Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 34

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 34.   (\bigstar \bigstar\largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{x>0\,:\,\frac{\ln (3x)}{1-5x^2}>0\right\}.\]

 

Svolgimento. Gli elementi dell’insieme A sono tutti i numeri reali positivi che soddisfano la disuguaglianza

    \begin{equation*} \frac{\ln (3x)}{1-5x^2}>0. \end{equation*}

Studiamo separatamente il segno del numeratore e del denominatore

    \begin{equation*} \begin{split} &\text{N}(x)>0\quad \Leftrightarrow \quad \ln (3x)>0\quad \Leftrightarrow \quad 3x>1\quad \Leftrightarrow \quad x>\frac{1}{3}\\& \text{D}(x)>0\quad \Leftrightarrow \quad1-5x^2>0\quad \Leftrightarrow \quad\left \vert x \right \vert <\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\quad \Leftrightarrow \quad -\frac{\sqrt{5}}{5}<x<\frac{\sqrt{5}}{5} \end{split} \end{equation*}

da cui, dallo studio del segno, si ottiene

    \[\frac{\ln (3x)}{1-5x^2}>0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{1}{3}<x<\dfrac{\sqrt{5}}{5}.\]

Dunque, si ha

    \begin{equation*} A=\left\{x>0\,\bigg|\,\frac{\ln x}{1-5x^2}>0\right\}=\left(\frac{1}{3}; \frac{\sqrt{5}}{5}\right); \end{equation*}

quindi

    \[\boxcolorato{analisi}{ \inf A=\frac{1}{3} \quad \text{e}\quad \sup A=\frac{\sqrt{5}}{5}.}\]

Si osservi che il massimo e il minimo non esistono.