Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 33

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 33.   (\bigstar \bigstar\largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{x\in\mathbb{R}\,:\,7^x+7^{\frac{x}{2}}<2\right\}.\]

 

Svolgimento.  Determiniamo l’insieme delle soluzioni della disequazione

(1)   \begin{equation*} 7^x+7^{\frac{x}{2}}<2. \end{equation*}

Posto t=7^{\frac{x}{2}} la disequazione (1) diventa:

    \begin{equation*} t^2+t-2<0\quad \Leftrightarrow \quad -2<t<1, \end{equation*}

da cui

    \begin{equation*} \begin{cases} 7^{\frac{x}{2}}>-2\\ 7^{\frac{x}{2}}<1 \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} \forall\,x\in\mathbb{R}\\ 7^{\frac{x}{2}}<7^0 \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \forall\,x\in\mathbb{R}\\\\ \dfrac{x}{2}<0 \end{cases}\Leftrightarrow \quad x<0. \end{equation*}

Possiamo riscrivere l’insieme A come segue:

    \begin{equation*} A=\left\{x\in\mathbb{R}\,:\,7^x+7^{\frac{x}{2}}<2\right\}=(-\infty; 0) \end{equation*}

per poi concludere che il massimo e il minimo dell’insieme non esistono e

    \[\boxcolorato{analisi}{ \inf A=-\infty\quad \text{e}\quad \sup A=0.}\]