Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 27

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 27.  (\bigstar \bigstar \largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente: insieme

    \[A=\left\{x\in\left[-\pi; +\infty\right)\,:\,\sqrt{3}\sin x+\cos x=0 \right\}.\]

 

Svolgimento.  Determiniamo tutte le soluzioni dell’equazione goniometrica lineare

(1)   \begin{equation*} \sqrt{3}\sin x+\cos x=0 \end{equation*}

per x\geq -\pi. Siano X=\cos x e Y=\sin x, allora (1) è equivalente al sistema

    \begin{equation*} \begin{cases} \sqrt{3}Y+X=0\\ X^2+Y^2=1 \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} X=-\sqrt{3}Y\\ 3Y^2+Y^2=1 \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} X=-\sqrt{3}Y\\\\ Y=\pm\dfrac{1}{2}. \end{cases} \end{equation*}

Quindi le soluzioni di (1) sono

    \[\begin{cases} X=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\ Y=\dfrac{1}{2} \end{cases}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{5}{6}\pi+2k\pi\\\\\]

e

    \[\begin{cases} X=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\Y=-\dfrac{1}{2} \end{cases}\quad \Rightarrow\quad x=\frac{11}{6}\pi+2k\pi.\]

Abbiamo dunque:

    \begin{equation*} A=\left\{x\in\mathbb{R}\,:x=\frac{5}{6}\pi+k\pi,\,k\in\Z,k\geq -1\,\right\} \end{equation*}

e possiamo concludere che l’insieme, illimitato superiormente, ammette minimo per k=-1

    \[\boxcolorato{analisi}{\inf A=\min A=-\frac{\pi}{6}\quad \text{e}\quad \sup A=+\infty.}\]