Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 25

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 25.   (\bigstar \bigstar  \largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente: insieme

    \[A=\left\{x\in\left[0; 2\pi\right)\,:\,\sin (2x)+\sin x\leq 0\right\}.\]

 

Svolgimento.  Risolviamo la disequazione

(1)   \begin{equation*} \sin (2x)+\sin x\leq 0 \end{equation*}

per determinare quali soluzioni appartengono all’intervallo [0; 2\pi). Grazie alle formule di duplicazione possiamo riscrivere 1 come segue:

    \begin{equation*} 2\sin x\cos x+\sin x\leq 0\quad \Leftrightarrow \quad \sin x(2\cos x+1)\leq 0. \end{equation*}

Studiamo il segno dei singoli fattori nell’intervallo [0; 2\pi)

    \begin{equation*} \begin{split} &\sin x\geq 0\quad \Leftrightarrow \quad 0\leq x\leq \pi; \\& 2\cos x+1\geq 0\quad \Leftrightarrow \quad \cos x\geq -\frac{1}{2}\quad \Leftrightarrow \quad0\leq x\leq \frac{2}{3}\pi\quad\vee\quad \frac{4}{3}\pi\leq x< 2\pi. \end{split} \end{equation*}

Facendo lo studio del segno si ottiene:

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e otteniamo

    \begin{equation*} A=\left\{x\in\left[0; 2\pi\right)\, :   \,\sin (2x)+\sin x\leq 0\right\}=\left[\frac{2}{3}\pi; \pi\right]\cup \left[\frac{4}{3}\pi; 2\pi\right) \end{equation*}

Possiamo concludere che il massimo dell’insieme non esiste e che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \inf A=\min A= 0\quad \text{e}\quad \sup A=2\pi.}\]