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Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 29

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 29.  (\bigstar \bigstar \largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{x\in\left[-\pi; 2\pi\right)\,:\,2\sin^2x-3\sin x+1=2\cos^2x-1\right\}.\]

 

Svolgimento. Gli elementi dell’insieme A sono soluzioni dell’equazione

(1)   \begin{equation*} 2\sin^2x-3\sin x+1=2\cos^2x-1 \end{equation*}

nell’intervallo [-\pi; 2\pi). Grazie alla formula fondamentale della goniometria è possibile riscrivere (1) come segue:

    \begin{equation*} 2\sin^2x-3\sin x+1=2(1-\sin^2x)-1\quad \Leftrightarrow \quad 4\sin^2x-3\sin x=0\quad \Leftrightarrow \quad \sin x(4\sin x-3)=0. \end{equation*}

Dalla legge dell’annullamento del prodotto otteniamo

    \begin{equation*} \begin{split} &\sin x=0\quad \Leftrightarrow \quad x=k\pi,\,\,\,\,k\in\Z\\& 4\sin x-3=0\quad \Leftrightarrow \quad \sin x =\frac{3}{4}\quad \Leftrightarrow \quad x=\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)+2k\pi\quad\vee\quad x=\pi-\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)+2k\pi,\,\,\,\,k\in\Z. \end{split} \end{equation*}

Restringendo lo studio nell’intervallo [-\pi; 2\pi) possiamo riscrivere l’insieme A come

    \begin{equation*} \begin{split} A&=\left\{x\in\left[-\pi; 2\pi\right)\,:\,2\sin^2x-3\sin x+1=2\cos^2x-1\right\}=\\&=\left\{-\pi,\,0,\,\pi,\,\arcsin\left(\frac{3}{4}\right),\,\pi-\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)\right\}. \end{split} \end{equation*}

Possiamo concludere che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \sup A=\max A=\pi\qquad\inf A=\min A=-\pi.}\]