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Estremo superiore e inferiore – Esercizio 22

Estremo superiore e inferiore

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In questo ventiduesimo articolo della raccolta Esercizi su estremo superiore e inferiore presentiamo il calcolo dell’estremo superiore e inferiore di un insieme di numeri reali. Segnaliamo anche il precedente Estremo superiore e inferiore – Esercizio 21 e il successivo Estremo superiore e inferiore – Esercizio 23 per ulteriore materiale sul medesimo tema.

 

Esercizio 22  (\bigstar \bigstar \bigstar \largewhitestar\largewhitestar). Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{x\in[-\pi;\pi)\,:\,\sin x-(\sqrt{2}-1)\cos x +1-\sqrt{2}=0\right\}.\]

Richiami teorici.

Consigliamo Concetti Fondamentali della Retta Reale: Sintesi Teorica per una lettura veloce, mentre per del materiale più approfondito segnaliamo L’insieme dei numeri reali: costruzione e applicazioni e Teoria sulle funzioni (sezione sulla limitatezza).

Svolgimento.

Gli elementi dell’insieme A sono soluzioni dell’equazione lineare completa

(1)   \begin{equation*} \sin x-(\sqrt{2}-1)\cos x +1-\sqrt{2}=0 \end{equation*}

che appartengono all’intervallo [-\pi; \pi). Risolviamo (1) con il metodo grafico; siano X=\cos x e Y=\sin x e associamo all’equazione la relazione fondamentale \cos^2x+\sin^2 x=1. Dunque, con le premesse fatte, si ottiene il sistema

    \[\begin{aligned} &\begin{cases} Y-(\sqrt{2}-1)X+1-\sqrt{2}=0\\ X^2+Y^2=1 \end{cases}\Leftrightarrow\quad\begin{cases} Y=(\sqrt{2}-1)(X+1)\\ X^2+Y^2=1 \end{cases}\Leftrightarrow\quad\\ & \Leftrightarrow\quad\begin{cases} Y=(\sqrt{2}-1)(X+1)\\ X^2+(\sqrt{2}-1)^2(X+1)^2=1 \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} Y=(\sqrt{2}-1)(X+1)\\ X^2+(2+1-2\sqrt{2})(X^2+1+2X)=1 \end{cases}\Leftrightarrow\quad\\&\Leftrightarrow\quad \begin{cases} Y=(\sqrt{2}-1)(X+1)\\ X^2+3X^2+3+6X-2\sqrt{2}X^2-2\sqrt{2}-4\sqrt{2}X=1 \end{cases} \end{aligned}\]

ovvero

    \begin{equation*} \begin{cases} Y=(\sqrt{2}-1)(X+1)\\(2-\sqrt{2})X^2+X(3-2\sqrt{2})+1-\sqrt{2}=0. \end{cases} \end{equation*}

Risolviamo l’equazione di secondo grado nella variabile X

    \begin{equation*} \begin{split} X_{1,2}&=\frac{-3+2\sqrt{2}\pm\sqrt{(3-2\sqrt{2})^2-4(2-\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}}{2(2-\sqrt{2})}=\\&=\frac{-3+2\sqrt{2}\pm\sqrt{17-12\sqrt{2}-16+12\sqrt{2}}}{2(2-\sqrt{2})}=\frac{-3+2\sqrt{2}\pm 1}{2(2-\sqrt{2})}. \end{split} \end{equation*}

Dopo aver razionalizzato otteniamo

    \begin{equation*} \begin{cases} Y_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\X_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}\,\vee\,\,\,\begin{cases} Y_2=0\\\\X_2=-1 \end{cases} \end{equation*}

e quindi x=\dfrac{\pi}{4} e x=-\pi. Possiamo riscrivere l’insieme come

    \begin{equation*} A=\left\{x\in\left[-\pi; \pi\right)\,\bigg|\,\sin x-(\sqrt{2}-1)\cos x +1-\sqrt{2}=0\right\}=\left\{-\pi,\, \frac{\pi}{4} \right\} \end{equation*}

e concludere che

    \[\boxcolorato{analisi}{\inf A=\min A= -\pi\quad \text{e}\quad \sup A=\max A=\frac{\pi}{4}.}\]

Si osservi che abbiamo preso le soluzioni appartenenti all’intervallo [-\pi,\pi).

 

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Ottieni il documento contenente 40 esercizi risolti per migliorare la tua comprensione del calcolo dell’estremo superiore e inferiore di un insieme.

 
 

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    9. Continuazione analitica e topologia
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    3. Equazioni non-lineari
    4. Sistemi di PDE
  24. Funzioni speciali
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    5. Funzione zeta di Riemann e funzioni L di Dirichlet
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    3. Spazi di Hilbert,serie e trasformata di Fourier
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    1. Curiosità e approfondimenti
    2. Compiti di analisi
    3. Esercizi avanzati analisi
  27. Funzioni Convesse

 
 

Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.


Algebra lineare.


Geometria analitica.


Geometria differenziale.


 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
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