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Estremo superiore e inferiore – Esercizio 33

Estremo superiore e inferiore

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In questo trentatreesimo articolo della raccolta Esercizi su estremo superiore e inferiore presentiamo il calcolo dell’estremo superiore e inferiore di un insieme di numeri reali. Segnaliamo anche il precedente Estremo superiore e inferiore – Esercizio 32 e il successivo Estremo superiore e inferiore – Esercizio 34 per ulteriore materiale sul medesimo tema.

 

Esercizio 33  (\bigstar \bigstar\largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{x\in\mathbb{R}\,:\,7^x+7^{\frac{x}{2}}<2\right\}.\]

Richiami teorici.

Consigliamo Concetti Fondamentali della Retta Reale: Sintesi Teorica per una lettura veloce, mentre per del materiale più approfondito segnaliamo L’insieme dei numeri reali: costruzione e applicazioni e Teoria sulle funzioni (sezione sulla limitatezza).

Svolgimento.

Determiniamo l’insieme delle soluzioni della disequazione

(1)   \begin{equation*} 7^x+7^{\frac{x}{2}}<2. \end{equation*}

Posto t=7^{\frac{x}{2}} la disequazione (1) diventa:

    \begin{equation*} t^2+t-2<0\quad \Leftrightarrow \quad -2<t<1, \end{equation*}

da cui

    \begin{equation*} \begin{cases} 7^{\frac{x}{2}}>-2\\ 7^{\frac{x}{2}}<1 \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} \forall\,x\in\mathbb{R}\\ 7^{\frac{x}{2}}<7^0 \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \forall\,x\in\mathbb{R}\\\\ \dfrac{x}{2}<0 \end{cases}\Leftrightarrow \quad x<0. \end{equation*}

Possiamo riscrivere l’insieme A come segue:

    \begin{equation*} A=\left\{x\in\mathbb{R}\,:\,7^x+7^{\frac{x}{2}}<2\right\}=(-\infty; 0) \end{equation*}

per poi concludere che il massimo e il minimo dell’insieme non esistono e

    \[\boxcolorato{analisi}{ \inf A=-\infty\quad \text{e}\quad \sup A=0.}\]

 

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Ottieni il documento contenente 40 esercizi risolti per migliorare la tua comprensione del calcolo dell’estremo superiore e inferiore di un insieme.

 
 

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    13. Teorema della divergenza
    14. Campi solenoidali
    15. Teorema del Dini
  19. Equazioni differenziali lineari e non lineari
    1. Teoria equazioni differenziali lineari e non lineari
    2. Equazioni differenziali lineari e non lineari del primo ordine omogenee
  20. Equazioni differenziali lineari
    1. Del primo ordine non omogenee
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  22. Analisi complessa
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    3. Integrale di Cauchy e applicazioni
    4. Teorema della curva di Jordan e teorema fondamentale dell’Algebra
    5. Teorema di inversione di Lagrange
    6. Teorema dei Residui
    7. Funzioni meromorfe
    8. Prodotti infiniti e prodotti di Weierstrass
    9. Continuazione analitica e topologia
    10. Teoremi di rigidità di funzioni olomorfe
    11. Trasformata di Mellin
  23. Equazioni alle derivate parziali
    1. Equazioni del primo ordine
    2. Equazioni del secondo ordine lineari
    3. Equazioni non-lineari
    4. Sistemi di PDE
  24. Funzioni speciali
    1. Funzione Gamma di Eulero
    2. Funzioni Beta,Digamma,Trigamma
    3. Integrali ellittici
    4. Funzioni di Bessel
    5. Funzione zeta di Riemann e funzioni L di Dirichlet
    6. Funzione polilogaritmo
    7. Funzioni ipergeometriche
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    1. Misura e integrale di Lebesgue
    2. Spazi Lp,teoremi di completezza e compattezza
    3. Spazi di Hilbert,serie e trasformata di Fourier
    4. Teoria e pratica dei polinomi ortogonali
    5. Spazi di Sobolev
  26. Complementi
    1. Curiosità e approfondimenti
    2. Compiti di analisi
    3. Esercizi avanzati analisi
  27. Funzioni Convesse

 
 

Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.


Algebra lineare.


Geometria analitica.


Geometria differenziale.


 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






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