Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 1

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 1.   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore dei seguenti insiemi

 

a) A=\left\{x_n\in\mathbb{R}\,:\,x_n=-n^2+4n+5,\,n\in\mathbb{N}\right\};

 

b) A'=\{n\in\mathbb{Z}\,:\,-n^2+4n+5=0\}.

 

Presentiamo due diverse soluzioni: la prima più intuitiva e veloce, ma richiede di ricordare alcuni concetti base di geometria analitica invece la seconda ha un approccio più teorico e sfrutta le definizioni di estremo superiore e inferiore.

Soluzione 1.
a) L’insieme A coincide con le immagini della funzione f(x)=-x^2+4x+5 ristretta sull’insieme dei numeri naturali. Il grafico di f è una parabola con concavità verso il basso e quindi illimitata inferiormente. Per la ricerca del massimo calcoliamo le coordinate del vertice della parabola

    \begin{equation*} V\equiv\left(-\dfrac{4}{2\left(-1\right)},f\left(-\dfrac{4}{2\left(-1\right)}\right)\right)=\left(2,-4+8+5\right)=\left(2,9\right). \end{equation*}

Quindi f\vert_\mathbb{N} assume massimo per x=2\in\N cioè \max A=f(2)=\sup A=9. Inoltre per completezza rappresentiamo l’immagine della parabola di equazione f(x)=-x^2+4x+5:

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b) Osserviamo che gli elementi di A' coincidono con gli zeri di f\vert_\mathbb{N}. Pertanto risolviamo l’equazione -x^2+4x+5=0 che ha come radici x=-1,x=5.
Concludiamo dunque:

    \[\boxcolorato{analisi}{\inf A'=\min A'=-1\qquad\sup A'=\max A'=5.}\]

Soluzione 2.
a)Dimostriamo che l’insieme è illimitato inferiormente usando la definizione:

    \begin{equation*} \forall\,M>0\,\,\exists\,n_M\in\N\,:\forall\,n>n_M,\,\,-n^2+4n+5<-M. \end{equation*}

Dobbiamo determinare, se esiste, un numero naturale che dipende dalla quantità M tale che per ogni n>n_M la quantità -n^2+4n-5<-M; per l’arbitrarietà di M potremmo poi concludere che l’insieme A è illimitato inferiormente.
Fissiamo una quantità M>0 si ha

    \begin{equation*} -n^2+4n+5<-M\quad \Leftrightarrow\quad n^2-4n-5-M>0 \end{equation*}

da cui

    \begin{equation*} n_{1,2}=2\pm\sqrt{M+9} \end{equation*}

otteniamo che n^2-4n-5-M>0 se e solo se n<2-\sqrt{M+9} o n>2+\sqrt{M+9}.
Osserviamo che il radicando M+9 è positivo quindi la la quantità \sqrt{M+9} esiste ed è maggiore di 9 e pertanto va esclusa la soluzione n<2-\sqrt{M+9}.
Si consideri [1]  n_M=[2+\sqrt{M+9}]+1 da cui

    \[\forall M>0\,\,\exists n_M=[2+\sqrt{M+9}]+1:\forall n>n_M,\,\,-n^2+4n+5<-M .\]

Quindi \inf A=-\infty e in particolare \nexists\, \min A. Per la ricerca dell’estremo superiore studiamo la monotonia della successione \{x_n\}_n. Proviamo a determinare in quali intervalli la successione è monotona decrescente e in quali è monotona crescente:

    \begin{equation*} \begin{split} &x_{n+1}<x_n\quad \Leftrightarrow \quad -(n+1)^2+4(n+1)+5<-n^2+4n+5\quad \Leftrightarrow \quad\\ &\quad \Leftrightarrow \quad -n^2-1-2n+4n+4<-n^2+4n\quad \Leftrightarrow \quad n>\frac{3}{2}. \end{split} \end{equation*}

Quindi \{x_n\}\subseteq\N risulta crescente per n\leq\dfrac{3}{2} e decrescente per n>\dfrac{3}{2}; perciò i possibili punti di massimo in \N sono n=1 e n=2

    \begin{equation*} \begin{split} &x_2=-(2)^2+4\cdot 2+5=-4+8+5=9\\ &x_1=-1+4+5=8 \end{split} \end{equation*}

si evince che \sup A=\max A=x_2=9.
Si conclude che

    \[\boxcolorato{analisi}{\sup A=\max A=9 \quad \quad \text{e}\quad \quad \inf A=-\infty.}\]

b) Per determinare gli elementi dell’insieme A' dobbiamo risolvere n^2-4n-5=0 che ha come soluzione n_1=-1 e n_2=5 quindi A'=\{5,\,-1\}.
Concludiamo dunque:

    \[\boxcolorato{analisi}{\inf A'=\min A'=-1\qquad\sup A'=\max A'=5.}\]

 

1. Si ricorda che [x] è la parte intera del numero x\in\mathbb{R}.

Fonte: Qui Si Risolve