^2+5}<0+\varepsilon \end{equation*}

pertanto

    \begin{equation*} \frac{1}{3n_\varepsilon^2+5}<0+\varepsilon\,\Longleftrightarrow 3n_\varepsilon^2+5>\frac{1}{\varepsilon}\,\Longleftrightarrow n_\varepsilon^2>\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\varepsilon}-5\right) \end{equation*}

A questo punto dobbiamo distinguere due casi:

\bullet se \varepsilon \geq\dfrac{1}{5} la quantità \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{\varepsilon}-5\right) è minore o uguale a zero, quindi n_\varepsilon^2>\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{\varepsilon}-5\right) per ogni n_\varepsilon\in\mathbb{N};

 

\bullet se \varepsilon<\dfrac{1}{5}, allora possiamo scegliere

    \[n_\varepsilon\geq \left\lfloor\sqrt{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\varepsilon}-5\right)}\right \rfloor+1\]

dove con \lfloor x \rfloor si intende la parte intera di x.

Dunque \inf A=0 e l’insieme non ammette minimo.

Fonte: Qui Si Risolve