Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 25

Estremo superiore e inferiore

Home » Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 25

More results...

Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page


 

Esercizio 25.   (\bigstar \bigstar  \largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente: insieme

    \[A=\left\{x\in\left[0; 2\pi\right)\,:\,\sin (2x)+\sin x\leq 0\right\}.\]

 

Svolgimento.  Risolviamo la disequazione

(1)   \begin{equation*} \sin (2x)+\sin x\leq 0 \end{equation*}

per determinare quali soluzioni appartengono all’intervallo [0; 2\pi). Grazie alle formule di duplicazione possiamo riscrivere 1 come segue:

    \begin{equation*} 2\sin x\cos x+\sin x\leq 0\quad \Leftrightarrow \quad \sin x(2\cos x+1)\leq 0. \end{equation*}

Studiamo il segno dei singoli fattori nell’intervallo [0; 2\pi)

    \begin{equation*} \begin{split} &\sin x\geq 0\quad \Leftrightarrow \quad 0\leq x\leq \pi; \\& 2\cos x+1\geq 0\quad \Leftrightarrow \quad \cos x\geq -\frac{1}{2}\quad \Leftrightarrow \quad0\leq x\leq \frac{2}{3}\pi\quad\vee\quad \frac{4}{3}\pi\leq x< 2\pi. \end{split} \end{equation*}

Facendo lo studio del segno si ottiene:

Rendered by QuickLaTeX.com

e otteniamo

    \begin{equation*} A=\left\{x\in\left[0; 2\pi\right)\, :   \,\sin (2x)+\sin x\leq 0\right\}=\left[\frac{2}{3}\pi; \pi\right]\cup \left[\frac{4}{3}\pi; 2\pi\right) \end{equation*}

Possiamo concludere che il massimo dell’insieme non esiste e che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \inf A=\min A= 0\quad \text{e}\quad \sup A=2\pi.}\]