Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 22

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Esercizio 22. $(\bigstar \bigstar \bigstar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

$A=\left\{x\in[-\pi;\pi)\,:\,\sin x-(\sqrt{2}-1)\cos x +1-\sqrt{2}=0\right\}.$

Svolgimento. Gli elementi dell’insieme $A$ sono soluzioni dell’equazione lineare completa

(1) $\begin{equation*} \sin x-(\sqrt{2}-1)\cos x +1-\sqrt{2}=0 \end{equation*}$

che appartengono all’intervallo $[-\pi; \pi)$ . Risolviamo (1) con il metodo grafico; siano $X=\cos x$ e $Y=\sin x$ e associamo all’equazione la relazione fondamentale $\cos^2x+\sin^2 x=1$ . Dunque, con le premesse fatte, si ottiene il sistema

$\begin{aligned} &\begin{cases} Y-(\sqrt{2}-1)X+1-\sqrt{2}=0\\ X^2+Y^2=1 \end{cases}\Leftrightarrow\quad\begin{cases} Y=(\sqrt{2}-1)(X+1)\\ X^2+Y^2=1 \end{cases}\Leftrightarrow\quad\\ & \Leftrightarrow\quad\begin{cases} Y=(\sqrt{2}-1)(X+1)\\ X^2+(\sqrt{2}-1)^2(X+1)^2=1 \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} Y=(\sqrt{2}-1)(X+1)\\ X^2+(2+1-2\sqrt{2})(X^2+1+2X)=1 \end{cases}\Leftrightarrow\quad\\&\Leftrightarrow\quad \begin{cases} Y=(\sqrt{2}-1)(X+1)\\ X^2+3X^2+3+6X-2\sqrt{2}X^2-2\sqrt{2}-4\sqrt{2}X=1 \end{cases} \end{aligned}$

ovvero

$\begin{equation*} \begin{cases} Y=(\sqrt{2}-1)(X+1)\\(2-\sqrt{2})X^2+X(3-2\sqrt{2})+1-\sqrt{2}=0. \end{cases} \end{equation*}$

Risolviamo l’equazione di secondo grado nella variabile $X$

$\begin{equation*} \begin{split} X_{1,2}&=\frac{-3+2\sqrt{2}\pm\sqrt{(3-2\sqrt{2})^2-4(2-\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}}{2(2-\sqrt{2})}=\\&=\frac{-3+2\sqrt{2}\pm\sqrt{17-12\sqrt{2}-16+12\sqrt{2}}}{2(2-\sqrt{2})}=\frac{-3+2\sqrt{2}\pm 1}{2(2-\sqrt{2})}. \end{split} \end{equation*}$

Dopo aver razionalizzato otteniamo

$\begin{equation*} \begin{cases} Y_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\X_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}\,\vee\,\,\,\begin{cases} Y_2=0\\\\X_2=-1 \end{cases} \end{equation*}$

e quindi $x=\dfrac{\pi}{4}$ e $x=-\pi$ . Possiamo riscrivere l’insieme come

$\begin{equation*} A=\left\{x\in\left[-\pi; \pi\right)\,\bigg|\,\sin x-(\sqrt{2}-1)\cos x +1-\sqrt{2}=0\right\}=\left\{-\pi,\, \frac{\pi}{4} \right\} \end{equation*}$

e concludere che

$\boxcolorato{analisi}{\inf A=\min A= -\pi\quad \text{e}\quad \sup A=\max A=\frac{\pi}{4}.}$

Si osservi che abbiamo preso le soluzioni appartenenti all’intervallo $[-\pi,\pi)$ .