Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 24

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 24.   (\bigstar \bigstar  \largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{x\in\left[0; 6\pi\right)\,:\,\sqrt{3}\tan x\geq 1\right\}.\]

 

Svolgimento.  Gli elementi dell’insieme A sono tutti e soli i valori reali x che appartengono all’intervallo [0;6\pi) che soddisfano la disequazione

    \begin{equation*} \sqrt{3}\tan x\geq 1\quad \Leftrightarrow \quad \tan x\geq \frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Leftrightarrow \quad \frac{\pi}{6}+k\pi\leq x < \frac{\pi}{2}+k\pi \end{equation*}

con k\in\Z. Da questi semplici calcoli possiamo riscrivere l’insieme A come unione di intervalli disgiunti

    \begin{equation*} A=\left\{x\in\left[0; 6\pi\right)\,:\,\sqrt{3}\tan x\geq 1\right\}=\bigcup_{k=0}^{5} \left[\frac{\pi}{6}+k\pi;\, \frac{\pi}{2}+k\pi\right) \end{equation*}

Possiamo concludere che l’insieme non ammette massimo e

    \[\boxcolorato{analisi}{ \inf A=\min A=\frac{\pi}{6}\quad \text{e}\quad \sup A= \frac{11}{2}\pi.}\]