Esercizio calcolo estremo superiore e inferiore di un insieme numero 21

Estremo superiore e inferiore

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Esercizio 21.  (\bigstar \bigstar \largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare massimo e minimo, estremo superiore e inferiore del seguente insieme:

    \[A=\left\{x\in\left[0; 2\pi\right]\,:\,\sin \left(\frac{\pi}{3}-x\right)+ \cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=\sin x\right\}.\]

 

Svolgimento. Gli elementi dell’insieme A sono soluzioni dell’equazione

(1)   \begin{equation*} \sin \left(\frac{\pi}{3}-x\right)+ \cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=\sin x \end{equation*}

che appartengono all’intervallo [0; 2\pi]. Dalle formule di sottrazione possiamo riscrivere 1

    \begin{equation*} \begin{split} &\sin\frac{\pi}{3}\cos x -\cos \frac{\pi}{3}\sin x+ \cos\frac{\pi}{6}\cos x+\sin \frac{\pi}{6}\sin x=\sin x\quad \Leftrightarrow \quad \\&\quad \Leftrightarrow \quad\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=\sin x\quad \Leftrightarrow \quad\\& \quad \Leftrightarrow \quad\sqrt{3}\cos x-\sin x=0 \end{split} \end{equation*}

quindi 1 è riconducibile a un’equazione lineare in seno e coseno. Osserviamo che questa equazione non può ammettere come soluzione i valori di x per cui \cos x=0, cioè x=\dfrac{\pi}{2} e x=\dfrac{3}{2}\pi; infatti sostituendo tali valori nell’equazione si ottiene l’uguaglianza \sqrt{3}\cdot 0-(\pm 1)=0 che è certamente falsa. Grazie a questa osservazione possiamo restringere la nostra ricerca delle soluzioni a tutti quegli angoli x tale che \cos x\neq 0 e dividere entrambi i membri dell’equazione per \cos x

    \begin{equation*} \sqrt{3}-\tan x=0\quad \Leftrightarrow\quad \tan x=\sqrt{3}. \end{equation*}

Quindi

    \begin{equation*} A=\left\{x\in\left[0; 2\pi\right]\,\bigg|\,\sin \left(\frac{\pi}{3}-x\right)+ \cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=\sin x\right\}=\left\{\frac{\pi}{6},\, \frac{4}{3}\pi\right\} \end{equation*}

    \[\boxcolorato{analisi}{\inf A=\min A=\frac{\pi}{3}\quad \text{e}\quad \sup A=\max A= \frac{4}{3}\pi.}\]