Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 23

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 23.  (\bigstar \bigstar \bigstar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{x\in\left[0;2\pi\right)\,:\,\sqrt{1-2\cos x}=\sqrt{\sin x-\cos x}\right\}.\]

 

Svolgimento.  Gli elementi dell’insieme A sono soluzioni dell’equazione goniometrica irrazionale

(1)   \begin{equation*} \sqrt{1-2\cos x}=\sqrt{\sin x-\cos x} \end{equation*}

che appartengono all’intervallo [0; 2\pi). L’equazione (1) è equivalente al sistema

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} 1-2\cos x\geq 0\\ \sin x-\cos x\geq 0 \\ 1-2\cos x=\sin x- \cos x . \end{cases} \end{equation*}

Risolviamo separatamente le disuguaglianze goniometriche

    \begin{equation*} 1-2\cos x \geq 0\quad \Leftrightarrow \quad \cos x\leq \frac{1}{2}\quad \Leftrightarrow \quad \frac{\pi}{3}\leq x \leq \frac{5}{3}\pi . \end{equation*}

Per la seconda disequazione utilizziamo il metodo grafico; poniamo X=\cos x e Y=\sin x e otteniamo il sistema

    \begin{equation*} \begin{cases} Y\geq X\\ X^2+Y^2=1 \end{cases} \end{equation*}

Rappresentiamo i punti della circonferenza goniometrica che appartengono al semipiano definito dalla disequazione Y\geq X

 

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e determiniamo le coordinate dei punti A e B

    \begin{equation*} \begin{cases} Y= X\\ X^2+Y^2=1 \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} Y= X\\ X^2+X^2=1 \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad\begin{cases} Y= X\\\\ X=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} \end{equation*}

Quindi \displaystyle A=\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right) e \displaystyle B=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).

Pertanto

    \[\sin x\geq \cos x\quad \Leftrightarrow \quad \frac{\pi}{4}\leq x\leq \frac{5}{4}\pi.\]

Dunque

    \begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{\pi}{3}\leq x \leq \dfrac{5}{3}\pi\\\\ \dfrac{\pi}{4}\leq x\leq \dfrac{5}{4}\pi\\\\\ \sin x+\cos x-1=0 \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} \dfrac{\pi}{3}\leq x \leq \dfrac{5}{4}\pi\\\\ \sin x+\cos x-1=0. \end{cases} \end{equation*}

Risolviamo L’equazione lineare \sin x+\cos x=1. Riscriviamo l’equazione come segue

    \[\begin{aligned} &\sin x+\cos x-1=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x +\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\quad \Leftrightarrow \quad\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\cos x+\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\sin x =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ &\Leftrightarrow \quad\cos \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}\]

da cui

    \[x-\dfrac{\pi}{4}=\pm \dfrac{\pi}{4}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z};\]

pertanto si ha

    \[x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\]

e

    \[x-\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\]

cioè

    \[x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi \quad \text{e}\quad x=2k \pi\]

con k\in \mathbb{Z}. Il sistema ha soluzione x=\pi/2.\\ Abbiamo dunque

    \[A=\left\{x\in\left[0;2\pi\right)\,:\,\sqrt{1-2\cos x}=\sqrt{\sin x-\cos x}\right\}=\left\{\frac{\pi}{2} \right\}\]

per cui

    \[\boxcolorato{analisi}{ \sup A=\inf A=\inf A=\min A=\frac{\pi}{2}.}\]