Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 22

Estremo superiore e inferiore

Home » Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 22

More results...

Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page


 

Esercizio 22.   (\bigstar \bigstar \bigstar  \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{x\in[-\pi;\pi)\,:\,\sin x-(\sqrt{2}-1)\cos x +1-\sqrt{2}=0\right\}.\]

 

Svolgimento. Gli elementi dell’insieme A sono soluzioni dell’equazione lineare completa

(1)   \begin{equation*} \sin x-(\sqrt{2}-1)\cos x +1-\sqrt{2}=0 \end{equation*}

che appartengono all’intervallo [-\pi; \pi). Risolviamo (1) con il metodo grafico; siano X=\cos x e Y=\sin x e associamo all’equazione la relazione fondamentale \cos^2x+\sin^2 x=1. Dunque, con le premesse fatte, si ottiene il sistema

    \[\begin{aligned} &\begin{cases} Y-(\sqrt{2}-1)X+1-\sqrt{2}=0\\ X^2+Y^2=1 \end{cases}\Leftrightarrow\quad\begin{cases} Y=(\sqrt{2}-1)(X+1)\\ X^2+Y^2=1 \end{cases}\Leftrightarrow\quad\\ & \Leftrightarrow\quad\begin{cases} Y=(\sqrt{2}-1)(X+1)\\ X^2+(\sqrt{2}-1)^2(X+1)^2=1 \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} Y=(\sqrt{2}-1)(X+1)\\ X^2+(2+1-2\sqrt{2})(X^2+1+2X)=1 \end{cases}\Leftrightarrow\quad\\&\Leftrightarrow\quad \begin{cases} Y=(\sqrt{2}-1)(X+1)\\ X^2+3X^2+3+6X-2\sqrt{2}X^2-2\sqrt{2}-4\sqrt{2}X=1 \end{cases} \end{aligned}\]

ovvero

    \begin{equation*} \begin{cases} Y=(\sqrt{2}-1)(X+1)\\(2-\sqrt{2})X^2+X(3-2\sqrt{2})+1-\sqrt{2}=0. \end{cases} \end{equation*}

Risolviamo l’equazione di secondo grado nella variabile X

    \begin{equation*} \begin{split} X_{1,2}&=\frac{-3+2\sqrt{2}\pm\sqrt{(3-2\sqrt{2})^2-4(2-\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}}{2(2-\sqrt{2})}=\\&=\frac{-3+2\sqrt{2}\pm\sqrt{17-12\sqrt{2}-16+12\sqrt{2}}}{2(2-\sqrt{2})}=\frac{-3+2\sqrt{2}\pm 1}{2(2-\sqrt{2})}. \end{split} \end{equation*}

Dopo aver razionalizzato otteniamo

    \begin{equation*} \begin{cases} Y_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\X_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}\,\vee\,\,\,\begin{cases} Y_2=0\\\\X_2=-1 \end{cases} \end{equation*}

e quindi x=\dfrac{\pi}{4} e x=-\pi. Possiamo riscrivere l’insieme come

    \begin{equation*} A=\left\{x\in\left[-\pi; \pi\right)\,\bigg|\,\sin x-(\sqrt{2}-1)\cos x +1-\sqrt{2}=0\right\}=\left\{-\pi,\, \frac{\pi}{4} \right\} \end{equation*}

e concludere che

    \[\boxcolorato{analisi}{\inf A=\min A= -\pi\quad \text{e}\quad \sup A=\max A=\frac{\pi}{4}.}\]

Si osservi che abbiamo preso le soluzioni appartenenti all’intervallo [-\pi,\pi).