Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 28

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 28.  (\bigstar \bigstar \largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{x\in\left[0; \pi\right)\setminus\left\{\dfrac{\pi}{4},\,\dfrac{3}{4}\pi\right\}\,:\,\frac{\cos 2x+\cos x+1}{\tan^2x-1}>0\right\}.\]

 

Svolgimento. Gli elementi dell’insieme sono soluzioni della disequazione goniometrica che, grazie alle formule di duplicazione, può essere riscritta come

    \[\begin{aligned} &\frac{2\cos^2x-1+\cos x+1}{\tan^2x-1}>0\quad \Leftrightarrow \quad \\ &\Leftrightarrow \quad \frac{2\cos^2x+\cos x}{(\tan x-1)(\tan x+1)}>0\quad \Leftrightarrow \quad \frac{\cos x(2\cos x+1)}{(\tan x-1)(\tan x+1)}>0.\quad \quad (1) \end{aligned}\]

Studiamo il segno del numeratore e del denominatore nell’intervallo [0; \pi) , cioè

    \[\cos x>0\quad \Leftrightarrow \quad 0<x<\frac{\pi}{2}\]

e

    \[2\cos x +1>0\quad \Leftrightarrow \quad \cos x>-\frac{1}{2}\quad \Leftrightarrow \quad 0<x<\frac{2}{3}\pi\]

Per il denominatore studiamo il segno dei singoli fattori, ottenendo

    \begin{equation*} \begin{split} &\tan x-1>0\quad \Leftrightarrow \quad\tan x>1\quad \Leftrightarrow \quad \frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}\\ &\tan x+1>0\quad \Leftrightarrow \quad\tan x>-1\quad \Leftrightarrow \quad 0<x<\dfrac{\pi}{2}\quad \vee \quad \frac{3}{4}\pi<x<\pi. \end{split} \end{equation*}

Di seguito lo studio del segno di (1):

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Dunque, prendo i valori positivi, si ottiene:

    \begin{equation*} A=\left\{x\in\left[0; \pi\right)\,:\,\frac{\cos 2x+\cos x+1}{\tan^2x-1}>0\right\}=\left(\dfrac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{2}{3}\pi; \frac{3}{4}\pi\right) \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{analisi}{ \inf A=\frac{\pi}{4}\quad \text{e}\quad \sup A=\dfrac{3}{4}\pi.}\]

Si osservi che il massimo e il minimo non esistono.