Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 26

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 26.  (\bigstar \bigstar \largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{x\in\left[0; 2\pi\right)\,:\,\sin^2 x-3\sqrt{3}\sin x\cos x+6\cos^2x=0 \right\}.\]

 

Svolgimento. Risolviamo l’equazione omogenea di secondo grado

(1)   \begin{equation*} \sin^2 x-3\sqrt{3}\sin x\cos x+6\cos^2x=0 \end{equation*}

controllando inizialmente se x=\frac{\pi}{2}+2k\pi è soluzione. Sostituendo tali valori nell’equazione otteniamo l’uguaglianza

    \begin{equation*} 1-3\sqrt{3}\cdot 0+6\cdot 0=0 \end{equation*}

che è certamente falsa. Allora per risolvere (1) possiamo supporre x\neq\frac{\pi}{2}+2k\pi, dividere tutto per \cos^2x e ottenere l’equazione equivalente

    \begin{equation*} \frac{\sin^2x}{\cos^2x}-3\sqrt{3}\left(\frac{\sin x\cos x}{\cos^2x}\right)+6\left(\frac{\cos^2x}{\cos^2x}\right)=0\quad \Leftrightarrow \quad \tan^2x-3\sqrt{3}\tan x+6=0. \end{equation*}

Risolvendo l’equazione di secondo grado otteniamo

    \[\tan x=\sqrt{3}\quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi\]

e

    \[\qquad \quad \,\,\qquad \tan x=2\sqrt{3}\quad \Rightarrow\quad x=\arctan (2\sqrt{3})+k\pi\]

con k\in\mathbb{Z}.
Dunque

    \begin{equation*} A=\left\{x\in\left[0; 2\pi\right)\,\bigg|\,\sin^2 x-3\sqrt{3}\sin x\cos x+6\cos^2x=0 \right\}=\left\{\frac{\pi}{3},\arctan(2\sqrt{3}),\frac{4}{3}\pi,\arctan (2\sqrt{3})+\pi\right\} \end{equation*}

e possiamo quindi concludere che

    \[\boxcolorato{analisi}{\sup A=\max A=\arctan(2\sqrt{3})+\pi\qquad\inf A=\min A= \frac{\pi}{3}.}\]