Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 1

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Esercizio 1. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore dei seguenti insiemi

a) $A=\left\{x_n\in\mathbb{R}\,:\,x_n=-n^2+4n+5,\,n\in\mathbb{N}\right\};$

b) $A'=\{n\in\mathbb{Z}\,:\,-n^2+4n+5=0\}$ .

Presentiamo due diverse soluzioni: la prima più intuitiva e veloce, ma richiede di ricordare alcuni concetti base di geometria analitica invece la seconda ha un approccio più teorico e sfrutta le definizioni di estremo superiore e inferiore.

Soluzione 1.
a) L’insieme $A$ coincide con le immagini della funzione $f(x)=-x^2+4x+5$ ristretta sull’insieme dei numeri naturali. Il grafico di $f$ è una parabola con concavità verso il basso e quindi illimitata inferiormente. Per la ricerca del massimo calcoliamo le coordinate del vertice della parabola

$\begin{equation*} V\equiv\left(-\dfrac{4}{2\left(-1\right)},f\left(-\dfrac{4}{2\left(-1\right)}\right)\right)=\left(2,-4+8+5\right)=\left(2,9\right). \end{equation*}$

Quindi $f\vert_\mathbb{N}$ assume massimo per $x=2\in\N$ cioè $\max A=f(2)=\sup A=9.$ Inoltre per completezza rappresentiamo l’immagine della parabola di equazione $f(x)=-x^2+4x+5$ :

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b) Osserviamo che gli elementi di $A'$ coincidono con gli zeri di $f\vert_\mathbb{N}$ . Pertanto risolviamo l’equazione $-x^2+4x+5=0$ che ha come radici $x=-1,x=5.$
Concludiamo dunque:

$\boxcolorato{analisi}{\inf A'=\min A'=-1\qquad\sup A'=\max A'=5.}$

Soluzione 2.
a)Dimostriamo che l’insieme è illimitato inferiormente usando la definizione:

$\begin{equation*} \forall\,M>0\,\,\exists\,n_M\in\N\,:\forall\,n>n_M,\,\,-n^2+4n+5<-M. \end{equation*}$

Dobbiamo determinare, se esiste, un numero naturale che dipende dalla quantità $M$ tale che per ogni $n>n_M$ la quantità $-n^2+4n-5<-M$ ; per l’arbitrarietà di $M$ potremmo poi concludere che l’insieme $A$ è illimitato inferiormente.
Fissiamo una quantità $M>0$ si ha

$\begin{equation*} -n^2+4n+5<-M\quad \Leftrightarrow\quad n^2-4n-5-M>0 \end{equation*}$

da cui

$\begin{equation*} n_{1,2}=2\pm\sqrt{M+9} \end{equation*}$

otteniamo che $n^2-4n-5-M>0$ se e solo se $n<2-\sqrt{M+9}$ o $n>2+\sqrt{M+9}$ .
Osserviamo che il radicando $M+9$ è positivo quindi la la quantità $\sqrt{M+9}$ esiste ed è maggiore di $9$ e pertanto va esclusa la soluzione $n<2-\sqrt{M+9}$ .
Si consideri [1] $n_M=[2+\sqrt{M+9}]+1$ da cui

$\forall M>0\,\,\exists n_M=[2+\sqrt{M+9}]+1:\forall n>n_M,\,\,-n^2+4n+5<-M .$

Quindi $\inf A=-\infty$ e in particolare $\nexists\, \min A$ . Per la ricerca dell’estremo superiore studiamo la monotonia della successione $\{x_n\}_n$ . Proviamo a determinare in quali intervalli la successione è monotona decrescente e in quali è monotona crescente:

$\begin{equation*} \begin{split} &x_{n+1}<x_n\quad \Leftrightarrow \quad -(n+1)^2+4(n+1)+5<-n^2+4n+5\quad \Leftrightarrow \quad\\ &\quad \Leftrightarrow \quad -n^2-1-2n+4n+4<-n^2+4n\quad \Leftrightarrow \quad n>\frac{3}{2}. \end{split} \end{equation*}$

Quindi $\{x_n\}\subseteq\N$ risulta crescente per $n\leq\dfrac{3}{2}$ e decrescente per $n>\dfrac{3}{2}$ ; perciò i possibili punti di massimo in $\N$ sono $n=1$ e $n=2$

$\begin{equation*} \begin{split} &x_2=-(2)^2+4\cdot 2+5=-4+8+5=9\\ &x_1=-1+4+5=8 \end{split} \end{equation*}$

si evince che $\sup A=\max A=x_2=9$ .
Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\sup A=\max A=9 \quad \quad \text{e}\quad \quad \inf A=-\infty.}$

b) Per determinare gli elementi dell’insieme $A'$ dobbiamo risolvere $n^2-4n-5=0$ che ha come soluzione $n_1=-1$ e $n_2=5$ quindi $A'=\{5,\,-1\}$ .
Concludiamo dunque:

$\boxcolorato{analisi}{\inf A'=\min A'=-1\qquad\sup A'=\max A'=5.}$

1. Si ricorda che $[x]$ è la parte intera del numero $x\in\mathbb{R}$ . ↩

Fonte: Qui Si Risolve